第2课时角平分线的判定课件人教版数学八年级上册

第十二章全等三角形第2课时角平分线的判定1.探索并证明角平分线的判定：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.3.会用角平分线的判定解决实际问题.

学习目标重点难点

新课引入你还记得上节课所学的角平分线的性质定理吗？角的平分线上的点到角的两边的距离相等.那么在角的内部，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？一

角平分线的判定思考如图，要在

S

区建一个集贸市场，使它到铁路和公路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处

500m，这个集贸市场应建在何处？DCSO解：作夹角的角平分线

OC，在射线OC上截取

OD=500m，则点

D即为所求.新知学习我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢?利用三角形全等，可以得到角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.按照上述证明命题的步骤，自己证一证这个结论.证明如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线OC上.OABCPDE┐证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PEO=∠PDO=90°.∵在Rt△PEO和Rt△PDO中，

PE=PD，PO=PO，

∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）.

∴∠AOC=∠BOC.∴点P在∠AOB的平分线OC上.归纳角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.使用定理时这样书写：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上.OABCPDE┐例1如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.求证：AD是∠BAC的平分线.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.

∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，BE=CF，

DB=DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.∴DE=DF.∴即AD是∠BAC的平分线.┐CEAFDB┐二

三角形的内角平分线探究1分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？三角形的三条角平分线相交于一点，且交点位于三角形的内部.ABC┐ABCABC探究2过交点分别作三角形三边的垂线，测量一下每一组垂线段的长度，你发现了什么？ABCABBCAC过三角形三条角平分线交点作三角形三边的垂线段相等.┐┐┐┐┐┐┐┐┐D

E

F

A

B

C

P

N

M

例2如图，△ABC的角平分线

BM，CN相交于点

P，求证：点

P到三边

AB，BC，CA

的距离相等.证明：过点

P作

PD，PE，PF分别垂直于

AB，BC，CA，垂足分别为

D，E，F.∵BM是△ABC

的角平分线，点

P

在

BM

上，∴PD=PE.同理，PE=PF.∴PD=PE=PF.即点

P到三边

AB，BC，CA的距离相等.针对训练1.如图，在直角△ABC

中，AC＝BC，∠C

＝90°，AP

平分∠BAC，BD

平分∠ABC；AP，BD

交于点

O，过点

O

作

OM⊥AC于点

M，若

OM＝4.(1)

求点

O

到△ABC

三边的距离和；MENABCPOD解：如图，过点

O

作

ON⊥BC于点

N,过点

O

作

OE⊥AB于点

E,∵OM＝4.∴OM+ON+OE=4+4+4=12.(2)

若△ABC

的周长为

32，求

△ABC

的面积.解：连接

OC.ENABCPODM过三角形三条角平分线的交点O向任一边作垂线段h，三角形周长为C，则三角形面积=.随堂练习1.如图，在△ABC

中，点

O

是△ABC

内一点，且点

O

到△ABC

三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC

的度数为

()A.110°

B.120°

C.130°

D.140°解析：由于

O

到△ABC

三边的距离相等，故

O

是三条内角平分线的交点，即

BO，CO

都是内角的平分线，则∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB.∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－40°＝140°，∴∠OBC＋∠OCB＝70°.∴∠BOC＝180°－70°＝110°.答案：A证明：如图，过点F作FG⊥AE于点G，FH⊥AD于点H，FM⊥BC于点M.2.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠BAC的平分线上．GHM∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC.∴FG=FM.同理可得∴FM=FH.∴FG=FH，∴点F在∠BAC的平分线上．3.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.求证：AM是∠DAB的平分线.∵DM平分∠ADC，∠C=∠DNM=90°∴MN=MC（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），N解：如图，作MN⊥AD于N，∵