第5课时应用二元一次方程-里程碑上的数（分层作业）（含解析）

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第5课时应用二元一次方程-里程碑上的数（分层作业）

一、单选题

1．已知两数x，y之和是10，且x比y的2倍大3，则下列所列方程组正确的值是（）

A．B．C．D．

2．春节将至，某超市准备用价格分别是36元和20元的两种糖果混合成的什锦糖出售，混合后什锦糖的价格是28元．若设需要36元的糖果，20元的糖果，则下列方程组中能刻画这一问题中数量关系的是（）

A．B．

C．D．

3．《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数，物价各几何？”意思是：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元，问共有多少人？这个物品价格是多少元？设共有个人，这个物品价格是元，则可列方程组为（）

A．B．C．D．

4．为了研究吸烟对肺癌是否有影响，某研究机构随机调查了8000人，结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是3%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0．5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多33人．在这8000人中，设吸烟者患肺癌的人数为x，不吸烟者患肺癌的人数为y．所列方程组正确的是（）

A．B．

C．D．

5．一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，这样的两位数有（）

A．3个B．5个C．6个D．8个

6．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍，如果搭建的正三角形和正六边形共用了2023根火柴，并且正三角形的个数比正六边形的个数多个，那么能连续搭建的正三角形的个数是（）

A．B．

C．D．

7．足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为负的场数为，则可列方程组为（）

A．B．C．D．

8．某家具生产厂生产某种配套桌椅（一张桌子，两把椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子4把，现计划用120块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），设用x块板材做桌子，用y块板材做椅子，则下列方程组正确的是（）

A．B．C．D．

9．某校八（3）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款510元，捐款情况如下表：

表格中捐款6元和8元的人数不小心被墨水污染已看不清楚若设捐款6元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意，可得方程组（）

A．B．C．D．

10．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（）

A．B．

C．D．

11．一个两位数，个位数字比十位数字大1，这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1．这个两位数是多少？设十位数字为x，个位数字为y，则正确的方程组是（）

A．B．

C．D．

12．一个两位数的个位数字与十位数字的和为14，若调换个位数字与十位数字，所得的新数比原数小36，则这个两位数是（）

A．86B．95C．59D．68

13．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，则买1束鲜花和1个礼盒的总价为元．

14．在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的．若图中各行从左到右列出的三组算筹分别表示未知数，的系数与相应的常数项，如图1表示方程组是，则如图2表示的方程组是．

15．学校为奖励优秀学生，用695元钱在某文具店购买甲、乙两种笔记本共100本，已知甲种笔记本每本8元，乙种笔记本每本5元．请问两种笔记本各购买了多少本？

16．有一个两位数，其值等于十位数字与个位数字之和的4倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．

17．学校计划为“爱成都爱祖国”歌唱比赛购买奖品，已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．

（1）求两种奖品的单价．

（2）学校准备购买两种奖品共30个，且A奖品的数量是B奖品数量的一半，请问学校购买A、B奖品各多少个？

18．一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：

第一次第二次

甲种货车辆数（辆）25

乙种货车辆数（辆）36

累计运货吨数（吨）15.535

现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主应付运费多少元？

19．学校准备租用客车外出活动．现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人．已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．

（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？

（2）学校计划租用甲、乙两种客车送330名师生集体外出活动（无空座），最节省的租车费用是多少？

20．巴蜀学子李金珉在2023年第61届国际数学奥林匹克竞赛中以唯一满分勇夺金牌，全校同学深受鼓舞，校园里掀起了一股热爱数学、研究数学的浪潮.某学习小组讨论了这样一道数学题：若一个多位数各个数位上的数字之和为12的倍数，则称其为“榜样数”，例如：879，因为，则879为“榜样数”；又如：678492，因为，则678492也是“榜样数”.

（1）95______“榜样数”；56382______“榜样数”（横线上填“是”或“不是”）；

（2）最大的三位“榜样数”是______，最小的四位“榜样数”为______；

（3）若一个四位正整数是“榜样数”，且满足十位数字是千位数字的2倍，个位数字比百位数字小3，且百位数字和十位数字之和是千位数字与个位数字之和的3倍，求出满足条件的四位数.

21．小明从家里到学校先是走一段平路然后走一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走，下坡路每分钟走，上坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需.

问：从小明家到学校有多远？

22．4月23日是世界读书日，在世界读书日来临之际，某校为了营造读书好、好读书、读好书的氛围，决定采购《童年》《汤姆索亚历险记》两种图书供学生阅读．通过了解，购买本《童年》、本《汤姆索亚历险记》共需元，购买本《童年》、本《汤姆索亚历险记》共需元．

求每本《汤姆索亚历险记》和《童年》的定价各是多少元

该校计划购买两种图书共本，并且要求《汤姆索亚历险记》的数量不少于《童年》数量的倍，请你设计一种购买方案，使得购买两种图书所需的总费用最低．

23．年的《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为________和________．

参考答案：

1．C

【分析】根据x，y之和是10，列出方程，再由x比y的2倍大3，列出方程，最后写成方程组形式即可解题．

【详解】根据题意列出方程组，得：

故选C．

【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，是重要考点，找到等量关系，掌握相关知识是解题关键．

2．B

【分析】由题意得等量关系：两种糖果混合成的什锦糖；36元/kg的糖果的费用＋20元/kg的糖果的费用＝100kg×28，即可得出方程组．

【详解】解：设需要36元/kg的糖果，20元/kg的糖果，由题意得：

故选：B．

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．

3．A

【分析】根据等量关系：每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元即可列出方程组．

【详解】根据题意有

故选：A．

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，读懂题意，找到等量关系是解题的关键．

4．C

【分析】根据吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多33人且该研究机构共调查了8000人，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．

【详解】解：依题意得：

．

故选：C．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

5．D

【分析】可以设两位数的个位数为x，十位为y，根据两数之和为7，且x、y为整数，分别讨论两未知数的取值即可，注意不要漏解．

【详解】解：设两位数的个位数为x，十位为y，

根据题意得：x＋y＝8，

∵x，y都是整数，

∴当x＝0时，y＝8，两位数为80；

当x＝1时，y＝7，两位数为71；

当x＝2时，y＝6，两位数为62；

当x＝3时，y＝5，两位数为53；

当x＝4时，y＝4，两位数为44；

当x＝5时，y＝3，两位数为35；

当x＝6时，y＝2，两位数为26；

当x＝7时，y＝1，两位数为17；

则此两位数共8个，

故选D．

【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键在于根据未知数的整数性质讨论未知数的具体值，注意不要漏掉两位数的个位数可以为0的情况．

6．D

【分析】设连续搭建正三角形的个数为x个，连续搭建正六边形的根数为y个，根据“所用火柴棍数=三角形个数×2+1+正六边形个数×5+1”联立正三角形的个数比正六边形的个数多6个得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．

【详解】解：设连续搭建正三角形的个数为x个，连续搭建正六边形的根数为y个，

由题意得，

解得：，

∴能连续搭建的正三角形的个数是293个，

故选D．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是列出关于x、y的二元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合数量关系得出关于两种图形个数的方程（或方程组）是关键．

7．A

【分析】由题意得：共进行了8场比赛，则有；又得分为12分，所以有，即可得出答案．

【详解】解：设这个队胜场，负场，

共进行了8场比赛，

∴有，

又得分为12分，

∴有，

根据题意，得．

故答案为：A．

【点睛】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题关键是找到题目中的等量关系．

8．D

【分析】设用x块板材做桌子，用y块板材做椅子，根据“用120块这种板材生产一批桌椅”，即可列出一个二元一次方程，根据“每块板材可做桌子1张或椅子4把，使得恰好配套，一张桌子两把椅子”，列出另一个二元一次方程，即可得到答案．

【详解】设用x块板材做桌子，用y块板材做椅子，

∵用100块这种板材生产一批桌椅，

∴x+y=120①，

生产了x张桌子，4y把椅子，

∵使得恰好配套，1张桌子4把椅子，

∴2x=4y②，

①和②联立得：

，

故选：D．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．

9．C

【分析】根据捐款学生40名，捐款金额是510元，即可得出方程组．

【详解】设捐款6元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，

由题意得，，即，

故选：C．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．

10．C

【分析】根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【详解】解：依题意得：．

故选：C．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

11．C

【分析】通过认真审题，由“个位数字比十位数字大”可列方程；由“这个两位数除以它的各位数字之和，商是，余数是”可列方程，组成方程组即可得解．

【详解】解：设十位数字为，个位数字为

根据题意得．

故选：C

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是两位数的表示方法．

12．B

【分析】先设出原两位数的十位与个位分别为和，再用含和的式子表示出原两位数和新两位数，最后根据题意找到等量关系列出方程组求解即可．

【详解】设这个两位数的十位数字为，个位数字为

则原两位数为，调换个位数字与十位数字后的新两位数为

∵这个两位数的个位数字与十位数字的和为14

∴

∵调换个位数字与十位数字后的新两位数比原两位数小36

∴

∴联立方程得

解得：

∴这个两位数为95

故选：B．

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意找出等量关系．

13．88

【分析】设1束鲜花x元，一个礼盒y元．根据题意可列方程组，求出x、y再相加即可．

【详解】设1束鲜花x元，一个礼盒y元．

则有：，

解得：，

所以1束鲜花33元，一个礼盒55元．

所以购买1束鲜花和一个礼盒的总价为33+55=88元．

故答案为88．

【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意找出等量关系列出方程组是解答本题的关键．

14．

【分析】观察图1可知：第三组算筹左边的一横代表10，右边上边的一横代表5，一竖代表1，结合图2即可得出图2所表示的方程组．

【详解】解：依题意，得：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

15．甲种笔记本购买了65本，乙种笔记本购买了35本．

【分析】设甲种笔记本购买了本，乙种笔记本购买了本，根据题意可列出二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可得答案．

【详解】设甲种笔记本购买了本，乙种笔记本购买了本，

∵用695元钱购买两种笔记本共100本，甲种笔记本每本8元，乙种笔记本每本5元，

∴，

解得:．

答：甲种笔记本购买了65本，乙种笔记本购买了35本．

【点睛】本题考查二元一次方程的应用，正确得出等量关系，列出方程组是解题关键．

16．这个两位数是24．

【分析】设十位数字为x，则个位数字为x+2，根据这个两位数等于其数字之和的4倍列出方程，解方程即可．

【详解】设十位数字为x，则个位数字为x+2，根据题意得

10x+x+2=4（x+x+2），

解得x=2．

答：这个两位数是24．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

17．（1）A奖品的单价为30元，B奖品的单价为15元；（2）购买A种奖品10个，B种奖品20个．

【分析】（1）设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元，根据题意找到等量关系，列二元一次方程组，利用加减消元法解二元一次方程组即可；

（2）设准备购买A种奖品为个，则B种奖品为个，由题意A奖品的数量是B奖品数量的一半，列一元一次方程，解一元一次方程即可解题．

【详解】解：（1）设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元，

由题意得：，

由①②可得：，

，

将代入①中可得：，

，

，

答：A奖品的单价为30元，B奖品的单价为15元．

（2）设准备购买A种奖品为个，则B种奖品为个，

由题意可得：，

，

答：购买A种奖品10个，B种奖品20个．

【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

18．货主应付运费735元

【分析】先设甲、乙两种货车载重量分别为x吨、y吨，再根据题意列出方程组求出x、y的值，然后根据运费每吨30元计算即可．

【详解】解：设甲、乙两种货车载重量分别为x吨、y吨

根据题意得，

解得

答：货主应付运费735元．

【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意设出合适的未知数，列出方程是解题的关键．

19．（1）1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元；（2）2960元．

【分析】（1）可设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元，根据等量关系：①1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，②3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元，列出方程组求解即可；

（2）由于求最节省的租车费用，可知租用甲种客车6辆，租用乙客车2辆，进而求解即可．

【详解】解：（1）设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元，依题意有

，

解得：．

∴1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元；

（2）根据题意，

∵，

∴当全部租用乙种客车11辆，则费用为：（元）；

∵，

∴当租用甲种客车6辆，乙种客车2辆时，

费用为：（元）；

∵，

∴当租用甲种客车4辆，乙种客车5辆时，

费用为：（元）；

∵，

当租用甲种客车2辆，乙种客车8辆时，

费用为（元）；

综合上述，则当租用甲种客车6辆，乙种客车2辆时，费用最少，费用为2960元．

【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．

20．（1）不是；是；（2）996；1029；（3）3360．

【分析】（1）根据“榜样数”的定义即可求解；

（2）根据“榜样数”的定义即可求解；

（3）设千位数为a，则十位数为2a，设百位数为x，则个位数为：x-3，再进行讨论可得满足条件的四位数．

【详解】解：（1）9+5=14≠12n,故不是“榜样数”；

5+6+3+8+2=24=12×2,故是“榜样数”；

故答案为：不是；是；

（2）依题意得：最大的三位“榜样数”是996；最小的四位“榜样数”为1029；

故答案为：996；1029；

（3）设千位数为a，则十位数为2a，设百位数为x，则个位数为：x-3

依题意得各位位数之和可能是:12，24，36，依题意得：

或或

解得或（舍去）或（舍去）

故这个四位数为：3360．

【点睛】此题主要考查了约数与倍数，新定义，解本题的关键是理解新定义，掌握数的整除是解本题的难点．

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