江西省南昌市2023-2024学年高三上学期摸底测试数学试卷（PDF版含答案）

第第页江西省南昌市2023-2024学年高三上学期摸底测试数学试卷（PDF版含答案）2024届NCS高三摸底测试

数学

2023.9.08

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟，

一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合P={x|y=Vx,2={y川y=2},则

A.OCP

B.PCO

C.P=O

D.g∈CRP

2.复数z=1

的虚部是

3+4i

3

A.25

B.

i

25

D

3.已知向量a=(2,m),b=(m+1,1),若a∥b,则m=

人号

B.1

C.2或-1

D.1或-2

4.已知公比为q的等比数列{an}的前n项和Sn=2a1-2q”，则a1=

月

B.1

C.2

D.4

5.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,P是抛物线C在第一象限的一点，过P作C的准线

的垂线，垂足为M,FM的中点为N,若直线PN经过点(O,-3),则直线PN的斜率为

A.1

B.2

C.3

D.3

6.己知函数y=e*和y=lnx的图象与直线y=2-x交点的横坐标分别为a,b,则

A.a.>b

B.a+b1

D.a2+b>2

7.已知函数f(x)的值域为A,函数g(x)=

f()的值域为B,则“A=[-1,1]”是

f2(x)+1

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.若函数)=c08x,a∈（号d,则函数）在上平均变化率的取值范围为

A.(-1,0]

8(←以

入

C.(-o0,0]

一

高三数学第1页（共4页)一

四。解答题：共70分.17题10分，其余大题12分一道，解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

17.(10分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=,acosB+bcosA=abc.

3

(1)求△ABC的面积：

(2)若c=1,求△ABC的周长.

18.(12分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,M,N分别为AC,AB的中点，

PM⊥AB.

(1)求证：AB⊥PN:

(2)若AB=BC=2,BP=PM=3,求二面角N-PM-B的余弦值.

19.（12分)如图，第n个图形是由棱长为n+1的正方体挖去棱长为n的正方体得到的，记

其体积为{an}.

●●●●●●

第1个图

第2个图

第3个图

●●●●●●

(1)求证：an=3n2+3n+1:

(2)求和：12+22+32++n2.

一高三数学第3页（共4页)2024届NCS高三摸底测试

数学参考答案及评分意见

一，单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的

题号

2

3

5

7

8

答案

A

C

D

B

C

D

A

B

二·多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

个选项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

题号

9

10

11

12

答案

BCD

AB

ACD

AB

三，填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.√2：

3W39

14.5:

15.

16.

√2

13

2

四.解答题：共70分.17题10分，其余大题12分一道，解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

17.【解析】(1)由己知，sinAcosB+sinBcosA=absinC,

即sin(A+B)=absinC,

sinC=absinC,所以ab=1,

…3分

故△1BC的面积为)absinC=x1x5_5

…5分

2

24

(2)由余弦定理，c0sC=。+2-C可得+-l=

2ab

2

2

所以a2+b2=2,

…7分

所以(a+b)2=a2+b2+2ab=4,即a+b=2,

所以△ABC的周长为3.

+:+年+：

10分

18.【解析】(1)因为M,N分别为AC,AB的中点，所以NM∥BC,

因为AB⊥BC,所以AB⊥MN,

…2分

因为AB⊥PM,PM∩MN=M,

所以AB⊥平面PMN,所以AB⊥PN:

…5分

(2)因为AB=BC=2,BP=PM=3,则NM=NB=1,

所以PNB兰△PNM,因为AB⊥PN,所以PN⊥NM,

因为NB∩NM=N,所以PN⊥平面ABC,

因为AB=BC=2,BP=PM=3,所以PN=2V2,

…7分

以NB为x轴，NM为y轴，NP为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则M(01,0),B(1,0,0),P(0,0,2√2)，

所以MB=(1,-1,0)，MP=(0,-1,2√2)，

设平面PMB的法向量为2，=(x,y,z),

MB·n=0

x-y=0

则

所以

Mp.元=0

-y+2W2z=0

一高三数学第1页（共4页）

令z=1,得到2=(2W2,2√2,1)，

平面PMN的法向量为m2=(1,0,0)

…10分

所以C0s=

·n2_2W2_2W34

1nln2|1717

则二面角N-PM-B的余弦值为

2V34

…12分

17

19.【解析】(1)棱长为n+1的正方体的体积为(n+1)3,

棱长为n的正方体的体积为n,

…3分

所以an=(n+1)3-n3=n3+3n2+3n+1-n3=3n2+3n+1:

…5分

(2)由(1)可知an=(n+1)3-n3=3n2+3n+1,

…7分

则a1+a2+…+an=3×12+3×1+1+3×22+3×2+1+…+3×n2+3×n+1

=3x2+2+…+n2)+3x(1+2+…+m)）+m=3x(02+22+…+n)+3xnm+D+n

2

又a,+a2+…+an=23-13+33-23+…+(n+103-n3=(n+1)3-1=n3+3n2+3n,

所以3×2+2+…+n)+3×m0+D+n=m2+3n2+3n,

2

即1P+2+32+…+n2=2m+3n2+n-nn+10(2n+1

…12分

6

6

3

133

20.【解析】(1)因为△OFM的面积为二，则有。×c×

，解得c=1,…2分

4

2

24

19

3

又因为M(1,)在椭圆C上，则{

+1，解得=4

a2-b2=1

b2=3

所以椭圆C的标准方程为父+。=1：

…5分

43

(2)根据椭圆的对称性，欲证A,D关于x轴对称，

只需证krA=-k