云南贵州四川广西四省名校高三高考数学第三次大联考试卷（文科）

2021年四省名校高考数学第三次大联考试卷（文科）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{（x，y）|y≤，x，y∈N}，则集合A中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．已知复数，则它的共轭复数等于（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．已知向量＝（2，3），＝（﹣1，λ），若向量﹣2与向量共线，则||＝（）A． B． C． D．4．已知样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，该样本平均数为4，方差为2，现加入一个数4，得到新样本的平均数为，方差为s2，则（）A．＞4，s2＞2 B．＝4，s2＜2 C．＜4，s2＜2 D．＝4，s2＞25．已知等比数列{an}中，a2+a4＝30，a1a3＝9，则公比q＝（）A．9或﹣11 B．3或﹣11 C．3或 D．3或﹣36．已知α为第二象限角，且tan（α﹣π）＝﹣，则cos（）＝（）A． B．﹣ C． D．﹣7．设O为坐标原点，直线l过定点（1，0），且与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，|OA|＝|OB|，则抛物线C的准线方程为（）A．x＝﹣ B．x＝﹣ C．x＝﹣1 D．x＝﹣28．已知点P（1，2），则当点P到直线2ax+y﹣4＝0的距离最大时，a＝（）A．1 B．﹣ C． D．9．某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉．现环保局要求其整改，降低声强．已知声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为L＝10•lg（aI）．已知I＝1013W/m2时，L＝10dB．若整改后的施工噪音的声强为原声强的10﹣2，则整改后的施工噪音的声强级降低了（）A．50dB B．40dB C．30dB D．20dB10．给出下列命题：①ln2＞，②ln2＞，③log23＞log58，其中真命题为（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③11．如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为（）A．1 B．2 C． D．12．已知函数f（x）＝sinx+cosxsinx，则下列关于函数f（x）的说法中，正确的个数是（）①2π是f（x）的周期；②f（x）是偶函数；③f（x）的图象关于直线x＝对称；④f（x）的最小值是﹣．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣ax﹣3≤0，若p为真命题，则a的取值范围为.（结果用区间表示）14．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），点F到其渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为．15．某工厂需要生产A产品与B产品，现有原料18吨，每件A产品需原料3吨，利润为5万元，每件B产品需原料1吨，利润为1万元，A产品的件数不能超过B产品的件数的，则工厂最大利润为万元．16．已知在三棱锥P﹣ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠APC＝30°，平面PAC⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosC＝﹣．（1）求角B；（2）若△ABC外接圆的半径为，且AC边上的中线长为，求△ABC的面积．18．某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24，16，8．现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查．（1）现采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期调查，求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？（2）将该企业所有员工随机平均分成4组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验．已知每组化验结果呈阴性的概率都为，记Bi（i＝1，2，3，4）为“第i组化验结果呈阴性”，i（i＝1，2，3，4）为“第i组化验结果呈阳性”，请计算恰有两个组需要进一步逐个化验的概率．19．已知四边形ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°．现将△ABD沿BD边折起，使得平面ABD⊥平面BCD，AD⊥CD．点P在线段AD上，平面BPC将三棱锥A﹣BCD分成两部分，VA﹣BPC：VA﹣BCD＝1：2．（1）求证：BP⊥平面ACD；（2）若M为CD的中点，求M到平面BPC的距离．20．已知F是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，焦距为4，且过点P（，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．21．已知函数f（x）＝ex﹣kx2，其中k为实数，e为自然对数的底数．（1）若k＝，证明：当x≥0时，f（x）≥x+1恒成立；（2）当x≥0时，f（x）≥2x+1﹣sinx恒成立，求k的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修44：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（﹣θ）＝1．（1）求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角；（2）已知点M的直角坐标为（0，1），直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|MA|+|MB|的值．[选修45：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a2﹣1|+|x﹣6|．（1）当a＝0时，解不等式f（x）＞12；（2）记集合M＝{x|f（x）﹣2b＝0}，若存在a∈R使M≠∅，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A＝{（x，y）|y≤，x，y∈N}，则集合A中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6解：由已知可得满足条件的点有（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）共4个点，所以集合A中的元素共有4个，故选：B．2．已知复数，则它的共轭复数等于（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i解：复数z＝＝所以它的共轭复数＝2+i故选：B．3．已知向量＝（2，3），＝（﹣1，λ），若向量﹣2与向量共线，则||＝（）A． B． C． D．解：根据题意，向量＝（2，3），＝（﹣1，λ），则﹣2＝（4，3﹣2λ），又由向量﹣2与向量共线，则有2（3﹣2λ）﹣3×4＝0，解可得：λ＝﹣，则＝（﹣1，﹣），则有||＝＝，故选：B．4．已知样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，该样本平均数为4，方差为2，现加入一个数4，得到新样本的平均数为，方差为s2，则（）A．＞4，s2＞2 B．＝4，s2＜2 C．＜4，s2＜2 D．＝4，s2＞2解：因为x1，x2，x3，x4，x5的平均数为4，方差为2，所以当加入一个数4，得到新样本的平均数为＝，方差为s2＝．故选：B．5．已知等比数列{an}中，a2+a4＝30，a1a3＝9，则公比q＝（）A．9或﹣11 B．3或﹣11 C．3或 D．3或﹣3解：由a2+a4＝30，a1a3＝9，可得，解得q＝±3，故选：D．6．已知α为第二象限角，且tan（α﹣π）＝﹣，则cos（）＝（）A． B．﹣ C． D．﹣解：∵α为第二象限角，且tan（α﹣π）＝﹣，∴tanα＝﹣，即＝﹣，又sin2α+cos2α＝1，∴sinα＝，cosα＝﹣，∴cos（）＝（cosα+sinα）＝×（﹣+）＝．故选：A．7．设O为坐标原点，直线l过定点（1，0），且与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，|OA|＝|OB|，则抛物线C的准线方程为（）A．x＝﹣ B．x＝﹣ C．x＝﹣1 D．x＝﹣2解：因为三角形AOB为等腰直角三角形，所以直线l的方程为：x＝1，根据抛物线的对称性可以确定∠AOx＝∠BOx＝，所以A（1，1），代入抛物线方程可得1＝2p，即p＝，所以抛物线的准线方程为：x＝﹣．故选：A．8．已知点P（1，2），则当点P到直线2ax+y﹣4＝0的距离最大时，a＝（）A．1 B．﹣ C． D．解：因为直线2ax+y﹣4＝0恒过定点A（0，4），故当PA与直线垂直时，点P到直线的距离达到最大值，此时过P，A的直线的斜率为﹣2，所以直线2ax+y﹣4＝0的斜率为，故．故选：B．9．某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉．现环保局要求其整改，降低声强．已知声强I（单位：W/m2）表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为L＝10•lg（aI）．已知I＝1013W/m2时，L＝10dB．若整改后的施工噪音的声强为原声强的10﹣2，则整改后的施工噪音的声强级降低了（）A．50dB B．40dB C．30dB D．20dB解：由题意可知，L＝10•lg（aI），当I＝1013W/m2时，L＝10dB，有10＝10•lga•1013，解得a＝10﹣12，故有L＝10•lg10﹣12I，当变为原声强的10﹣2时，I＝1011W/m2，有L＝10•lg10﹣12•1011，可得I＝﹣10dB，由此可知降低了10dB﹣（﹣10dB）＝20dB，故选：D．10．给出下列命题：①ln2＞，②ln2＞，③log23＞log58，其中真命题为（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③解：对于①，，即ln2＞，故①正确；对于②，由，转换为，设f（x）＝，则，令f′（x）＝0，解得x＝e，当x∈（0，e）时，函数f′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，e）上单调递增，故，即，故②错误；对于③，log23＞log58，转换为，由于，故，所以．即．对于＝，由于，故，所以，所以，故log23＞log58，故③正确．故选：C．11．如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为（）A．1 B．2 C． D．解：由题意几何体是四棱锥P﹣ABCD，过P作PE⊥AD于E，在正方体中有CD⊥平面PAD，所以CD⊥PE，又因为AD∩CD＝D，所以PE⊥平面ABCD，所以四棱锥的高为PE，由三视图可知，PE×＝2×2，解得PE＝．所以该四棱锥的高为：．故选：D．12．已知函数f（x）＝sinx+cosxsinx，则下列关于函数f（x）的说法中，正确的个数是（）①2π是f（x）的周期；②f（x）是偶函数；③f（x）的图象关于直线x＝对称；④f（x）的最小值是﹣．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：函数f（x）＝sinx+cosxsinx，对于①，函数f（x+2π）＝sin（x+2π）+cos（x+2π）sin（x+2π）＝f（x），所以2π是f（x）的周期，故①正确；对于②，函数f（﹣x）＝sin（﹣x）+cos（﹣x）sin（﹣x）≠f（x），故函数f（x）不是偶函数，故②错误；对于③，f（π﹣x）＝sin（π﹣x）+cos（π﹣x）sin（π﹣x）≠f（x），故函数f（x）的图象不关于直线x＝对称，故③错误；④由于f（x）＝sinx+cosxsinx，所以f′（x）＝cosx+cos2x﹣sin2x＝2cos2x+cosx﹣1，令f′（x）＝0，解得，当cosx＝时，即sinx＝，f（x）的最小值是﹣，故④正确．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分。13．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣ax﹣3≤0，若p为真命题，则a的取值范围为[）.（结果用区间表示）解：命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣ax﹣3≤0，即＝x﹣对于x∈[1，2]上恒成立，即f（x）＝x﹣，根据函数的性质函数f（x）在定义域内单调递增，故，故a的取值范围为[，+∞）．故答案为：[，+∞）．14．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），点F到其渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为．解：双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），点F到其渐近线的距离为1，可得双曲线的渐近线的倾斜角为：，斜率为：，所以，e＝＝＝．故答案为：．15．某工厂需要生产A产品与B产品，现有原料18吨，每件A产品需原料3吨，利润为5万元，每件B产品需原料1吨，利润为1万元，A产品的件数不能超过B产品的件数的，则工厂最大利润为26万元．解：设生产A产品x件，B产品y件，总利润为z，则，目标函数z＝5x+y，作出可行域如图：由，解得，即A（4，6），结合图形可知，当直线y＝﹣5x+z过A（4，6）时，z有最大值为：5×4+6＝26．．故答案为：26．16．已知在三棱锥P﹣ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠APC＝30°，平面PAC⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为80π．解：由题意可知，P点在圆周上运动，则PAC的外接圆的半径为r，2r＝＝8，解得r＝4，如图，因为平面PAC⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，所以ABC的外接圆的圆心是BC的中点，几何体的外接球的球心是ABC外心的中垂线与圆PAC的圆心的中垂线的交点O，由题意可得R＝＝，所以三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为：4πR2＝80π．故答案为：80π．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosC＝﹣．（1）求角B；（2）若△ABC外接圆的半径为，且AC边上的中线长为，求△ABC的面积．解：（1）由cosC＝﹣，可得2bcosC＝2a﹣c，由正弦定理可得2sinBcosC＝2sinA﹣sinC，即2sinBcosC＝2sin（B+C）﹣sinC，可得sinC＝2sinCcosB，又sinC≠0，所以cosB＝，因为B为三角形内角，所以B＝．（2）由正弦定理可得＝2，可得b＝3，设D为AC边上的中点，则AD＝，BD＝，2＝+，两边平方，可得42＝2+2+2•，即17＝c2+a2+ac，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB，即9＝a2+c2﹣ac，两式相减可得8＝2ac，即ac＝4，所以S△ABC＝acsinB＝．18．某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24，16，8．现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查．（1）现采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期调查，求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？（2）将该企业所有员工随机平均分成4组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验．已知每组化验结果呈阴性的概率都为，记Bi（i＝1，2，3，4）为“第i组化验结果呈阴性”，i（i＝1，2，3，4）为“第i组化验结果呈阳性”，请计算恰有两个组需要进一步逐个化验的概率．解：（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：1，由于采用分层抽样的方法从中抽取6人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，1人，该企业总共有24+16+8＝48名员工，记事件A：“任意一位被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等，∴每位员工被抽到的概率为P＝＝．（2）记“恰有两个组需要进一步逐个化验”为事件B，所有分组化验的结果有16种，分别为：（B1，B2，B3，B4），（），（），（），（），（，B3，B4），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），其中，恰有两个组化验结果呈阳性，即需要进一步逐个化验的情况有6种，分别为：（，B3，B4），（），（），（），（），（），每组化验结果呈阴性与阳性互为对立，∴每组化验呈阳性的概率都为，则上述每个结果出现的可能性都相等，∴恰有两个组需要进一步逐个化验的概率为P（B）＝＝．19．已知四边形ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°．现将△ABD沿BD边折起，使得平面ABD⊥平面BCD，AD⊥CD．点P在线段AD上，平面BPC将三棱锥A﹣BCD分成两部分，VA﹣BPC：VA﹣BCD＝1：2．（1）求证：BP⊥平面ACD；（2）若M为CD的中点，求M到平面BPC的距离．【解答】（1）证明：因为AB﹣AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，因为VA﹣BPC：VA﹣BCD＝1：2，VA﹣BPC＝VD﹣BPC，设点A到平面BPC的距离为hA，点D到平面BPC的距离为hD，所以，所以hA＝hD，即，所以P为AD的中点，所以BP⊥AD，取BD的中点E，连结AE，则AE⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，且AE⊂平面ABD，所以AE⊥平面BCD，因为CD⊂平面BCD，所以AE⊥CD，又CD⊥AD，AE∩AE＝A，AE，AE⊂ABD，所以CD⊥平面ABD，因为BP⊂平面ABD，所以CD⊥BP，又因为AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ACD，所以BP⊥平面ACD；（2）解：因为E为BD的中点，正三角形ABD的边长为2，所以，由（1）可知AE⊥平面BCD，又因为P为AD的中点，所以点P到平面BCD的距离为，连结BM，由（1）可知，CD⊥BD，∠BCD＝30°，所以CD＝，BC＝4，BP＝，所以，由（1）可知，BP⊥平面ACD，CP⊂平面ACD，所以BP⊥CP，所以，设点M到平面BPC的距离为d，则由等体积法可得，VM﹣BCP＝VP﹣BCM，所以，故＝，故点M到平面BPC的距离为．20．已知F是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，焦距为4，且过点P（，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．解：（1）由题意可知，解得，∴椭圆C的方程为：．（2）由题意知，当直线l1，l2其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为0，此时直线MN的方程为y＝0，当直线l1，l2斜率都存在时，设l1：x＝my﹣2（m≠0），设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，化简可得（m2+3）y2﹣4my﹣2＝0，且△＞0，所以，y1y2＝，则x1+x2＝m（y1+y2）﹣4＝，∴M（，），同理由可得N（，），则kMN＝＝，所以直线MN的方程为y﹣＝，化简得：y＝＝，此时直线MN过定点（﹣，0），易知当直线l1，l2其中一条的斜率不存在时，直线MN的方程为y＝0，亦过点（﹣，0），综上所述，直线MN恒过定点（﹣，0）．21．已知函数f（x）＝ex﹣kx2，其中k为实数，e为自然对数的底数．（1）若k＝，证明：当x≥0时，f（x）≥x+1恒成立；（2）当x≥0时，f（x）≥2x+1﹣sinx恒成立，求k的取值范围．解：（1）证明：当k＝时，设g（x）＝ex﹣x2﹣x﹣1（x≥0），g′（x）＝ex﹣x﹣1，…（1分）则g″（x）＝ex﹣1≥0，故g′（x）在[0，+∞）上单调递增…故当x≥0时，g′（x）≥g′（0）＝0，故g（x）在[0，+∞）上单调递增，…故当x≥0时，g（x）≥g（0）＝0，故当x≥0时，f（x）≥x+1恒成立；…（2）设h（x）＝ex﹣kx2﹣2x﹣1+sinx（x≥0），则h（x）min≥0，注意到h（0）＝0，…则h′（x）＝ex﹣2kx﹣2+cosx（x≥0），则h′（0）＝0…h″（x）＝ex﹣2k﹣sinx，h″（0）＝1﹣2k，h″′（x）＝ex﹣cosx≥0，则h″（x）在[0，+∞）上单调递增，…当k≤时，h″（0）＝1﹣2k≥0，由于h″（x）在[0，+∞）上单调递增，则当x≥0时，h″（x）≥h″（0）≥0，则h′（x）在[0，+∞）上单调递增，故h′（x）≥h′（0）＝0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故h（x）≥h（0）＝0，符合题意；…当k＞时，h″（0）＝1﹣2k＜0，利用（1）中已证结论可得由于h″（x）在[0，