14考研数学基础过关高数后部分

第一讲函数极限连续 第二讲导数与微 第三讲微分中值定理及导数的应 第四讲一元函数积分 第五讲微分方 第六讲多元函数微分 第七讲重积 第八讲曲线积分与曲面积分 第九讲无穷级数 第一讲行列 第二讲矩 第三讲线性方程 第四讲向 第五讲特征值与特征向 第六讲二次 第一讲概率论的基本概 第二讲随机变量及其分 第三讲多维随机变量及其分 第四讲随机变量的数字特 第五讲大数定律及中心极限定 第六讲样本及抽样分 第七讲参数估 设数集DR，则称映射f:DR为定义在D上的函数，简记为yf (1)有界性：若M0，对于xIf(x)Mf(xI上有界(2)单调性：设函数f(x)的定义域为DIDx1x2Ix1x2f(x1f(x2f(x1f(x2f(xI上单调增加(单调减少).(3)奇偶性：设函数的定义域为I，对于xI，f(x)f(xf(xf(x)f(xf(x是偶函数f(x)

f(x)f(x)2

f(x)f.2(4)f(xI，若T0，对于xIf(xT

f(x)(xTI)fDf(Df1f(DDf1f的反函数f1f(xxff1(xx单调函数存在反函数，反之yf(x)的定义域为Dfug(x)的定义域为Dg，且其值域RgDf，则函数yf[g(x)],xDg称为由函数ug(xyf(u构成的复合函数只有当函数u(xy

初等函数.xna成立，则称数列xna，记为limana ③(保号性)如果limxaa0a0NNnNx0 xn0设有数列xnynlimxnAlimynB ①lim(xnyn)AB；②limxnynAB

0B0limn

AB①(夹逼法则)如果数列xn，yn，zn1)ynxnzn(n 2)limyna，limzna那么数列x的极限存在，且limxa

nxx0f(xx0A，对于任意给定的正数

x

f(xAAf(xxlimf(xAx注limf(xAlimf(x)

f(x)A XxxX时，有的极限，记作limf(x)A.

f(xAAf(xx①(唯一性)如果limf(x存在，那么它的极限唯一，即：若limf(x)A，且limf(x)B AB局部有界性limf(xA，那么

M000xx0f(x)M③(局部保号性)如果limf(xAA0A0)，那么0，使得当0f(x)0f(x0如果limf(x)Alimg(x)B ①lim[f(x)g(x)]AB ②lim[f(x)g(x)]A ③limf(x)A(B0 ④limf(x)g(x)AB(A0xx0 1：如果limf(xc为常数，则lim[cf(xclimf(x 2：如果limf(xn是正整数，则lim[f(x)]nlimf(x)n

xx0

①(夹逼法则)f(xg(x)h(x1)xU(x0,g(x)f(xh(x；2)limg(x)Alimh(x)A 那么limf(x存在，且limf(x)A ②(单调有界准则)f(xxf(xxf(x yf[g(x是由函数ug(xyf(uyf[g(x的某去心邻域有定义，若limg(x)u0limf(uA且在x0的邻域内g(x)u0，则 limf[g(x)]limf(u)Ax sin①lim 1 1 11②lim(1x)xe或lim e(lim e

x x n nf(xxx0（xf(xxx0x)时的无穷小①如果lim②如果lim

0，称是o(，称③lim④lim⑤lim

c0，称是c0，称是k1，称与~~~，如果lim1A，则lim2lim1A

f(xx0f(xx0limf(x

f(xx0处连续

f(x)f(x)f(x0) 可去间断点(右极限 跳跃间断点(左极限右极限)K0，使得x[abf(x)K，以及在[ab上有1，2f(1mf(2M，其中mM分别为f(x)在[ab上的最大值和最小值.(2)(零点定理)f(x在[abf(af(b0，则abf(0(3)(介值定理)f(x在[abf(a)则(abf(c

f(bcf(af(bf(x在[abmMf(x在[abmcM，则[ab使得f()c.领域内)时，相应的函数取得增量yf(xxf(xlimylimf(x0xf(x0 x0 yf(xx0f(x0f(x)limylimf(x0x)f(x0或记为 ，0x dxx0

df.xdf.x0

yf(xI内可导，对于xIf(x的一个确定的导数值.yf(xydydf(x

f(x)limylimf(x0x)f(x0 x0 f(x)limylimf(x0x)f(x0 x0 x0f(x0存在f(x0f(x0导数的几何意义：函数yf(x)x0点处的导数f(x0在几何上表示曲线yf(x)在点M(x0y0f(x0tanyf(xM(x0y000切线方程为yyf(x)(xx)，法线方程为yy (xx)00

f(x0函数的和、差、积、商的求导法则：如果函数uu(x及vv(xx具有导数，那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数，且①u(x)v(x)u(x)v(x)②u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x) ③u(x)

(v(x)0

v

dny

n. ddy f(xx)f dxdx ②和、差、积的n

v(n)，(uv)

nnnk

Cku(nk)v(k)反函数的求导法则：如果函数x

fyIy内单调、可导且fy)0yf1(x)在区间Ixxf(y),yIy内可导，且f1(x) 或dy1 f( 复合函数的求导法则：设yf(u)ug(x)，且f(u)g(x)都可导，则复合函数yf[g(xxdy

f(ug(xdydydu dux若参数方程y(t)xy间的函数关系，则称此函数为参数方程所确定的函数x(t)具有单调连续反函数t1(x)，且此反函数能与函数y(t)构成复合函数，那么有参数方程所确定的函数可以看成是由函数y(t)和t1(xy[1(xx(ty(t都可导，而且(t0，于是根dydydtdy1(t)，即dy(t d2 ddy d(t) (t)(t)(t)(t) dx2dxdxdx(t)dx

2

d2y(t)(t)(t) yuv(u0)，如果uu(xvv(xyuvvlnuvu u yf(xx0x0x在这区间内，如果增量yf(x0xf(x0)可表示为yAxo(xA是不依赖于xyf(xx0是可微Axyf(xx0相应于增量xdydyAx.yf(xxf(xxAf(xdyf(x)dxf(xxx0可导f(xxx0可微f(xxx0微分的几何意义：yf(x0x)f(x0)是曲线yf(x)在xx0处对应于自变量的增量x的纵坐标的增量，而微分dy 是曲线yf(x)在点(x0f(x0yf(u及ug(xyf[g(xdyyxdxf(u)g(x)dx由于g(x)dxdu，所以复合函数yf[g(x)]的微分也可以写为dyf(u)dudyyudu.因此，无论udyf(u)du保持不f(x在闭区间[ab在开区间(abf(af(b那么在(ab内至少存在一点(abf'(0y

在闭区间[ab在开区间(ab那么在(ab内至少存在一点(ab，使等式f(bf(a)f)(ba成立.y

f(x)ABABf(xF(x在闭区间[ab在开区间(abx(ab，Fx0那么在(ab内至少存在一点(ab

f(b)f(a)

成立xg(t)[abA(g(a),f(aB(g(b),f(b)).曲线在yf(t)设(1)xaf(xg(x在点af(xg(xg(x0flim xaf

f则lim lim xa xax设(1)xf(xg(xxAf(xg(xg(x0flim x则limf(x)limf(x)x x0型才可以考虑用洛比达法则.当然，对于000，10 f(x)f(x)f(x)(x

)f(x0)(x

)2 f(n)(x0)(xx)n

(n

(xx0

f(xx0I内有直到(n1)xIf

则f(x)f(0)f(0)x x2 x

xn1(01) (nyf(x在[ab上连续，在(ab如果在在(abf(x0yf(x在[ab内单调增加如果在在(abf(x0yf(x在[ab内单调减少上述所给的只是判别单调性的充分条件，f(x)0f(x)f(x单调f(x0f(x0f(xIIxxfx1x2f(x1f(x2

x1

f(x)f(xf(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有f( ) 2那么称f(x)在 yf(x在[ab上连续，在(ab①若在(abf(x0f(x在[ab②若在(abf(x0f(x在[ab上图形是凸的yf(xIx0Iyf(x在经过x0f(x0)时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点x0f(x0)为曲线的拐点.f(x00(f(x0f(xx0点连续)x0

f(x的一个拐点水平渐近线：若limf(xcycy

f(x的一条水平渐近线垂直渐近线：如果limf(xxx0yf(x的一条垂直渐近线斜率k0，则称L为斜渐近线.Lykxbyf(xk

fx

，b

f(x) x o设函数f(x)x0的某邻域U(x0内有定义，如果对去心邻域U(x0内的任一点x，有f(xf(x0)或f(xf(x0f(x0f(x的一个极大值或极小值f(xx0x0f(x00.f(x00的点x0为驻点.

f(xx0处取得极大值f(xx0处取得极小值xU(x0,f(xf(xx0处不取极值(2)f(xx0f(x00f(x00f(x00f(xx0f(x00f(xx0处取得极小值.IF(xf(xxIF(xf(xF(xf(x(f(x)dx)I上的原函数I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记作f(x)dxf(xf(x)dxx称为积kdxkxC(k是常数 x(2)xdx1C1 (3)xlnxC (4)1x2arctanxC(5) arcsinxC (6)cosxdxsinxC(7)sinxdxcosxC

cos2

sec2xdxtanxC

sin2

csc2xdxcotxC (10)secxtanxdxsecxC(11)cscxcotxdxcscx ax(13)adxlnaC

(12)exdxexCf(uu(x)可导，则f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)f[(x)](x)dxf[u]duF(u)CF[(x)]Cx(t单调的可导函数，且(t0，若f(t)(t)dtG(tCf f[(t)](t)dtG(tCG[1(xC.t1(xx(t的反函设uu(x),vv(x具有连续导数，则u(x)v(x)dxu(x)v(x)v(x)u(x)dx ，xn1,xn，各个小区间的长度依次为x1x1x0，x2x2x1 nxi的乘积f(i)xii1, ,n，并作出和Sf(i)xi，记maxx1,x2 ,IIf(x在abbf(x)dx.anbf(x)dxlimf(i)xinb 0积分下限，ab叫做积分区间.f(x在[abyf(xxaxbx轴a①af(x)dx0a ②af(x)dxbf(x)dx ①a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxag(x)dx akf(x)dxkaf(x)dxk是常数 acbaf(x)dxaf(x)dxcf(x b④如果在区间[abf(x1af(x)dxbabb⑤如果在区间[abf(x0af(x)dx0(abb 1f(xg(xaf(x)dxag(x)dx(ab 2af(x)dx

f(x)dxbMmf(x在区间[abm(baaf(x)dxM(babbf(x在积分区间[ab上连续，则在[ab上至少存在一点b

af(x)dxf()(ba)aaf(x)dx0(f(x奇函数a af(x)dx20f(x)dx(f(x f(x以Taa

f(x)dx0

f(x)dxf(x在区间abxab，定积分xf(t)dta间ab(xxf(t)dtaxb，称为积分上限函数a积分上限的函数的导数：如果函数f(x)在积分区间[ab]上连续，则积分上限函数(xxf(t)dt在[ab上可导，且(x)dxf(t)dtf(xaxba1(1(

dx(3)F(x

f(t)dt1(x),2(xf(xx注f(x在区间[ab上连续，则函数(xx

f(t)dtf(x在[abF(xf(x在区间[ab上的一个原函数，则bf(x)dxF(xbF(b f(x在区间[abx(t①()a，()b(t在[](或[,])Rab] bf(x)dxf[(t)](t)dt 分部积分法bu(x)vxdxu(x)v(x)bbv(x)uxdx byy1xyy2xxaxbbS＝12()2()d 2

y2(x)y1(x)dxyf(x(f(x0)xaxbx x轴旋转一周的体积为：Vxaf(x)dxby轴旋转一周的体积为：Vy2axf(x)dxbxgygy0)ycydy dx轴旋转一周的体积为：Vx2d

ygydyb为VaA(x)dxbx设光滑曲线Cy

t(t，(t在

上有连续的导数，曲线

S

f(xaxbf(xSa

1y2dx

S

()2()2dyf(x(f(x0)xaxbxx

Vy2bf(x)1y2dxa若将函数带入微分方程中能使方程变为恒等式，这样的函数称为微分方程的解微分方程的不含有自由常数的解称为微分方程的特解dxP(x)Qy)(Qy0)M1x)N1y)dxM2x)N2y)dy0M1(xdxN2(ydy，再两边积分M1(xdxN2ydyCM2 M2 dyy x xudxuxdx(u，两边积分得(uu

Cx P(x)yQ(x)yePxdxQxePxdxdxCzy1n，则方程化成1dzP(x)zQ(x)，再用一阶线性微分方程的求解方法求解1n

P(xy)dxQ(xy)dy0xy解法：上述全微分方程通解为u(x,y)C，求u(x,yP(xy)dxQ(xy)dydu(xy，利用一些二元函数的全微分公式，有助于方程 (x,y ②特殊路径积分法：u(x, u(x0,y0

(x,y)P(x, Q(x,y)dy0

u(x0,y0)xP(x,y0)dxyQ(x,y)dy P(x,y得u(x,y)P(x,y)dxCy y 对y求导，得Q(x,yy

P(x,y)dxCy，求出Cy，然后积分可得y(n)f(x解法：用n次积分求解，通解y

f(x)(dx)nC1xn1

xn2 yf(xy型(y解法：设ypyppf(x,p，该方程为一阶微分方程.设其解为pg(xC1yg(x,C1yg(x,C1dxC2yfyy型(xyppyydpdpdypdp，把yy dy 1pdyfyppgyC1则原方程的通解为gyC)xC21yp(xyq(xy0yp(xyq(xy

①f y1xy2x为方程①的两个解，则它们的线性组合C1y1xC2y2xC1C2为任意常数)y(x)方程②的一个特解，而C1y1x)C2y2x)为方程①的通解C1C2为任意的常数)y1x)与y2xyp(xyq(xyf1x)yp(xyq(xyy1xy2x)yp(xyq(xyf1xf2x的特解解法：先求其特征方程2pq0①当p24q0,特征方程有两个不同的实根12，则方程的通解为yCe1xCe2x. ②当p24q0，特征方程有二重根12，则方程的通解为yCCxe1 ③当p24q0,特征方程有共轭复根i，则方程的通解为yex(C1cosxC2sinx).

ynp1yn1p2yn2 p

n1ypny0，其中pi(i1, ,n)为常数解法：由特征方程npn1p p

p0

①若特征方程有n个不同的实根1,2 , 则方程通解yCe1xCe2x Cen ②若为特征方程的k重实根(kn)，则方程通解中含有(CCx Cxk1)ex ③若ik重共轭复根(2knex[(CCx Cxk1)cosx(DDx Dxk1)

x] ypyqyf(xpq为常数，特征方程为2pq0 若yRn(x)ex若yxRn(x)ex若yx2R(x)exR(xny )f(xex[P(xcosxPsinxP(xP(xnl 若iyex[R(1)x)cosxR(2)x)sin i是特征方程的根，则令yxex[R(1)x)cosxR(2)x)sinxR(1)x 得原方程的特解DR2的一个非空子集，称映射fDR为定义在D上的二元函数，通常记为zf(xy),(xyDzf(PPDDxy称为自变量，z称为因变量.o定的正数，总存在正数P(xyDU(P0,f(P)Af(x,y)AAf(xy当(xyx0y0

(x,y)(x0,y0

f(x,y)A.(x,y)(x0,y0

f(xyf(x0y0f(xyP0x0y0连续zf(xy在点(x0y0yy0xx0处有增量x f(xxyf(xylimf(x0xy0f(x0 zf(xy在点(xyx

(x,

或zxx

xx0y

xx0y

yzf(xy在点(xyylimf(x0y0yf(x0y0 y

xx0y

或zyxx0y

偏导数的几何意义：fx(x0y0zf(xyyy0的截线在点(x0y0f(x0y0处的切线关于x轴的斜率；fy(x0y0表示曲面zf(xy)与平面xx0的截线在点设zf(x,y),2z z2z x2fxx(x,y)x(x)，xyfxy(x,y)y(x2z z2z yxfyx(x,y)x(y)，y2fyy(x,y)y(y2 2这两个二阶混合偏导数相等设函数zf(xy)在点(xy)(xy)的全增量x,y相关， ，则称函数zf(x,y)在点(x,y)可微分，而AzBy称为函数zf(x,y)在点(x,y)的全微分，记作dz，即dzAzBy.f(x,y)在点(x,y)可微分则该函数在点(x,y)的偏导数

zf(xy在点(xydzxxyy

f(xy

zf(xy在(x0y0f(xy),f(xy连续f(x,y在(x,y f(xy在(xy可微f(xy),f(xy存在，反正不成立 f(xy在(x0y0可微f(x,y在(x0y0连续，反正f(xy),f(xy连续f(x,y在(x,y 一元函数与多元函数复合的情形：如果函数u(t及v(t都在点tzf(uv

zuzv u v多元函数与多元函数复合的情形：如果函数u(xy和v(xy在点(xyxyzf(uv在对应点(u,vzf[(xy),(xy在点(x,y)的两个偏导数都存在，且有zzuzv，zzuzv u v u vdzzduzdv，不管uv 一元隐函数：设函数F(xyP(x0y0的某邻域内具有连续偏导数，且F(x0y00Fy(x0y00F(xy0在点(x0y0的某邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导yf(xyf(xdyFx. 二元隐函数：设函数F(xyz)在点P(x0y0z0的某邻域内具有连续偏导数，且zf(xyz0zFx，zFy

f(x0y0F(xy,u,vG(xy,u,v)P(x0y0u0v0的某邻域内具有对(F列式J

在点

,

,

)不等于零，则方程组F(xy,uv0G(x,y,u,v)0在点(x0,y0u0v0uu(xyvv(x,y，它们满足条件u0u(x0y0v0v(x0y0 u1(F,G) J(x,

，v1(F,G) J(u,u1(F,G)

，v1(F,G) J(y,

J(u, 有极大值f(x0y0,点(x0y0称为函数f(x,y的极大值点；P0的任何点(xy,f(xyf(x0y0f(xy在点(x0y0有极f(x0y0,点(x0y0称为函数f(xy的极小值点.必要条件：设函数zf(xy)(x0y0具有偏导数，且在点(x0y0处有极值，则fx(x0,y0)0，fy(x0,y0)0zf(x,y在点(x0y0的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又在点(x0y0处是否取得极值的条件如下：ACB20A0A0ACB20ACB20时可能有极值，也可能没有极值，需另作讨论.导数不存在但连续点处的函数值及在区域D的边界上函数的最大、最小值而得.zF(xy在(x,y)0F(xy)f(xy(xy，解方程组Ff(xy(xy定极值，此法叫拉格朗日数乘法

F(x, .n n，并作和f(i,i)i.如果各个小闭区域的直径中的最大值DDf(xy)dlim 0

f(i,i)if(xyf(xy)dnD当f(xy)为闭区域D上的连续函数，且f(xy0，则二重积分f(xy)d表示以曲面Dzf(xyDz kf(xy)dkf(xy)dk f(x,y)g(x,y)df(x,y)dg(x,y)d DD1D2f(xy)df(xy)df(xy)d Df(xyg(xyf(xy)dg(x,y)d Df(xD

D

f(x,y)dDmf(x,y)dMD(6)(积分中值定理)f(xyDD的面积，则存在(,DDf(x,y)dD

f(,)ID(xyaxb,1(xy2(x)，其中1(x),2(x)在[ab上连续，f(x,y)D上连续，则bf(x,y)df(x,y)dxdyb

2(

f(x,y)dy 1( IID(xy)yxycy 其中1y),2y在[cdf(xyDdf(x,y)df(x,y)dxdyd

2(y

f(x,y)dx

1(y

f(cos,sin Df(xy)df(cos,sin)d d2()f(cos,sin)d IID(,),0(其中(在[f(xyf(cos,sin D上连续.f(xy)df(cos,sin)d (d f(cos,sin)df(x,y)d f(x,yf(x,y)d2f(x, f(x,y)f(x,1 1f(x,y)d f(x,f(x,y)d2f(x, f(x,y)f(x,2 2f(x,y)d f(x,y)f(x,y)d2f(x, f(x,y)f(x,3 3f(x,y)df(y,x)d1f(x,y)f(y,x)d 2f(xyz是有界闭区域上的有界函数.将闭区域n个小闭区域v1，v2，，n n，并作和f(i,i,i)vi.f(x,y,z)D

f(x,y,z)dvlim

f(,,

0kf(xyz)dvkf(xyz)dvk为常数 f(x,y,z)g(x,y,z)dvf(x,y,z)dvg(x,y, f(xyz)dvf(xyz)dvf(xyz)dv其中121 2不重叠f(xyz)g(x,yz(xyzf(x,yz)dvg(x,yz)dv 若mf(xyzM，(xyz，则mVf(xyz)dvMV，其中V为区域的体积f(x,y,z)dv

f(x,y,z)dv (7)(积分中值定理)f(xyz在空间有界闭区域上连续，V为的体积，则存在(,,f(xyz)dv

f(,,)V设是空间的有界闭区域(x,y,z)z(x,y)zz(x,y),(x,y)D，其中 是xy平 z1xyz2xyDxyf(xyz)在f(x,y,z)dv

z2(x,y

f(xyz)dz.然后计算F(xy

z2(x,y

f(xyz)dz在闭区域 z1(x,ybf(x,y,z)dvb

y2(

z2(x,y

f(x,y,z)dz y1( z1(x,yzf(xyz)dxdydzf(rcosrsinz)rdrddz.(3) zr 0 fx,y,zdxdydzf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd LxOy面内的一条光滑曲线弧函数f(xy)L上有界L上任意插入一列点1MM2 Mn1Ln个小段.设第i个小段的长度为si,又(i,i为第i1n的一点,作乘积f(i,i)si(i1, ,n),并作和f(i,i)si,如果当各小弧段的长度的最大0时,这和的极限总存在,f(x,yL线积分,记作f(xy)ds,Lf(x,y)dslimf(, 0f(xy叫做被积函数L叫做积分弧段设，Lf(xyg(xy)dsLf(xy)dsLg(xy)ds LL1L2Lf(xy)dsLf(xy)dsLf(xy)ds Lf(xyg(x,yLf(xy)dsLg(x,y)dsLfx,y)dsLfx,ydsxf(xyLL的参数方程为y(t(t，其中(t(t在[上具有一阶连续导数，且2(t2(t0，则曲线积分L

f(x,y)dsf(x,y)ds

2(t)2(t)dt() Lx(ty(tz(t(t则 LxOyAB点的一条有向光滑曲线弧,P(xyQ(xyL上有界.L1L的方向任意插入一点列M(x1,y1),M2(x2,y2 ,Mn1(xn1,yn1),把L分成n个有向小弧11,2,M

AMB.设xxxyyy,点(,

n取定的点.如果当各小弧段的长度的最大值0时P(i,i)xi的极限总存在,P(xyLx的曲线积分,记作L

P(xy)dx,类似地,limQ(i,i)yi0i存在,则此极限为函数Q(xyLy,记作Q(xy)dy,LP(x,y)dxlim

P(, 0

iQ(x,y)dylimQ(i,ii 0P(xyQ(xy叫做被积函数L叫做积分弧段,以上两个积分也称为第二类曲线积分 LF(x,y)drLF(x,y)drLF(x,y) 设L是有向光滑曲线弧，L是L的反向曲线弧，则F(x,y)dr F(x,y)dr

xP(xyQ(xyLL的参数方程为y(t，当参数t单M(xyLL运动到终点，(t),(t在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且2(t)2(t)0，则曲线积分LP(xy)dxQ(x,y)dyP(x,y)dxQ(x,y)dyP[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)dt Lx(ty(tz(t(tLP(xyz)dxQ(x,yz)dyR(x,yLPdxQdyL(PcosQcos)ds，其中(xy(xyL在点(xy处LPdxQdyRdzL(PcosQcosRcos)ds，其中(xyz，(xyz，(xyL在点(xyz处的切向量的方向角 dxdy dxdyx y 则 PdxQdy中L是x y D G是一个单连通域，函数P(x,y)Q(xyG内具有一阶连续偏导数，则曲线积分LPdxQdyG内与路径无关G内任意闭区域的曲线积分为零的充分必要条件是PQ在G内恒成立 设区域GP(x,y)Q(x,yGP(x,y)dxQ(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y的全微分的PQ在G 成立设区域GP(x,y)Q(x,yGLPdxQdy在G内与路径无关的条件是：在G内存在函数u(xyduPdxQdy设曲面是光滑的,函数f(x,y,z)在上有界,把任意分成n小块Si(Si同时也代表第i小块曲面的面积),设(i,i,i)是Si上任意取定的一点,作乘积f(i,i,i)Si(i1,2, nnf(i,i,i)Si,如果当小块曲面的直径的最大值0时,这和的极限总存在,if(xyz在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分,f(xyz)dS,

f(x,y,z)dSlim0

(1)(化为二重积分)若曲面zz(xy(单值函数)f(xyz)dS fxyz(xy)1z2z2dxdyD是曲面xy平面上的投影

(2若曲面yy(xzxxyz，也可类似地把对面积的曲面积分化成二重积分设是光滑的有向曲面,R(xyz在上有界,把任意分成n块小曲面Si(Si同时也代表第i块小曲面的面积SixOy面上的投影为(Si)xy(i,i,i是Si上任意取定的一点,nn0时limR(i,i,i)(Si0

的极限总存在,R(xyz在有向曲面xy的曲面积分,R(xyz)dxdy,R(x,y,z)dxdylimR(,,)(S) i 0R(xyz叫做被积函数叫做积分曲面类似地可以定义函数P(xyz)在有向曲面上对坐标yzP(xyz)dydzP(x,y,z)dydzlimP(,,)(S i 0Q(x,y,z)dzdxlimQ(i,i,i)(S以上三个曲面积分称为第二类曲面积分如果12

0

iPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy 设表示与P(x,y,z)dydzP(x,y,z)dydz Q(x,y,z)dzdxQ(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdyR(x,y,z)dxdy 若曲面zz(xy(xyDxyz(xyDxyR(xyz在则R(xyz)dxdyRxyz(xy)dxdyDxy是xy平面的投影，若曲面 若曲面xxyz，yzDyzxyzDyzP(xyz在P(xyz)dydzPxyzyzdydzDyz是yz平面的投影，若曲面 若曲面yy(zx，(zxDzxy(zxDzx上连续，Q(xyz在Q(xyz)dzdxQxy(zxzdzdxDzx是zx平面的投影，若曲面 PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosdS 其中coscoscos为曲面在点(x,yz处的法向量的三个方向余弦设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面P(xyzQ(xyzR(xyz在 PQRdv

z 其中是coscoscos为在(xyz处的法向量的方向余弦设是分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与(即法向量的指向)P(xyzQ(x,yzR(xyz在曲面(连同边界) PdxQdyRdzyzdydzzxdzdxxy PdxQdyRdz

RR Q

coscosPQR

点(x,yz处的单位向量如果给定一个数列u1，u2 ，un ，由这个数列构成的表达式u1u2 un 叫做(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为un，即unu1u2 un ，其中第 项un叫做级数的一般项 un 如果sn极限不存在，则称无穷级数un发散 us

kun

数u、vs、，则

n

n

当级数un和vn(unvn不一定发散

若级数unvn发散，则(unvn必发散 改变级数的有限项不改变级数的敛散性.当改变收敛级数的有限项时，一般其和改变如果级数un收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变(级数收敛的必要条件)若级数u收敛，则必有lim

0 正项级数的定义：级数un的通项un0，则称un为正项级数 正项级数收敛的充要条件：它的部分和数列{sn}有界 设级数un，vn都是正项级数，且unvn(n )，若级数vn收敛，则级数 收敛；反之，若un发散，则级数vn发散 设级数uv都是正项级数且limunl

n

n①若0l，则级数un与vn

②若l0，则当vn收敛时，必有un

③若l，则当vn发散时，必有un发散 比值判别法：设u是正项级数，如果limun11时级数收敛；1(n

nlimun1)1级数可能发散也可能收敛n根值判别法：设un是正项级数，如果limnun1时级数收敛；1( nlimnn

)1级数可能发散也可能收敛(莱布尼茨定理)如果交错级数数(1)n1unun1unn limun则(1)n1usn

，其余项r 如果级数un各项的绝对值所构成的正项数|un|收敛，则称级数un绝对收敛

如果级数u收敛，而级数级数|u|发散，则称级数u条件收敛n

如果级数un绝对收敛，则级数un必定收敛 1.un(x)u1x0)u2(x0)un(x0) 如果级数(2)x0是函数项级数的收敛点；如果级数(2)x0是函数项级数的的定义域就是级数的收敛域，并写成s(x)u1(x)u2(x) un(x)

axnaaxax ax n

2 n(阿贝尔定理)如果级数

xnxx0x00)x

级数绝对收敛；反之，如果级数

xnxx0x

数发散当|x|R时，幂级数绝对收敛；当|x|R时，幂级数发散；xRxRR通常叫做幂级数axn的收敛半径.开区间(RR叫做幂级数的收敛区间na

如果lim

a

是幂级数a

R

0设幂级数

xnR0s(xanxn s(x)dt(anxn)dxnxn1，积分后所得的幂级数和原幂级数有相同的收敛半径 0

s(x)

xn

f(x)aa(xx)a(xx)2a(xx)n，xU(x 0f(n)(x)n!a(n (xx)(n2)! (xx)2 ( f(n)(x0

n(xn!a，于是a

(n0,1, f(n)(x f(n)(x0f(x)f(x)(xx) 0(xx)(n) 0(xx 0

f(n)(x

f(x) 0(xx)(n)，xU(x 幂函数(2)叫做函数f(xx0处的泰勒级数.展开式(3)叫做函数f(xx0处的泰勒展开式.(2)f(xx0的某一邻域U(x0内有任意阶导数，则在该邻域内能展成f(xRn(xn limR(x)0，xU(x) f(n)(x0①直接展开法：按公式an ，计算幂级数的系数，并验证limRn(x)0 ①e ,(x 2kk②sinx(2k1)! ,(xk k③cosx(2k)! ,(xk ④ln(1x)

n1

,(1x n1 (1

,(1x⑥(1

(n1)xn,(1x11 1a f(x)cosnxdx，(n )，b f(x)sinnxdx，(n 1 f(x的傅里叶系数2 2

cosnxbsinnxf 的傅里叶级数

f(x是周期为2f(xxf(xf(xxf(x1f(xf(x2f(xf(xcosnxf(xsinnx

(n 2bn0f(x)sinnxdx(n 称bnsinnx为正弦级数f(xf(xcosnxf(xsinnx a2f(x)cosnxdx(n 2 ancosnx为余弦级数2周期为2l设周期为2lf(xf(xa0acosnxbsinnx(xC n11

l 1 anllf(x)cos dx，(n )，bnllf(x)sin dx，(n )Cxf(x)1[f(x)f(x)] 2 f(xf(xbn

l(xC)，bnl0f(x) dx(n )af(xf(xa

an

(xC)，a2

f(x)cos

)

l n

1j12

(j j (1)1 na1ja2 anj j j 1 1

行列式称为元素aij的余子式，记为Mij.aAA1)ijM n阶行列式按行(列)na i

j

ina ji

j Dai1 ai2bi ain

bin

a11x1a12x2 axax ax21 22 2n annxn D 0，则方程组(Ⅰ)x

D1，x

D2，…，x

Dn

a2,j

a2,j

Dj

an,j an,j (3)克莱姆法则法则使用于n个未知数，n个方程的情形. axax ax21 22 2n 齐次线性方程组有零解，但有非零解如果齐次线性方程组(Ⅱ)D0，则齐次线性方程组(Ⅱ)零解，非零解. ,m;j1, A 2n mn.且它们的对应元素相等，称AB相等，记作AB.AAij)mnBbij)mn，则CABaijbij)mn③AO

②(AB)CA(B④ABA AA 2n n nn③(AB)A

jcijai1b1jai2b2jainbnj(i1,2mj1,2s(3)矩阵乘法ABBAABABBAAB是可①(AB)C③(BC)ABA

②A(BC)AB设A(a ，则ij①AmAn③(AB)kAkBk

A

②(Am)nAaij)mnA的行与列的元素位置交换，得到的矩阵称为矩阵AAT(a ij①(AT)T ②(AB)TAT③(kA)T ④(AB)TBT对称矩阵与反对称矩阵:AT

nAn阶行列式(各元素的位置不变)A的行列式，记为AdetA①AT ②kAkn③ABAAa)A*A)TAAa的代数余子式ij ij①AA*A*AA

②A

A③

A ④(A*)*

An2A(n⑤(AB)B ⑥(kA)kn1A(n⑦(AB)AB(一般不相等 ⑧(A)T(AT矩阵，记作BA1.A11A*

A0①(A1)1 ②(kA)11k③(AB)1B1 ④(AT)1(A1⑤(A*)1(A1)*1 ⑥A1

(k设(x)anxnan1xn1 (A)anAnan1An1 A的n次多项式A的两个多项式AfA是可交换的，即AfAfA)AA的几个多项式可以像x的多项式一样相乘或分解因式.交换i,j两行(列)，记为E(i,j)；jk倍加到第iE(ij(k; 1 k而[E(i, E(i,j) Ei ，[E(ij(k E(ij(k))k E(i,j) E(i(k)) E(ij(k))1E(i,j)AA

E(i(k))AkA

E(ij(k))AAABBAABBCAC ,Es, Ft DArARA.RArA．r阶子式不为0r1阶子式(若还有)．0RArAr阶子式．0；RArA．r阶子式不为0；RA)0A0；A0R(A)1A是nA可逆RAnA0A不可逆RAnA0R(AT)R(PQR(PARAQR(PAQRmax{R(A),R(B)}R(A,B)R(A)R(AB)R(A)R(AB)min{R(A),a11x1a12x2 axax ax21 22 2n 当b1b2 bm0时，称为齐次线性方程组. 设A 2n，x2，b2

x b mn n m a12 a1n b1a22，a22 ,a2n，b

2 m1 m2 mn m Axb无解RARA有解RARA有唯一解RARAb有无穷多个解RARAbAx0有非零解RA只有零解RA

xnn0)Ax0有非零解RAn只有零解RAn

AA一、n称n个实数a1,a2 ,an组成的一个有序数组(a1,a2 ,an)为实数集R上的n维向量aiR称为的第i个分量，分量的个数称为的维数分量全是0的向量称为零向量，记为0写成一行(a,a ,a)的向量称为行向量;写成一列(a, ,a)T的向量称为列向量 ,n)，则称与相等，记为设(a1,a2 ,bn)则称(a1b1,a2b2 负向量与减法：称(a1,a2 ,an)为向量的负向量，a1b1a2b2 anbn为①交换律：(1)(a1,a2 ,kan)为数k与向量的乘积，记k(ka1ka2, ②(kl)k③(kl)k(l ,s线性表示x11x22 xss有 ,sxR(A)R(A,)，其中A(1,2 , ,s线性表示，则称两个向量组等价 ②对称性：若向量 ,t等价，则向量组 ,t与向量组 ,s等价 C ,nA与向量组C等价向量组1,2, ,t能由向量组1,2, ,s线性表示R(A)R(A,B)，其中A(1,2, ,s)，B(1,2, ,t).向量组1,2, ,t能由向量组1,2, ,s线性表示，则R(B)R(A)R(A,B)，其中A(1,2, ,s)，B(1,2, ,t) ,t等价R(A)R(B)R(A,B) n维向量1,2,,s，若存在一组k1k2ksk11ks0，则称向量组1,2,,s．；否则，称1,2,,s．k1k2ks0时前式才成立，则向量组1,2,s的.向量组1,2,,s(s2)线性相关的条件是向量组中s个向量线性表示 向量组1,2,,s．Ax0有非零解；向量组1,2,,s．Ax0只有零解.(4)向量组1,2,,s构成矩阵A(1,2,,s，则 ,s．R(A)s ,s．R(A)s

A0A0向量组1,2, ,s．，且1,2, ,s，．，则可由1,2, 个n维向量一定 m个分量后仍 ,t向量组1,2, ,t能由向量组1,2, ,s线性表示，若向量组1,2, (12)若向量组1,2, ,s和向量组1,2, ,t等价，且它们都．，则st. ,ir ,s的一个极大线性无关组向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记为R(1,2, ,s).只含有零向量的向量组没有极大线性无关组，规定它的秩为0.向量组线性无关它的秩与它所含向量的个数相同 axax ax21 22 2n 记A 2n，x2

x mn n则上述方程组可表为Ax0.若x1 a11x1a12x2 axax axb21 22 2n xxAxbxAx0的解xAxbxAx0xAxb的解 ks1)仍为Axb的解 x*kk ，其中k,k , 为任意实数1 2 nr 设(x, x)T，(y, ,y)T称[]xyxy xy为向量与的内积 (1)[][

1 2 n(2)[] ][ 0当且仅当0时[x2x2 .x2x2

x0齐次性：x

x0x0；

x0

xy

xy若[0，则称正交.x0x与任何向量都正交.设1,2 ,s，若

j]0，ij，则称1,2 若n维向量1,2, ,s是一组两两正交的向量组，则1,2, 正交向量组构成的基称为正交基，两两正交，且都是单位向量的基称为标准正交基8．Schimidt正交化方法设1,2, [2,1] [1,1][, [, [s,1] [s,s1]

[1,1]

[s1,

]e1

1，e2

，…，es sA是正交矩阵A的行(列)向量组的每一个向量都是单位向量且两两正交AA属于特征值的特征向量.fA(EAAEA0A的特征方程.属于不同特征值的特征向量是设f(x)anxnan1xn1 a0，若是A的特征值，则f()annan1fA的特征值 nA na11a22 anntr(

设A，B是n阶矩阵，若存在可逆距阵P，使BP1AP，则称矩阵A与B相似，记为A 可逆距阵P称为把A变成B的相似变换矩阵. B， C，则 若 B，则 若 若 ABABRAR(BtrAtr(BnA可对角化An个线性无关的特征向量(3)A的每个特征值的重数nRAE而对应特征值恰好有k个线性无关的特征向量. f(xx xax2ax2 ax22axx2axx x称为二次型 11 22 nn 121 131 n1,nn1 f(x,x ,x)(x,x ,x n

2n2 n nnn 其中A 2n是对称矩阵，称为二次型f的矩阵，A的秩称为二次型f的秩 a n nn1 2 n只含平方项fx2x2 1 2 nfx2x2 x2 f的规范形.p 性指数，负平方项的个数q称为负惯性指数ABn阶矩阵，若存在可逆阵CBCTACAB合同.AB，称变换xCy为合同变换.AAABBAn aijxixj(aijaji)，存在．xpy，使得f化为i,j准型fx2x2 x2，其中, 是f的矩阵A(a)的特征值1 2 n n ,xn)aijxixj(aijaji)，存在可逆变换xCz，使得f化为i,j范型fxTAx，对于x0f00)f为正定(负定)A称为若对于x0f00)f为半正定(半负定)Afy2y2 y2kz2 kz2(0,k1 2 r 1 r 则1,2 k中正数的个数相等推论：两个同阶实对称阵合同它们有相同的秩和正惯性指数nfxTAx正定的判定(条件AE合同，即存在可逆矩阵C，使得CTACA的所有特征值aiiA

:能结果，即中的元素，称为样本点，记为. kn

k k kAA_AABAB注ABABAB.ABAB不能同时发生，AB中必有一个事件发生，即ABAB.因此AB互逆AB互斥；反之

ABABBAABBAA(BC(AB)CAB)CA(BCAB)CACBCABCAC)(BC对偶(DeMorgan)律：ABAB，ABAB，可推广AkAk AkAk (1)ABA(AB)，AAA，AAAABABAABA(AB)ABABABABAABBBAABABABABCAABABC

(A)nAn

(A)nAP(A).即：当n很大时，P(A)Pf

,有P(Ai)P(Ai) 有限可加性：设A1,A2 ,An是n个两两互不相容的事件，即AiAj，(i

j)，其中事件A1,A2, ,An的情形.PABPAPABBAPABPA中所含样本点数＝ E的样本空间为几何空间中的一个有界区域，且中每个样本点，即基本事件出现的可能性形同，则称实验E为几何概率.此时，事件A的概率定义为：

) )

nBP(B)＝PAi)P(B|Ai P(Aj)P(B|Aj

n

j 同时发生时，常用PAB)，而在有包含关系或明确的主从关系时，用PA|B).P(AB)P(B|A)P(B)，P(A)P(B|A)P(B|A)，0P(A)P(B|A)P(B|A)1，0P(A)显然，必然事件、不可能事件与任何事件相互独立P(ABP(A)P(B)；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另一个事件不发生，这两事而且独立，则A和B中至少有一个为零概率事件.n个事件的．A1A2,,Ann个事件，对于任意1ijn ,,1i1i2 ikn，具有等式P(Ai Ai)P(Ai)P(Ai 1 XXX的一切可能值为x1x2XxipiP{Xxipi，(i123,)X的X…P…pi0,i

1设X的分布律为P{Xxi}pi，(i1,2, F(x)P(Xx)P(Xxi)，x P{Xk}pk(1p)1k,k

0p1nP{Xk}Ckpk(1p)nk,k ,n

0p1P{Xk} ,k k

0X~H(nMN)CknCP{Xk MNMkll min(nM，其中lmax(0,nNMnCNlim

p，则对于一切n1,k N 几何分布X~G(p)，概率函数P{Xk}p(1p)k1,k ,0p1泊松定理：设0n是任意正整数，设limnp，则对于任意的非负整数k limCnpn(1pn

，其中npX为随机变量，xF(xP{Xx}(xX的分布0F(x) (x)x1x2F(x1F(x2limF(x)0，limF(x)1 P{x1Xx2}P{Xx2}P{Xx1}F(x2)F(x1)如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使对于任一实数x，有xF(xf(t)dtXf(xXxf(x)0f(t)dtP{x1Xx2}P{x1Xx2}P{x1Xx2}

f(t)dtP{Xx1}0f(xxF(x)

f(x)

,ax均匀分布X~U(a,b)，其概率密度为f(x)b xxF(xbaaxb xe,x指数分布X~E()，其概率密度为f(x) 1ex,x分布函数为F(x) x f(x)

22,Xx (xx

e22dtXX……P……则Yg(X)Yg(x2)…)…P……XfX(x，则Yg(X)yg(xXg(xgxYg(X是连续fy)fX[hy)]hy),y. 其中(yg(xhyg(x分布函数法：先求Yg(XFYyP{YyP{gXygxy)fx(x)dxfYy)FYy)]XY为定义在同一个样本空间上的随机变量，则称由它们构成的向量X,Y为二维随机设X,YxyF(xyP{XxYyX,YF(xy)P{Xx,Yy0F(xy)1F(y0,F(x0,F(0,F(④对任意点(x1y1x2y2x1x2y1y2F(x2y2F(x2y1F(x1y2F(x1y10.前式表示随机点X,Y[x1Xx2y1Yy2P{x1Xx2y1Yy2如果二维随机变量(X,Y)所有可能取值是有限对或可列对，则称(X,Y)为二维离散型随机变量.设(X,Y)为二维离散型随机变量,它的所有可能取值为(xi,yj) ，i,j1,2, P{Xxi,Yyjpij(i,j1, 或下表称为X,YYX…y…………p2…┇┇┇…┇…pi……┇┇┇…┇…联合分布律具有下列性质：(1)pij0(2)pij1i1jf(x,y),使得二维随机变量X,Y)F(x,y)x,y F(xyf(xy)dxdy，则称X,Yf(xy为X,Y的联合密 (1)xyf(xy0 f(x,y)dxdy1DDf(xy在(xy若X,Y)

2F(x,y)f(x,.. ,(x,y)Df(x,y)S 若X,Y) (x1)22(x1)(y2)(y2)2

1 ， ，其中,R,0,0,1，则称X,Y)服从二维均匀分布，常记为(X,Y~N(,,2,2 1 设X,YFX(x)P{Xx}P{Xx,Y}F(x,)FY(y)P{Yy}P{X,Yy}F(,分别称为X,YX和关于Y当X,Y piP(Xxi)P(Xxi,Yyj)pij，(i1, )j j pjP(Yyj)P(Xxi,Yyj)pij，(j1, 分别称为X,YX和关于Y当X,Y FX(x)xf(x,y)dydx，FY(x)yf(x, 分别称为X,YX和关于Y fX(xf(xy)dy,fY(yf(xy)dx分别称为X,YX和关于YP{Xxi,Yyj}pij，P{Xxi}pi，P{Yyj}pj，(i,j1, P{Xxi,Yyj 对于固定的j，若P{Yyj}pj0，称pi|jP{Xxi|Yyj

,i为在YyjXp类似地，对于固定的i，若P{Xx}p0，称 P{Yy|Xx}pij,j1, p Xxj条件下随机变量Y

i设X,Yf(xyfX(x),fYyf (x|y)f(x,y)，x，为在条件Yy下XfY

f(x,

XY

(类似地， (y|x) 称为在条件Xx下Y的条件概率密度函数fYfX

F(x,y)FX(x)、FYy)分别是X,Y)xyF(xyFX(xFYyX与Y设(X,Y)为二维离散型随机变量，X与Y相互独立的充要条件是pijpipj(i,j1, )X,Y)为二维连续型随机变量，XY相互独立的充要条件是对任何实数xy，有f(x,y)fX(x)fY(y)ZXY若X,Yf(xyZXY fZ(z)f(x,zx)dxf(zy,y)dy X和YfZ(z)fX(xfY(zx)dxXZ Y

fX(zy)fY(y)dy若X,Yf(xyZfZ(z)yf(yz,y)dy

XYX和YfZ(z)ZXY

yfX(yz),fY(y)dy若X,Yf(xyZXYf(z)

f )dxx 当X和Y独立时，有fZ(z) fX(x)fY(x)dxMmax{X,Y}Nmin{X,YX和YFX(xFYyZ1max{X,Y}Z2min{X,Y}的FZ1(z)P(Z1z)P(max(X,Y)z)P(Xz,Yz)FX(z)FYFZ2(z)P(Z2z)P(min(X,Y)z)1P(min(X,Y)1P(Xz,Yz)1(1FX(z))(1FY

xk}pk,k ，如果级 xkpk．，kXf(xxf(x)dxEXxf(x)dxX设CE(CC设CE(CXCEXX1、X2EX1X2EX1EX2 ,Xn，有E(X1X2 Xn)E(X1)E(X2) E(Xn) Xn)E(X1)E(X2 (5)[E(X1X2)]2E2(X1)E2(X2设YXYgX设离散型随机变量X的分布律为P{Xxk}pk,k 若g(xkpkE(YE[g(xg(xkpkkXf(x

k若g(x)f(x)dxE(Y)E[g(xg(x)f(x)dxXD(XE{[XE(X)]2}X的方差.准差或均方差.常用方差计算公式DX)EX2[E设CD(C0设CD(CXC2DX，DXCDX对任意n个相互独立的随机变量X1,X2, ,Xn，有D(CXCX CX)C2D(X)C2D(X) C2D(X)1 DX0的充要条件是：存在常数CP{XC1(CEX

PX2EXEX)][YE(YX与Y的协方差为，记为cov(X,Ycov(X,YEXEX)][YE(Y)]}cov(X,Y)EXYEX)E(Ycov(X,Y 为随机变量X与Y Cov(X,Y)D(X)Cov(X,Y)Cov(Y,X)Cov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)Cov(aXcbYdabCovX,YabcdXY1X,YXY0X,Y(1)(01X~B(0E(X)D(X)p(1E(X)D(X)np(1(3)PoissonX~E(X)D(X)X~G

E(X)p

D(X)

1pX~H(nMNX~U(aX~

E(X)NE(X)a2E(X)

D(X)nM(NM)(NN2(ND(X)D(X)正态分布X~N(,2 E(X) D(X)

EXi(i ，则对任意0 [Xi]1 的概率，则对于任意给定的0，有np 或limP limP

p0 A n方差，E(Xk)，D(Xk)20(k1, ).则，随机变量之和Xk的标准化变k X