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文档简介

数学归纳法1、数学归纳法的原理及应用.2、数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系一、数学归纳法:数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察一一归纳一一猜想一一证明”的思维模式，就显得特别重要。一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n=n0时命题成立；(2)(归纳递推)假设n=k(k工％衣已N”)时命题成立，证明当兀=七+1时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从嗨开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。题型一、用数学归纳法证明恒等式1例1、例1数学归纳法证明13+23+33+・・・+〃3=4n(n+1)2

证明：①当n=1时，左边=13=1,右边=4'12+—故等式成立.②假设n=k证明：①当n=1时，左边=13=1,右边=4'12+—故等式成立.②假设n=k(keN,且k三1)时等式成立。1即13+23+33k3+=—k2(k+1)2成立.4则当n=k+l时，13+23+33k3+(k+1)31=-k2(k+1)2+(k+1)341=-(k+1)242+4(k+1)L-(k+1》(k+1》-4心+山kk+1)+即当n=k+l时等式也成立.综合①，②，对一切neN，等式都成立.题型二、用数学归纳法证明不等式111例2、归纳法证明+++，n+1n+2n+319…3n>10(n>1，且neN).、1111证明：①n=2时，左边=++3456—20>9=右边，不等式成立.②假设n=k(keN，k三2)时不等式成立,19、、+>成立.3k1011

即k+1+k+2+则当n=k+l时,111++...+一+k+2k+33k11=(++k+1k+2…1113k+11+-)3k1)+3k+23k+311119++—)>+3k+13k+23k+3k+110++一3k+13k+23k+3k+1111>(++3k+33k+33k+3k+19=10即当n=k+1时不等式也成立.综合①，②，对一切大于1的自然数n不等式都成立.题型三、用数学归纳法证明几何问题例4.平面内有n(neN*)个圆,其

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