中考数学专题复习：相似三角形综合题

中考数学专题复习

相似三角形综合题

专题划分专题一相似三角形的基本模型专题二相似三角形的解题技巧---辅助线专题三相似三角形与圆综合专题四相似三角形与函数综合专题一相似三角形的基本模型8字型一线三垂直型一线三等角型01020304模型A字型A字型01精讲点拨1.正A字型

2.斜A字型

2.斜A字型

分析：两个三角形中有一个公共角解题思路：图形中已经有一组角相等，（1）从已知条件、图中隐含条件或通过证明得到另一组角相等;（2）证明相等的这组角的两条边对应成比例巩固训练

B

8字型01分析：两个三角形中有一组对应角是对顶角解题思路：图形中已经有一组对顶角，（1）从已知条件、图中隐含条件或通过证明得到另一组角相等；（2）证明这组对顶角的两条边对应成比例

正8字型斜8字型注意：若题中未说明相似三角形对应的顶点，则需要分情况讨论精讲点拨

CD巩固训练

一线三垂直型03

分析：两直角三角形的一组直角边共线或部分重合，且斜边互相垂直。解题思路：判定三角形相似的关键：利用直角三角形两锐角互余的性质得一组对应角相等。注：当直角没有确定时，应分情况讨论。精讲点拨

C巩固训练

一线三等角型04

解题思路：图形中已经有一组角相等，通过三角形的内外角关系、内角和定理找另外一组对应角相等精讲点拨

BA巩固训练3．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=15，点D边BC上一点，且BD<CD，点E为AC中点，∠ADE=∠B．

专题二相似三角形的解题技巧---辅助线

在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角等等，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。专题概述在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.模型A型和8字型以及垂直模型三一线三等角型(K型)

锐角一线三等角一线三垂直钝角一线三等角已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。

求C、D两点的坐标。

相似三角形中的辅助线作垂线例1已知：△ABC中，D为BC边上中点，E为AC边上一点，且AE:AC=1:3，连接AD和BE，相交于点F，求AF:FD的值.添加平行线相似三角形中的辅助线例2几种做法展示相似三角形中的辅助线作延长线如图，Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG⊥AB于G，求证：FG²=CF·BF例3练习：如图，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，AF=1/3AD，连E、F交AC于G．求AG：AC的值．练习：如图，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，AF=1/3AD，连E、F交AC于G．求AG：AC的值．练习：如图，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，AF=1/3AD，连E、F交AC于G．求AG：AC的值．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求证:BC2＝2CD·AC．相似三角形中的辅助线作中线例4专题三相似三角形与圆综合

相似三角形与圆探究题，综合性强，有一定的难度，有时还会作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握相似三角形与圆相关的基本知识和基本技能，求解时注意运用有关性质，进行综合分析、探究解题思路。圆中相似三角形的类型主要有：直接证明相似、证明等积式、探求线段长、求三角函数。专题概述圆中常见的几种相似三角形【规律与方法】

在圆中直接证明三角形相似是比较简单的题目，一般情况下只需要利用圆的相关性质寻找三角形的两角分别相等，从而证明两个三角形相似。在圆中找相等角的方法(1)同弧或等弧所对圆周角相等。(2)圆内接四边形一个外角等于它的内对角(3)直径垂直于弦,由垂径定理找等角。(4)由直径所对的圆周角为直角，以及切线长定理找相等的直角一、直接证明相似例

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE．（1）求证：△DBE是等腰三角形；（2）求证：△COE∽△CAB．【规律与方法】

把等积式中的四条线段分别看做两个三角形的对应边，然后，通过证明这两个三角形相似，从而得到所要证明的等积式，特别地，当等积式中的线段的对应关系不容易看出时，可以把等积式转化为比例式，也可以利用线段的等量代换寻找对应边，构造三角形相似从而解决问题。例:如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA=∠ABC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）证明：EF2=4OD•OP；二、证明等积式【规律与方法】

近几年中考圆的题目中，常会涉及到三角形相似求线段的长。这类题的做题方法是利用已知的线段、线段比、直角三角形的两边以及所求的线段来寻找圆中相似的三角形或借助辅助线构造相似三角形，从而求出相应线段或利用等量代换求解。其圆中相似的模型一般分为A字型、X字型、母子型、旋转型，但由于圆本身的知识点很多，学生在复杂的图形中很难找出相似的模型。例：如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．（1）求证：CD是半圆O的切线；三、探求线段长（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．【规律与方法】

求三角函数值，必须在直角三角形中，所以应将其所求的角放在或用转化的思想等量代换到图中已有的直角三角形中，利用三角形相似比直接求解；若题目当中没有直接给出直角三角形，那么通过作辅助线——遇到直径连接弦、见切点连半径、做高、利用等腰三角形的“三线合一”、垂径定理等构造直角三角形将所求的角等量代换到相应的直角三角形中，利用相似三角形的性质求出相应的线段比值。四、求三角函数例1：如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB．BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．求证：tanα•tan=．ABPOCDD中考链接B2．【中考·南通】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为(

)A．2.5B．2.8C．3D．3.2C4．【中考·呼和浩特】如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形有________个．425．【中考·苏州】如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA＝x，PB＝y，则x－y的最大值是________．6．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，交OC于点E，连接CD，OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB.其中正确结论的序号是________．①④7．【中考·聊城】如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E.(1)求证：EC＝ED；证明：连接OC.∵CE与⊙O相切，OC是⊙O的半径，∴OC⊥CE.∴∠OCA＋∠ACE＝90°.∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.∴∠ACE＋∠A＝90°.∵OD⊥AB，∴∠ODA＋∠A＝90°.∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE＋∠A＝90°.∴∠CDE＝∠ACE.∴EC＝ED.(2)如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．8．【中考·襄阳】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC＝1：2.(1)求证：AC平分∠BAD；证明：如图，连接OC.∵PE与⊙O相切，∴OC⊥PE.∵AE⊥PE，∴OC∥AE.∴∠CAD＝∠OCA.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∴∠CAD＝∠OAC.∴AC平分∠BAD.(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；(3)若AD＝3，求△ABC的面积．专题四相似三角形与函数综合相似三角形与函数综合问题，主要考查学生能否将相似三角形的性质与判定融入到一次函数、反比例函数及二次函数中，在函数图像中构造相似图形的能力。其中，二次函数的综合问题是中考压轴题常考题型之一，考点分值12分，难度较大。主要考查形式为二次函数与相似三角形相结合，既考查了学生的数形结合能力，又考查学生的计算能力。此类问题出现后，大多学生都无从下手，主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。专题概述考点分析:二次函数的综合题中在第二三小问比较常考到相似三角形的问题，这类题目出现在压轴题目中的概率比较高，难度系数也是偏大的，对于学生的计算和综合知识掌握要求比较高，我们要利用我们现学的相似的知识在平面直角坐标系中研究。类型二

求字母的值类型一

求线段的长类型三

求比值或比值的最值类型四

求点的坐标解决此类题目的基本步骤与思路：1.抓住相似的两个目标三角形，找出已知条件(例如已知边、已知角度、已知点坐标等).2.找现成的等量关系，例如相等的角度从而确定下来对应关系.3.运用分类讨论思想，几种不同相似的可能性逐一讨论.4.充分运用相似的性质，相似比或者面积比等进行列式计算。5.大胆设点坐标去做，充分利用点在函数图像上从而代入函数表达式..注意事项:1.相似三角形的字母对应要注意2.分类讨论思想不要多讨论也不要漏掉，充分抓住已知条件分析.3.运用相似比进行计算时，边之比千万不能比错了4.求出有多个解时一定要去检验是否符合要求.类型一相似与一次函数1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象经过点B(0，2)，且与x轴的正半轴相交于点A，点P，Q在线段AB上，点M，N在线段AO上，且△OPM与△QMN是相似比为3∶1的两个等腰直角三角形，∠OPM＝∠