广东省惠州市惠东县2024届高三上学期第一次教学质量检测数学试题（PDF版含答案）

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数学试题参考答案及评分细则

一、选择题

12345678

CDBCABAD

二、多选题（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9101112

BDABABCBD

三、填空题（第16题第一空2分，第二空3分）

13.xxx0，x2x1014．6

15．a3；b3（第一空2分，第二个3分）16．0m1

四、解答题：

1

23

2

2

1715

2

11．（）原式104

3

317510417

3

33316

33316

997…………………3分

1616

10…………5分

2

2lg2lg5210281lg52lg32lg2（）原式2lg2lg3

lg22lg522lg524………………6分

42lg222lg2lg52lg5

42lg22lg5lg2lg5

42lg22lg5

42……………………8分

6.…………10分

18.（1）解法一：（1）由fx为二次函数，可设fxax2bxca0

∵fx1f1x，则带入得ax12bx12ca1xb1xc

化简：2abx2abx………1分

因为其对任意xR都成立，所以2ab2ab，

即2ab……………2分

{#{ABDBY64U8wgogCigIQgQB0BZAJAACRRJh5gCLCAAAQUQXGy2yCCAQAMkAkBkIEBCCJCIgCAGAgBgGQGxABwJABuAAoMwAspAiZBAFyBAByFBAFBA=AB}A#=}A}=#}#}

又因为最小值为-1，且f00，

2ab

∴c0……………………3分

b

2

1

4a

a1

∴b2……………………4分

c0

∴fxx22x……………………5分

解法二：（1）由fx为二次函数，可设fxax2bxca0

∵函数满足fx1f1x，∴fx图象的对称轴为x1b，即1………2分2a

最小值为-1，且f00，

b

1

∴

2a

c0……………………2分

2

b1

4a

a1

∴b2……………………4分

c0

∴fxx22x……………………5分

（2）∵fxm2x1，即x24x1m在0,3上恒成立

即满足函数yx24x1的最小值大于m………6分

又∵当x0,3时，yx24x1对称轴为x2…………………7分

在0,2单调递减，2,3单调递增…………………8分

∴yx24x1在x0,3的最小值在x2取得，

即yx24x15………10分

min

∴m5………………………12分

{#{ABDBY64U8wgogCigIQgQB0BZAJAACRRJh5CgLCAAAQUQXGy2yCCAQMAkAkBkIEBCCJCIgCAGAgBgGQGxABwJABuAAoMwAspAiZBAFyBAByFBAFBA=AB}A#=}A}=#}#}

19．（1）因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以，当x0时，f(0)0…………………1分

设x0，则x0，

∴f(x)2x11……………………3分

∵f(x)f(x)，

∴f(x)2x11……………………4分

2x11,x0

则f(x)0,x0………………6分（解析式漏了x=0扣1分）

2x11,x0

（3）当x0时，f(x)2x11，2x115，

2x14，x12，x1，即x1………7分

当x0时，f(x)0，满足不等式f(x)5……8分

当x0时，2x12，2x111恒成立，

满足不等式f(x)5，即x0………10分

综上所述，不等式f(x)5的解集为：(,1]……………12分

20.解：（1）函数fx定义域为0,………………1分

2

函数fx的单调增区间为2,，且fx2xa2xa……………2分

xx

a

故a0a，当x，时，fx0，故函数的单调递增区间为，.……3分22

a

2，则a8…………………4分

2

2

（2）fx2xa，x1,

x

①当a0时，fx0，则fx在1,单增，fminxf10……………5分

a

②当a0，xa0,,fx0,fx单减，x,，fx0，fx单增.……7分

22

a

（i）当1，即0a2时，fx在1,单增，f

2min

xf10………8分

（iia）当1aa，即a2时，1,上fx单减，在，fx单增………9分222

faaaminxfln

a

1.……………10分

2222

{#{ABBDY64U8wgogCigIQgQB0BZAJAACRRJh5CgLCAAAQUQXGy2yCCAQMAkAkBkIEBCCJCIgCAGAgBgGQGxABwJABuAAoMwAspAiZBAFyBAByFBAFBA=AB}A#=}A}=#}#}

综上所述：

当a2时，fminx0a

aaa

；当2时，fminxln1………………12分222

21x11x1．（1）f(x)，因为y在2,8上单调递增………1分

3030x303030

y1在2,8上单调递增，

30x

f(x)x11则在2,8上单调递增，所以①满足.………2分

3030x30

对于②，f(x)x115%x，即x11x

3030x303030x3020

整理可得x22x20………………3分

x22x2x1210，则不满足②的条件.

故a1b不满足条件.………4分

30

（2）当b

1时，函数fxxa1，因为a0

330x3

由（1）中知fx在2,8上单调递增，奖金发放方案满足条件①.………5分

由条件②可知fxx，即xa1在x2,8时恒成立，………6分

2060x3

2

a1x21

x10100

所以，x在x2,8时恒成立……………8分

60360

x10y

2100

，在x2,8单调递增…………………9分

60

当x23时，取得最小值……………………10分

5

∴a3…………11分

5

3

所以要使奖金发放方案满足条件，a的取值范围为0,.……………12分

5

22．（1）因为fxxlnx2lnx2，则fxx1lnx2x2

所以fxlnxx12,kf12

x2

曲线yfx在点P1,0处的切线l的方程为y2x1……………1分

{#{ABDBY64U8wgogCigIQgQB0BZAJAACRRJh5gCLCAAAQUQXGy2yCCAQMAkAkBkIEBCCJCIgCAGAgBgGQGxABwJABuAAoMwAspAiZBAFyBAByFBAFBA=AB}A#=}A}=#}#}

设gxfx2x1x1lnx22x1，

则gxlnxx122(x2)………3分

x2

令xgx，则x130，………2分

x2(x2)2

所以x上单调递增，即gx在2,上单调递增，又g10……………3分

当x2,1时，gx0,gx单调递减；

当x1,时，gx0,gx单调递增……………4分

gxg10，因此fx2x1

故曲线yfx上的点都不在直线l的下方…………5分

（2）由（1）知：fxlnxx12，令mxfx

x2

则mx130

x2(x2)2

mx在2,上单调递增，即fx在2,上单调递增…6分

f(1)20,f(0)ln210

2

x01,0，使fx00，

所以当2xx0时，fx0；当xx0时，fx0；则fx在2,x0上单调递减，

在x0,上单调递增且f10,f10………………7分

fx的大致图像如图所示，

因为f(1)ln3，所以曲线yfx在1,0处的切线l1:yln3x1

下面证明fxln3x1(x2)．

{#{ABBDY64U8wgogCigIQgQB0BZAJAACRRJh5gCLCAAAQUQXGy2yCCAQMAkAkBkIEBCCJCIgCAGAgBgGQGxABwJABuAAoMwAspAiZBAFyBAByFBAFBA=AB}A#=}A}=#}#}

设hxfxln3x1(x2)hxlnx2x1，则ln3，

x2

nxhx1x2x1令，则nxx50………8分

x2(x2)2(x2)2

所以nx在2,上单调递增，即hx在2,上单调递增，又h10

当x2,1时，hx0,hx单调递减；

当x1,时，hx0,hx单调递增………9分

hxh10,fxln3x1成立，

即曲线yfx上的点都不在切线l1的下方………10分

由题意可得：直线ym1与曲线yfx的交点分别为x1,m1,x2,m1，不妨设x1x2；

设直线ym1与直线l的交点为x3,m1，与切线l1的交点为x4,m1，

结合图像，易得x1x2x3x4x4x3

2x31m1，ln3x41m1

2m1

x，xm11……………11分324ln3

xxxxm1

2m12ln3

12412m13ln322ln3

…………12分

{#{ABDBY64U8wgogCigIQgQB0BZAJAACRRJh5gCLCAAAQUQXGy2yCCAQMAkAkBkIEBCCJCIgCAGAgBgGQGxABwJABuAAoMwAspAiZBAFyBAByFBAFBA=AB}A#=}A}=#}#}惠东县2024届高三第一次教学质量检测试题

数学

试卷共5页，卷面满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在

答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴

在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用28铅笔在答题卡上对应题目选项

的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不

能答在试卷上，

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不

准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U{1,0,1,2,3，4}，集合A{1,0,2}，B{1,0,3}，则集合AUB（）

A．{1，2}B．{1,0,1，4}C．{1,0,1,2，4}D．{1,0,1,2}

2.下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（）

231

A.yx1B.yxxC.yxD.y2x

2x

3.xa集合AxR0，若3A且1A，则a的取值范围为（）

2x1

A．a3B．a1C．a3D．1a3

4.欧拉是世界上伟大的数学家，而欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，

复变函数中的欧拉幅角公式，即将复数、指数函数与三角函数联系起来，公式内容为：

ei

cosisin，则ie4（）

A.2B.2C.1D.2

2

5.a2是函数yxa在，2单调递减的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

6.已知fx在R上的奇函数，当x0时，fxx22x1，则fff1（）

A.2B.-2C.1D.-1

1

7.已知a33blog11，2，clog1，则（）33e

A.acbB.cabC.abcD.cba

试卷第1页

{#{ABDY4UogiIQBBAARhCAQXyCAMQkBCCCAgGxBAAoAAByBFABAA=}#}

8.已知函数fxlog1x2x22x3，且满足fm3mf3m160时，实数m的

取值范围（）

A.m0或m16B.m8或m2

3

C.0m16D.8m2

3

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分。

9.已知命题“x[1,2]，2xxa0”为假命题，则实数a的可能取值是（）

A.1B.3C.-1D.4

10.下列说法正确的是（）

A．函数yax22xa0,a1的图像恒过定点A2,5

B．“1＜x5”的必要不充分条件是“1x6”

C．函数fx1fx1的最小正周期为2

D．函数y2x21的最小值为2

2x2

11.狄利克雷函数是由著名德国数学家狄利克雷创造的，它是定义在实数上、值域不连续的

函数，它在数学的发展过程中有很重大的研究意义，例如对研究微积分就有很重要的作用，

0，x无理数

其函数表达式为Dx，则关于狄利克雷函数说法正确的是（）

1，x有理数

A.DDe1B.它是偶函数

C.它是周期函数，但不存在最小正周期D.它的值域为0，1

12.已知定义域为R的函数fx满足fx2fx2，fx在0，+解析式为

3x22x1,0x1

fxlogx7

，则下列说法正确的是（）

1,x1

3218

A．函数fx在1,

1上单调递减

33

B．若函数fx在0,p内fx1恒成立，则p20,

3

C．对任意实数k，yfx的图象与直线ykx最多有6个交点

试卷第2页

{#{ABDY4UogiIQBBAARhCAQXyCAMQkBCCCAgGxBAAoAAByBFABAA=}#}

Dfxmm04x,x,x,xxxxx14．方程有个解，分别为1234，则12343

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.命题“x0xx0，x20x010”的否定是.

ax

lne21

14.已知函数fx3为奇函数，则a.

x2

xa

15.若函数fx的定义域为3,，则实数a实数b的取值范

xb

围.

16.已知f(x)是定义在R，且满足fx2fx2，当x0,4时，f(x)x24x3，

若函数yf(x)m在区间4,6上有10个不同零点，则实数m的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.（10分）化简求值：

70.51

2

1103（1）372

23π

0

9