章函数与极限市公开课一等奖百校联赛特等奖课件

第一章函数与极限主讲人：张少强计算机与信息工程学院第1页二、收敛数列性质三、极限存在准则一、数列极限定义第二节数列极限第2页数学语言描述:一、数列极限定义引例.设有半径为

r

圆,迫近圆面积S.如图所表示,可知当n无限增大时,无限迫近S

(刘徽割圆术)

,当n

>

N时,用其内接正n

边形面积总有第3页给定，，从101项起，都有普通地，不论给定正数多么小，总存在一个正整数N，当n>N时，总有不等式（距离要多小就会有多小，或说：要多近就有多近）（假如？？）第4页定义:自变量取正整数函数称为数列,记作或称为通项(普通项).若数列及常数a有以下关系:当n>

N

时,总有记作此时也称数列收敛,不然称数列发散.几何解释:即或则称该数列极限为a,第5页比如,趋势不定收敛发散演示第6页例1.

已知证实数列极限为1.

证:

欲使即只要所以,取则当时,就有故第7页例2.

已知证实证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N与

相关,但不唯一.不一定取最小N.说明:

取第8页例3.

设证实等比数列证:欲使只要即亦即所以,取,则当n>N时,就有故极限为0.第9页二、收敛数列性质证:用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有1.收敛数列极限唯一.使当n>N1时,假设从而矛盾.所以收敛数列极限必唯一.则当n>N时,故假设不真!满足不等式第10页例4.

证实数列是发散.

证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a存在.取则存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1开区间使当n>N时,有所以该数列发散.第11页2.收敛数列一定有界.证:设取则当时,从而有取则有由此证实收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.比如,虽有界但不收敛.有数列第12页3.收敛数列保号性.若且时,有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证实)第13页*********************4.收敛数列任一子数列收敛于同一极限.证:

设数列是数列任一子数列.若则当时,有现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证实*********************第14页由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不一样极限,比如，

发散!则原数列一定发散.说明:

第15页内容小结1.数列极限“–N

”定义及应用2.收敛数列性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限第16页作业P303(2),(3),4,5，6第17页三、极限存在准则夹逼准则;单调有界准则;柯西审敛准则*.第18页1.夹逼准则(准则1)

(P49)证:

由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故第19页例5.

证实证:

利用夹逼准则.且由第20页2.单调有界数列必有极限

(准则2)

(P52)

(证实略)第21页例6.

设证实数列极限存在.(P52～P54)证:

利用二项式公式,有第22页大大

正又比较可知第23页依据准则2可知数列记此极限为e,e

为无理数,其值为即有极限.又第24页*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)

(P55)数列极限存在充要条件是:存在正整数N,使当时,证:“必要性”.设则时,有使当所以“充分性”证实从略.有第25页刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初出色数学家.他撰写《重差》对《九章算术》中方法和公式作了全方面评注,指出并纠正了其中错误,在数学方法和数学理论上作出了出色贡献.他“割圆术”求圆周率“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知迫近未知,用近似迫近准确”主要极限思想.

方法:第26页柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最主要是为巴黎综合学

校编写《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学影