二维随机变量的定义、分布函数省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

第三章多维随机变量及其分布第1页体重X身高Y例2：检验某大学全体学生身体情况,例1飞机重心在空中位置是由三个随机变量(三个坐标)来确定.从其中随机抽取一个学生，分别以X

和Y

表示其体重和身高.多个随机变量举例第2页3.1二维随机变量及其分布比如E：抽样调查15-18岁青少年身高X与体重Y,以研究当前该年纪段青少年身体发育情况。任务：需要研究不但仅是X及Y各自性质，更需要了解这两个随机变量相互依赖和制约关系。第3页3.1.1二维随机变量定义、分布函数定义3.1.1

设X、Y为定义在同一样本空间Ω上随机变量，则称为Ω上一个二维随机变量。向量（X，Y）第4页二维随机变量（X,Y）几何意义二维随机变量(X,Y)取值可看作平面上点（x，y）A第5页二维随机变量的联合分布函数第6页定义3.1.2称为二维随机变量联合分布函数若（X，Y）是随机变量，对于任意实数x,y.第7页二维随机变量(X,Y)分布函数F(x,y)含义几何解释：

F(x,y)表示随机点(X

,Y)落在以(x,y)为顶点,且位于该点左下方无穷矩形内概率.第8页x1x2y1y2

P（x1

X

x2，y1

Y

y2）=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)用联合分布函数F(x,y)表示矩形域概率P（x1

X

x2，y1

Y

y2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)第9页性质（1）性质（2）性质（3）性质（4）二维随机变量联合分布函数性质F(x,y)分别关于X和Y

.

≤F(x,y)≤.

F(x,－

∞)=

；F(－

∞,y)=.

F(－

∞,－

∞)=

；F(+∞,+∞)=.F(x,y)分别关于X和Y.单调不减；010001右连续；第10页3.1.2二维离散型随机变量定义3.1.3

若二维随机变量（X，Y）全部可能取值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。第11页（X，Y）联合概率分布（分布律）表示式形式

表格形式P{X＝xi,Y=yj}＝pij，i,j=1,2,…XYx1x2…xn…y1………………ym………………第12页Pij性质第13页例题讲解第14页例1一个口袋中有三个球，依次标有数字1，2，2，从中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时，各球被取到可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到球上标有数字，求(X,Y)联合分布律。(X,Y)可能取值为(1，1),(1，2),(2，1),(2，2).

P{X＝1，Y＝1}=

P{X＝1，Y＝2}=P{X＝2，Y＝1}=P{X＝2，Y＝2}=(1/3)×(2/2)＝1/3，(2/3)×(1/2)＝1/3，(2/3)×(1/2)＝1/3，0第15页1/31/31/30(X,Y)联合分布律X/Y1212第16页箱内装有12只开关，其中2只是次品，现从箱内随机抽取二次，每次取一只，取后不放回，求(X,Y)联合分布律。其中：练一练第17页1010X

Y(X,Y)联合分布律第18页例2.设随机变量

X

在1,2,3中等可能地取值,

Y

在1—X

中等可能地取整数值,求(

X,

Y

)分布列及F(2,2).解1/31/60XY123

1231/61/91/91/900第19页=

+

+

=2/

3

F

(

x

,y)=P

(

X

x

,Y

y)F

(

2

,2)

1/3Y123X1231/61/61/91/91/9000=P

(

X

2,Y

2)第20页例：(X,Y)联合分布律以下：YX-101

2

k求（1）k=?;(2)F(x,y)=?

+

+

+k=1

k

=

第21页YX-101

2

-1

120

XY0第22页YX-101

2

-1

120

XY第23页YX-101

2

-1

120

XY第24页YX-101

2

-1

120

XY第25页YX-101

2

-1

120

XY第26页

Y=-1Y=0X=1

X=2

第27页3.1.3二维连续型随机变量第28页定义3.1.4(二元连续型随机变量)

若存在非负函数f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)分布函数可表示成以下形式

则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)联合概率密度函数.第29页二维连续型随机变量联合概率密度性质

（1）非负性（2）正则性（3）可导性第30页几何解释=曲顶柱体体积xof(x,y)G（4）（X,Y)落在平面区域G上概率第31页例题讲解第32页例1：已知二维随机变量(X,Y)概率密度

求：⑴系数A；⑵F(x,y)；⑶P{X<2,Y<1};

(4)P{2X+3Y≤6}第33页求：⑵F(x,y)；第34页xy解(3):

P{X<2,Y<1}

21

{x<2,y<1}f(x,y)≠0第35页

32

2x+3y=6xy0解(4):f(x,y)≠0第36页二维均匀分布设二维随机变量(X,Y)概率密度为则称（X,Y)在D上服从均匀分布.其中G