矩阵不仅在线性方程组的研究中要用到它省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

第四章矩阵不但在线性方程组研究中要用到它，在高等代数其它方面如向量空间、二次型等研究中也要用到，所以矩阵理论已成为高等代数理论一个主要组成部分。另外，在其它数学领域以及科学技术中提出有些问题，也都要用矩阵理论去研究处理。矩阵是应用很广数学工具。本章主要内容有：1/2011.矩阵运算定义1.设是矩阵，则矩阵称为和和，记为。2/202两个矩阵必须行数和列数分别相同情况下才能相加。

矩阵加法满足以下规律：记零矩阵为，负矩阵为，则秩()≤秩()+秩()1.矩阵运算（续1）3/2031.矩阵运算（续2）定义2设

那么矩阵其中

称为与乘积，记为。两个矩阵相乘必须满足第二个矩阵行数与第一个矩阵列数相等。普通地，。4/2041.矩阵运算（续3）定义4矩阵称为矩阵与数数量乘积，记为。换句话说，用数乘矩阵就是把矩阵每个元素都乘上。把一矩阵行列交换，所得到矩阵称为转置，记为。5/2051.矩阵运算（续4）定义5设

转置就是指矩阵6/2061.矩阵运算（续5）矩阵转置适合以下规律：7/2072.矩阵乘积行列式与秩定理1设是数域上两个矩阵，那么

即矩阵乘积行列式等于它因子行列式乘积。推论1设是数域上矩阵，于是

8/2082.矩阵乘积行列式与秩（续）定义6数域上矩阵称为非退化，假如；不然称为退化。定理2设是数域上矩阵，是数域上矩阵，于是秩()min[秩(),秩()],即乘积秩不超出各因子秩。9/2093.矩阵逆定义7级方阵称为可逆，假如有级方阵，使得.（这里是级单位矩阵）矩阵就称为逆矩阵，记为。10/20103.矩阵逆（续1）定义9设是矩阵中元素代数余子式，矩阵称为伴随矩阵。11/20113.矩阵逆（续2）定理3矩阵是可逆充分必要条件是非退化，而可逆矩阵一些性质：(1)(2)(3)存在，则(4)假如矩阵可逆，则(5)假如存在,那么有唯一解；有唯一解。12/20123.矩阵逆（续3）定理4是一个矩阵，假如是一个可逆矩阵，是一个可逆矩阵，那么秩()=秩()=秩()。13/20134.矩阵分块用分块矩阵作矩阵加法时，必须将矩阵分成大小相同小块；作矩阵乘法时，第一个矩阵列分法必须与第二个矩阵行分法相一致。形式为矩阵，其中是数()，通常称为对角矩阵，而形式为14/20144.矩阵分块（续）矩阵，其中是矩阵()，通常称为准对角矩阵。假如都是可逆矩阵，那么15/20155.初等矩阵定义10由单位矩阵经过一次初等变换得到矩阵称为初等矩阵。初等矩阵都是可逆，它们逆矩阵还是初等矩阵，而且有：定义11矩阵与称为等价，假如能够由经过一系列初等变换得到。16/20165.初等矩阵（续1）引理对一个矩阵作一初等行变换就相当于在左边乘上对应初等矩阵；对作一初等列变换就相当于在右边乘上对应初等矩阵．定理5任意一个矩阵都与一形式为矩阵等价，它称为矩阵标准形，主对角线上1个数等于秩（1个数能够是零）。17/20175.初等矩阵（续2）矩阵与等价充分必要条件是有初等矩阵使定理6级矩阵可逆充分必要条件是它能表成一些初等矩阵乘积：

推论1两个矩阵与等价充分必要条件是，存在可逆级矩阵与可逆级矩阵,使推论2可逆矩阵总能够经过一系列初等行变换化成单位矩阵。18/20185.初等矩阵（续3）设是一个级可逆矩阵．由推论2，有一系列初等矩阵使(1)由(1)即得(2)(1)，(2)两个式子说明，假如用一系列初等行变换把可逆矩阵化成单位矩阵，那么一样地用这一系列初等行变换去化单位矩阵，就得到。19/20195.初等矩阵（续4）把这两个矩阵凑在一起，作成一个矩阵