两点间的距离公式（导学案）高二数学系列（人教A版2019选择性）

两点间的距离公式导学案学习目标1.理解两平行线间距离的定义2.会求两平行线间的距离，及应用公式求距离3.培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力重点难点1.重点:平面上两点间的距离公式的推导与应用2.难点:运用坐标法证明简单的平面几何问题课前预习自主梳理知识点：点到直线的距离点到直线的距离定义点到直线的垂线段的长度图示公式(或求法)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))，即|eq\o(PQ,\s\up6(→))|＝|eq\o(PM,\s\up6(→))·n|(M为任意一点，n为单位向量)自主检测1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).()(2)直线外一点与直线上任一点距离的最小值就是点到直线的距离．()(3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．()(4)连接两条平行直线上的点，即得两平行线间的距离．()【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×【详解】(1)错误．点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(1＋k2))，即先将直线方程化为一般式后再运用点到直线的距离公式．(2)正确．由直线外一点与直线上任一点的连线中垂线段最短知结论成立，这是点到直线距离的代数特征．(3)正确．由平行线间距离的定义可知．(4)错误．两平行线间的距离是两平行线间的垂线段长，并不是两平行直线上任意两点间的距离．2.已知，点C在x轴上，且，则点C的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，因为，由两点间的距离公式求解即可.【详解】因为点C在x轴上，设点，则，所以，化简可得：，所以.故选：D.3.若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据中点坐标公式即可求解.【详解】解：设，由题知，点和点的中点为，则解得：，所以点的坐标为故选：B.4.已知两点，，则（

）A．3 B．5 C．9 D．25【答案】B【分析】根据两点间的距离公式计算可得.【详解】因为，，则.故选：B5.设，直线过定点，直线过定点，则=（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】分析可得两条直线过的两定点分别为，，利用两点间距离公式即得解【详解】对于，当时，，即过定点，即.对于，其方程可以写成，由，得直线过定点，即.所以.故选:A新课导学学习探究环节一创设情境，引入课题在一条笔直的公路同侧有两个大型小区,现在计划在公路上某处建一个公交站点C,以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小?引导语:我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的．所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式．环节二观察分析，感知概念探究如图，已知平面内两点，，如何求，间的距离?我们用平面向量的知识来解决．如图，由点，，得．于是，．问题1:此公式与两点的先后顺序有关吗?师生活动:学生思考、讨论交流.设计意图:通过问题，使学生明确公式与点的顺序无关，从而加深对公式的理解.环节三抽象概括，形成概念由此得到，两点间的距离公式．特别地，原点与任一点间的距离问题2:当直线平行于轴时,怎么表示?当直线平行于轴时,怎么表示?师生活动:学生思考、讨论交流.设计意图:两点间距离公式适用于两个点在平面内任意位置的问题,使学生明确公式与点的顺序无关.环节四辨析理解深化概念问题3:你能利用，构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间距离公式吗?与向量法比较，你有什么体会?师生活动:学生思考、讨论交流,教师总结.设计意图:先引导学生如何构造直角三角形,再利用分类讨论思想,使用勾股定理推导出两点间的距离公式,并与向量法的推导形成对比,让学生体会方法的不同.环节五概念应用，巩固内化例3已知点，，在轴上求一点，使，并求的值．解：设所求点为，则，．由，得解得．所以，所求点为，且．例4用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．分析：首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．证明：如图，四边形是平行四边形．以顶点为原点，边所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．如何由平行四边形的性质，得到点的坐标为?在中，点的坐标是，设点的坐标为，点的坐标为，由平行四边形的性质，得点的坐标为．由两点间的距离公式，得，，，．所以，．所以，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．问题4:在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题．你能回忆一下证明过程吗?比较“坐标法”和“向量法”，你有什么体会?上述利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为思考根据例4的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法?你能说说建立适当坐标系对证明的重要性吗?其实,在必修第二册“第六章平面向量及其应用”中,我们曾按照向量法的“三步曲”证明过这个命题,即建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面儿何问题转化为向量问题;通过向量运算,研究几何元素之间的关系;把运算结果“翻译”成几何关系。用坐标法解决这个问题的基本步骤与向量法完全类似,即建立平面直角坐标系,用坐标表示有关的量;进行代数运算;把代数运算的结果“翻译”成儿何结论教学中,可以引导学生建立不同的坐标系,如根据平行四边形的对角线互相平分,以对角线的交点为原点,一条对角线所在直线为轴建立坐标系,并进行比较,让学生体验“适当的坐标系”的含义.环节六归纳总结,反思提升教师引导学生回顾本节知识,本节课我们学习了以下问题:两点间的距离公式;两点间的距离公式可用来解决一些有关距离的问题(如根据各边长度判断三角形或四边形的形状)，根据条件直接套用公式即可，要注意公式的变形应用，公式中两点的位置没有先后之分．（2）用坐标法解决平面几何问题.应用坐标法解决平面几何问题的一般步骤是：第一步：建立坐标系，建系时应使尽可能多的点落在坐标轴上，并且充分利用图形的对称性，用坐标表示有关的量．第二步：进行有关代数运算；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．设计意图:从方法以及公式两个方面对本节课的知识进行归纳小结,使学生从整体上把握本节课所学的知识.环节七 目标检测，作业布置完成教材：P79习题第4和12题备用练习1.已知点，，轴上一点满足，那么点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件设点的坐标，由于，根据两点之间的距离公式列式求解即可得点的坐标.【详解】解：由于点在轴上，设又，，所以，解得故点的坐标为.故选：B.2.一条平行于轴的线段长是5个单位，它的一个端点是，则它的另一个端点B的坐标为()A．(－3,1)或(7,1) B．(2,－2)或(2,7)C．(－3,1)或(5,1) D．(2,－3)或(2,5)【答案】A【分析】由线段平行于轴可设为，结合即可求解.【详解】∵轴，∴设为，又，∴或7.故选：A.3.已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C，则△ABC的形状是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．斜三角形【答案】C【分析】先求出直线，的斜率，从而可得kAC·kBC＝－1，再求出,进而可得三角形的形状【详解】因为kAC＝＝，kBC＝＝－，kAC·kBC＝－1，所以AC⊥BC.又AC＝＝a，|BC|＝＝a，所以△ABC为直角三角形．故选：C4.若直线上的点P与点的距离是2，则点P的坐标为A． B．C．或 D．或【答案