《旋转》中的双等腰模型(专项练习)

专题23.10《旋转》中的双等腰模型(专项练习)

一、解答题

1.如图，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角AA3E和等腰直角AACD.

使AE=AB,AD=AC，N^4E=NC4D=90°,连接BD、CE,可以通过全等三角形

的知识证得BD与CE相等.

(1)如图，锐角A43C中分别以AB、AC为边向外作等腰ZVIBE和等腰△AC。，AE=AB,

AD=AC，ZBAE=ZCAD=90°,连接BD、CE,试猜想BD与CE的数量关系，并

说明理由.

(2)如图，在中AABC,ZACB=45°,以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角

△ABD,连接CD,若AC=4i,BC=3,求CD的长.

(3)如图，在四边形中ABCD,/4。。=60。,8。=15,48=8,4。=。£),求BD的最

大值.

D

2.［发现］:(1)如图1.在△ABC中，AB=AC9N8AG90。，过点A作A”_1_8C于点儿

求证：AH=—BC.

2

［拓展］:(2)如图2.在AA8C和△AOE中，AB=AC,AD=AE,且N84C=ND4E=90。，点

D、B、C在同一条直线上，A”为AABC中BC边上的高，连接CE.则NOCE的度数为

,同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由.

［应用］:(3)在图3、图4中.在AABC中，AB=AC,且/BAC=90。，在同一平面内有一点

P,满足PC=1,PB=6,且NBPC=90。，请求出点A到8P的距离.

3.△ABC中ZBAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合)，

以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.

图1图2

（1）观察猜想:如图1，当点D在线段BC上时,AC,CD,CF之间的数量关系为；

（将结论直接写在横线上）

（2）如图2,当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，不

需证明；若不成立，请你写出正确结论，并说明理由.

4.在中，==在直线4?上，且A/N2=AM2+8N2.

（1）如图1,当点",N在线段ABti时，求证：ZMCN=45°.

图2

（2）如图2,当点M在84的延长线上且点N在线段A8上时，上述结论是否成立？若成

立，请证明，若不成立，请说明理由.

5.如图，已知RMABC中，AB=AC=2,点。为直线BC上的动点（不与8、C重合）,以

A为直角顶点作等腰直角三角形AOE（点A,D,E按逆时针顺序排列），连结CE.

（1）当点。在线段8C上运动时，

①求证：BD=CE；

②请探讨四边形ADCE的面积是否有变化；

（2）当点。在直线8C上运动时，直接写出CQ,C8与CE之间的数量关系.

6.感知：如图①，已知正方形ABC。的边CO在正方形OER7的边OE上，连结AE、CG,

易证△AED^ZXCGD.（不需要证明）

D

图①图②图③

探究：将图①中正方形OEFG绕点。按顺时针方向旋转，使点E落在8c边上，如图②.连

结AE、CG,证明：AE^CG.

应用：如图③，正方形ABCD中,AD=3，点E在CB的延长线上,B£=1,DE=DF,NEDF=90°.直

接写出点F与点C的距离.

7.如图，已知C4=C8,CF=CE,NACB=/FCE=90。，且A、F、E三点共线，AE与

CB交于点、D.

(1)求证：4/+A£2=A"

(2)若AC=历，BE=3,则CE=.

8.已知：如图1,AAOB和ACOD都是等边三角形.

(1)求证：①AC=BD；②NAPB=60。；

(2)如图2,在AAOB和ACOD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=a,则AC

与BD间的等量关系为_,NAPB的大小为

B1图2

9.在AABC中，AB=4C,点。是直线上一点(不与8、C重合)，以AO为一

边在AO的右侧作A4)£，使=ZDAE=/BAC,连接CE.

(1)如图，当点。在线段BC上，如果NBAC=90°,则4CE=度.

(2)设NBAC=a,4BCE=/3.

①如图，当点Z)在线段6C上移动时，a、夕之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结

论.

②如图，当点。在线段BC的反向延长线上移动时，夕、夕之间有怎样的数量关系？请说

明理由.

10.如图，己知AM=CN,8在MN的垂直平分线上，NAMB=NCNB,NMBN=90。.证

明：△48C为等腰直角三角形.

11.已知如图所示，直线y=x+2交x轴于点8,交y轴于点A,尸是线段AB(不包括

A，B)上一动点，以为底边在直线AB的左侧作等腰直角三角形△上8尸，G为AE的

中点，连结EG,OG,OE,当点尸运动时，判断AGOE的形状并证明.

12.已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC,DA=DE,连

接EC,取EC的中点M,连接BM和DM.

(1)如图1,如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系

是________

(2)将图1中的AADE绕点A旋转到图2的位置时，判断(1)中的结论是否仍然成立,

并说明理由.

13.探究：

⑴如图①，在等腰直角三角形ABC中，/ACB=90,作CM平分NACB交AB于点M,点

D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90。得到线段CE,连接DE

交射线CB于点F,连接BD、BE

填空：

①线段BD、BE的数量关系为.

②线段BC、DE的位置关系为.

推广：

(2)如图②，在等腰三角形ABC中，顶角NACB=a,作CM平分NACB交AB于点M,点D

为4ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转a度得到线段CE,

连接DE、BD、BE请判断(1)中的结论是否成立，并说明理由.

应用：

(3)如图③，在等边三角形ABC中，AB=4.作BM平分/ABC交AC于点M,点D为射线

BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60。得到线段BE,连接DE交射线

BA于点F,连接AD、AE.当以A、D、M为顶点的三角形与△AEF全等时，请直接写出

DE的值.

14.己知AACB为等腰直角三角形，点P在BC上，以AP为边长作正方形APEF,

(1)如图①，当点P在BC上时，求NEBP；

(2)如图②，当点P在BC的延长线上时，求NEBP.

15.在RtAABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合)，将线段AD绕点A逆时针

旋转90。得到AE.

(1)连接EC,如图①，试探索线段BC,CD,CE之间满足的等量关系，并证明你的结论；

(2)连接DE,如图②，求证：BD2+CD2=2AD2

(3)如图③，在四边形ABCD中，ZABC=ZACB=ZADC=45°,若BD=VI5，CD=1,则AD

的长为____£.(直接写出答案)

图①图②图⑤

16.如图，AEB尸为等腰直角三角形，点8为直角顶点，四边形A8CC是正方形.

(1)求证：AABEgACBF；

⑵CF与AE有什么特殊的位置关系？请证明你的结论.

17.如图所示，在AABC中，AB=AC,ABAC=90°,。、£分别是A3、AC边的

中点.将AABC绕点A顺时针旋转a角(0。<1<180。)，得到AAB'C(如图所示).

(1)探究。3'与EC'的数量关系，并给予证明；

(2)当。夕〃A石时，试求旋转角a的度数.

18.已知RSOAB和RSOCD的直角顶点0重合，/AOB=NCOD=90。，且OA=OB,

OC=OD.

(1)如图1,当C、D分别在OA、0B上时，AC与BD的数量关系是ACBD(填

或AC与BD的位置关系是ACBD(填“〃”或“_L”)；

(2)将Rt^OCD绕点O顺时针旋转，使点D在OA上，如图2,连接AC,BD,求证：

AC=BD；

(3)现将RtaOCD绕点。顺时针继续旋转，如图3,连接AC,BD,猜想AC与BD的数

量关系和位置关系，并给出证明.

（1）连结5E,CD,求证：BE=CD；

（2）如图所示，将84BZ）绕点A顺时针旋转得到AAB'。.

①当旋转角为度时，边AD'落在AE上；

②在①的条件下，延长DD交CE于点P,连结8。'，8'.当线段AB、AC满足什么数

量关系时，与△CP£>'全等？并给予证明.

20.如图，AAPB中，AB=2,NAPB=90'，在AB的同侧作正^ABD、正AAPE和

21.（1）问题发现：

如图①，AABC与AADE是等边三角形，且点B,D，E在同一直线上，连接CE,求

N8EC的度数，并确定线段BD与CE的数量关系.

（2）拓展探究：

如图②，AABC与都是等腰直角三角形，N84C=NZME=90。，且点8,D,

E在同一直线上，AFLBE于点F,连接CE,求ZBEC的度数，并确定线段AE,BF,

CE之间的数量关系.

22.如图，AAOB,△COD是等腰直角三角形，点D在AB上,

(1)求证：△AOCgz^BOD；

(2)若AD=3,BD=1,求CD.

23.如图，△ABC中，AB=AC=1,NBAC=45。，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方

向旋转得到的，连接BE,CF相交于点D,

(1)求证：BE=CF；

(2)当四边形ACDE为菱形时，求BD的长.

D'

3C

参考答案

1.(1)BD=CE,证明见解析；(2)如；(3)23.

【分析】

(1)由等腰三角形的性质解得AE=AB,A£>=AC,NBAE=NC4£>,继而可证

NEAC=NBAD及AEAC^BAD(SAS),再由全等三角形对应边相等解题；

(2)过A作AE_LAC交8C于点E，连接。E，先证明4c是等腰直角三角形，得到

AE=AC，NDAE=NBAC，再证明丝ABAC(SAS),由全等三角形的性质得到

DE=BC=3,ZDEA=ZBCA=45°,接着在等腰直角三角形E4C中，由勾股定理解得

EC2=AC2+AE2=2AC2.最后在RtADEC^,由勾股定理即可解得CD的长；

(3)先证明△AC。为等边三角形，再由等边三角形的性质可得，ACCD,ZACD=60°

将VBC4绕点。顺时针旋转60。得到®D,连接BE,由旋转的性质得

DE=AB=8,BC=EC=\5,继而证明ABCE是等边三角形，由等边三角形的性质得到

BE=BC=75,最后根据三角形三边关系解题即可.

【详解】

解：(1)石和△AC。是等腰三角形，

AE=AB,AD=AC,NBAE=ZCAD,

ZBAE+ZBAC=ZCAD+ABAC,

即：ZEAC=NBAD，

在△E4C中4BAD中

AE=AB

<ZEAC=NBAD,

AC=AD

丝ABAZXSAS),

CE=BD：

(2)如图(1)所示，过A作A£J_AC交BC于点E,连接。石，

D

_______Ac

"图⑴

­.•ZACfi=45°,AE±AC,

.-.Z£4C=90o,

.•.△E4c是等腰直角一角形，

AE=AC,

又•.•△A3。是等腰直角三角形，

/.AB=AD,ZBAD=90°,

：.ABAD=ZEAC=90°<

：.ZBAD+ZBAE=ZEAC+ZBAE,

即：ZDAE=ZBAC，

在△D4E和△区4c中

AD^AB

<NDAE=ABAC,

AE^AC

:.ADAE包BAC(SAS),

DE=BC=3,NDEA=NBCA=45°,

在等腰直角三角形E4C中，ZAEC=45°，

ZDEC=ADEA+ZAEC=90°,

由勾股定理得：EC2=AC2+AE2=2AC2-

在Rt/XOEC中，由勾股定理得：

CD=yjDE2+EC2=V9+4=V13；

(3)•.•AO=SZADC=60°,

AACD为等边三角形,

AC=CD,ZACD=60°,

如图（2）所示，将VBC4绕点C顺时针旋转60。得到△£1◎□，连接8E,

由旋转性质可得：DE=AB=8,BC=EC=15

NBCE=6（）。，

•••ABCE是等边三角形，

BE=BC=",

又;.BE+DENBD,即8。43石+。£=15+8,

即30W23,

二3。的最大值为23.

【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、旋转、勾股定理、等边三角形的判定与性质、

三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.

2.（1）证明见解析；（2）NOCE的度数为90。，CE+2AH=CD,理由见解析；（3）之或

2

7

2'

【分析】

发现：根据同角的余角相等可得NCAH=NB,根据AAS证明三角形全等，再根据全等三角

形的对应边相等即可得结论：

拓展：证明AADB丝△AEC,即可得/DCE的度数为90。，线段AH、CD、CE之间的数量

关系；

应用：如图3,过点A作AH1BP于点H,连接AP,过A作AD垂直于AP,交PB「点D,

可得△APC0Z\ADB,得BD=CP=1,根据DP=BP-BD=6-1=5,AH_LDP,即可得点A到BP

的距离；同理如图4,过点A作AHLBP于点H,

连接AP,将^APC绕点A顺时针旋转90度到△ADB,可得DP=BP+BD=6+1=7,进而可得

点A到BP的距离.

【详解】

解：发现：（1）证明:

VAH1BC,NBAC=90。，

.••ZAHC=90°=ZBAC.

.•./BAH+/CAH=90。，ZBAH+ZB=90°.

NCAH=/B,

在△ABH和^CAH41.

NCAH=NB

<NAHC=NBHA,

AB=CA

.,.△ABH丝ZXCAH.(AAS).

；.BH=AH,AH=CH.

AAH=—BC.

2

拓展：/DCE的度数为90。，

线段AH、CD、CE之间的数量关系为：CE+2AH=CD,

理由如下：

VZDAB+ZBAE=90°,ZEAC+ZBAE=90°,

AZDAB=ZEAC,

TAD=AE,AB=AC,

.'.△ADB^AAEC(SAS),

AZABD=ZACE,

'：AB=ACfNBA090。

AZABC=ZACB=45°,

，NABD=135。，

JZDCE=90°；

YD、B、C三点共线，

.'.DB+BC=CD,

VDB=CE,AH=—BC,

.'.CE+2AH=CD.

57

应用：点A到BP的距离为：一或一.

22

理由如下：

如图3,过点A作AH_LBP于点H,连接AP,作NPAD=90。，交BP于点D,

AZBAC=ZDAP=90°,

AZBAD=ZCAP,

ZBDA=ZAPC=90°+ZAPD,

.'.△APC^AADB(AAS),

ABD=CP=1,

.\DP=BP-BD=6-I=5,

VAH±DP,

,15

，AH二一DP二一；

22

如图4,过点A作AH1.BP于点H,

作NPAD=90。，交PB的延长线丁点D,

AZBAD=ZCAP,

VZBAC=90°,ZBPC=90°,

.'.ZACP+ZABP=180°,

/.ZACP=ZABD,

VAB=AC,

.,.△APC^AADB(AAS),

.1.BD=CP=1

；.DP=BP+BD=6+1=7.

VAH±DP,

17

.,.AH=—DP=-.

22

57

综上所述：点A到BP的距离为：一或一.

22

【点拨】本题考查了三角形综合题，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质.

3.(1)CD+CF=0AC；(2)不成立，CD-CF=V2AC；理由见解析.

【分析】

(1)根据正方形的性质可得NDAF=90。,AD=AF,利用同角的余角相等可得NBAD=/CAF,

利用SAS可证明ABAD丝ZXCAF,可得CF=BD,即可得出BC=CD+CF,根据等腰直角三

角形的性质可得BC=0AC,进而可得答案；

(2)同(1)可证明△BAD丝aCAF,可得BD=CF,即可得出CD=BC+CF,根据等腰直角

三角形的性质可得BC=0AC,可得CD-CF=0AC,即可得答案.

【详解】

(I)•••四边形ADEF是正方形，

ZDAF=90°,AD=AF,

•,.ZCAF+ZDAC=90°,

VZBAC=90°,

/.ZBAD+ZDAC=90o,

；./BAD=/CAF,

AB^AC

在小BAD和小CAF中，＜/BAD=ZCAF,

AD=AF

.,.△BAD^ACAF,

；.CF=BD,

；.CD+CF=CD+BD=BC,

VZBAC=90°,AB=AC,

.,.BC=V2AC,

.-.CD+CF=V2AC.

故答案为：CD+CF=0AC

(2)不成立，CD-CF=V2AC.理由如下：

同(1)可证△BADgZ\CAF,

；.CF=BD,

；.CD=BC+BD=BC+CF,

；BC=0AC,

；.CD-CF=&AC.

【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，熟练

掌握相关性质及判定定理是解题关键.

4.(1)证明见解析；(2)成立，证明见解析.

【分析】

(1)将AACM绕点C逆时针旋转90"，得到ABCM',利用旋转的性质和等腰三角形的性

质证明&VBM'为直角三角形，可证明MN=M'N,利用全等三角形的判定(SSS)可证

明ACMN三ACM'N(SSS),即可证得NMCN=|NMCM'=45°；

(1)仿照(1)中方法将ACM4绕点C逆时针旋转90°得到ACDB,证明M)BN为直角三

角形，再证DN=MN,进而证明ACMNMACZ)N(SSS)即可得出结论.

【详解】

(1)如图1,AC=BC,ZACB=90°,

将/SACM绕点C逆时针旋转90°，得到XBCM',

则八4。/三△NCM',

ZACM=NBCM',CM=CM',AM=BM',

连接MW,

NC4M=NC7W45。，

4M'BN=ZCBM'+ZCBA=90°，

.•.ANBM'为直角三角形，

NM12=BN2+BM'2=BN2+AM2,

又,；MN?=AM?+BN?，

:.MN=M'N.

CM=CM'

在△CMN和ACM'N中，MC=M'N,

CN=CN

\CMNs^CM'N(SSS),

：.ZMCN=ZM'CN,

：.NMCN=-NMCM'=45°,

2

即NMCN=45";

(2)如图2,AC=BC,ZACB=90°，

将ACM4绕点C逆时针旋转90°得到XCDB,

ACMA=ACDB,

CM=CD,AM=BD,ZCAM=ZCBD=135°,

/.NDBN=ZCBD-ZCBA=90°.

；.ADBN为直角三角形,

DN2=BD2+BN2=AM2+BN"

又MN?=AM、BN?，

：.DN=MN,

CM=CD

在ACMN和ACDN中,CN=CN,

MN=DN

ACMN岂ACDN(SSS),

ZMCN=4DCN=-NMCD=45°,

2

NMCN=4S.

【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理,

熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用旋转性质旋转△ACM构造直角三角形是解答的关

键.

5.(1)①见解析；②四边形AOCE的面积不变；(2)当点D在线段BC上时，CB=CE+

CD；当点D在点C右侧时-，CB=CE-CD；当点D在点B左侧时，CB=CD-CE

【分析】

(1)①根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°,从而得

出/BAD=/CAE,然后利用SAS即可证出△BADgZ^CAE,从而得出BD=CE；

②根据直角三角形的面积公式即可求出SAABC,然后根据全等三角形的性质可得

SABAD=SACAE,然后根据S四以杉ADCE=SACAE+SAADC和等量代换即可得出结论；

（2）根据点D的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据（1）①中证全等的方法和全

等三角形的性质即可推出结论.

【详解】

解：（1）①..,△ABC和△ADE都是等腰宜角三角形

；.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°

ZBAD+ZDAC=90°,ZCAE+ZDAC=90°

.\ZBAD=ZCAE

在^BAD和4CAE中

AB=AC

<ZBAD=ZCAE

AD^AE

/.△BAD^ACAE

；.BD=CE；

②；己知RtAABC中，AB=AC=2,

SAABC=—ABAC=2

2

,/△BAD^ACAE

•'•SABAD-SACAE

••S樽边彩ADCE=SACAE+SAADC=SABAD+SAADC=SAABC=2

四边形AOCE的面积不变；

（2）当点D在线段BC上时，如下图所示

由（1）①的结论知BD=CE

；.CB=BD+CD=CE+CD；

当点D在点C右侧时，如下图所示

E

,•'△ABC和4ADE都是等腰直角三角形

，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE=90°

.,.ZBAD-ZDAC=90°,ZCAE-ZDAC=90°

/.ZBAD=ZCAE

在4BAD和4CAE中

AB^AC

ZBAD=ZCAE

AD=AE

.'.△BAD^ACAE

BD=CE

,\CB=BD-CD=CE-CD；

当点D在点B左侧时，如下图所示

VAABC和小ADE都是等腰宜角三角形

；.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°

.".ZBAD=ZDAC-90°,ZCAE=ZDAC-90°

•,.ZBAD=ZCAE

在4BAD和ACAE中

AB=AC

<ZBAD=ZCAE

AD^AE

.".△BAD^ACAE

.,.BD=CE

ACB=CD-BD=CD-CE.

综上所述：当点D在线段BC上时，CB=CE+CD；当点D在点C右侧时，CB=CE—CD；

当点D在点B左侧时，CB=CD-CE.

【点拨】此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的面积公

式，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、分类讨论的数学思想和三角形

的面积公式是解决此题的关键.

6.探究：证明见解析；应用：点尸与点C的距离为所.

【分析】

探究：结合旋转模型，利用“边角边”证明△曲名△CGD即可得出结论；

应用：连接FC,根据前序问题中的方法证明△AED^/\CFD,从而得到CF=AE,即在R。AED

中求解AE即可.

【详解】

探究：证明：在正方形ABCO和正方形。及G中，

AD=CD,DE=DG,ZADC=ZEDG=90°

：.ZADE=/CDG，

：.^AED^^CGD,

，AE=CG；

应用：连接尸C,

,/ZEDF=ZADC=90°,

：.ZADE=ZCDF,

y.'：AD=CD,DE=DF,

CF=AE,

在R/AAEO中，AE7AB'BE?二晒，

.•.点尸与点c的距离为

【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握基本的旋转模型，根据全等三角形的性质

求解问题是解题关键.

7.(1)见解析；(2)V2

【分析】

(1)如图1中，欲证明4尸=8E,只要证明△ACF丝AiBCE即可.

(2)如图1中，由AACF四△BCE,推出NAFC=/CEB,由NCFE=NCEF=45。，推出

NAFC=NCEB=135。，推出NAE8=90。，由AC=8C=后，推出BC=0AC=V^,

在RgAEB中，AE=[AB?-BE?=4^^=5，推出石尸=2,由此即可解决问题.

【详解】

(1)证明：如图中，

YZACB=ZFC£=90°,

二ZACF=ZBCE,

在A4(:尸和48CE中，

CA=CB

<ZACF=NBCE,

CF=CE

：.AACF^ABCE(SAS),

：.AF=BE,

:./CAF=NCBE,

'：ZCAE+ZEAB+ZABC=90°,

：.ZEAB+ZABC+ZCBE=90°,

二ZAEB=90°,

在RtAAEB中，BE?+AE^=AB2

：.AF，1+AEr=AB-,

(2)VAACF^A^CE,

/.NAFC=NCEB,

'：ZCFE=ZCEF=45°,

：.ZAFC=ZCEB=\35°9

：.NA仍=90。，

AC=BC=Vn，

•*-AB=5/2AC=J34，

在中，AE=^AB2-BE2=734-9=5*

VAF=B£=3,

:・EF=2,

：.CE=^LEF=^.

2

故答案为：y/2.

【点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定，熟练

掌握等腰直角三角形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键.

8.(1)①见解析，②见解析；(2)AC=BD,a

【分析】

(I)①根据△AOB和ACOD都是等边三角形，求出NAOC=NBOD,根据SAS推出

△AOC丝△BOD,根据全等三角形的性质得出AC=BD；

②由AAOC丝△BOD,可得NCAO=NDBO,根据三角形内角和可知

ZCAO+ZAOB=ZDBO+ZAPB,推出/APB=/AOB即可；

(2)根据NAOB=NCOD=a,求出/AOC=NBOD,根据SAS推出△AOC色△BOD,根据

全等三角形的性质得出AC=BD,ZCAO=ZDBO,根据三角形内角和可知

ZCAO+ZAOB=ZDBO+ZAPB,推出NAPB=NAOB即可.

【详解】

证明：（1）①•.,△AOB和ACOD都是等边三角形,

.\OA=OB，OC=OD,ZAOB=ZCOD=60°,

ZAOC-ZBOD,

在^AOC和^BOD中，

OA=OB

<NAOC=NBOD,

OC=OD

/.△AOC^ABOD(SAS),

；.AC=BD,ZCAO=ZDBO,

②设AC与BO交于E,

VAAOC^ABOD,

AZCAO=ZDBO,

,/ZAEO=ZBEP,

ZCAO+ZAOB=ZDBO+ZAPB,

.,.ZAPB=ZAOB=60°.

Ri

(2)AC=BD,ZAPB=a,

理由如下：VZAOB=ZCOD=a,

.*.ZAOC=ZBOD,

在小AOC和4BOD中，

OA=OB

,NAOC=NBOD,

OC=OD

.,.△AOC^ABOD,

；.AC=BD,ZCAO=ZDBO,

设AC与BO交于E,

VZAEO=ZBEP,

ZCAO+ZAOB=ZDBO+ZAPB,

/APB=NAOB=a,

故答案为AC=BD,a.

【点拨】本题考查三角形旋转，三角形全等判定与性质，三角形内角和，掌握三角形旋转，

三角形全等判定与性质，三角形内角和是解题关键.

9.(I)90；(2)①a+尸=180。，理由见解析；②a=理由见解析

【分析】

(1)由等腰直角三角形的性质可得/ABC=NACB=45。，由“SAS”可证△BAD丝Z\CAE,可

得/ABC=/ACE=45。，可求/BCE的度数；

(2)①由“SAS”可证△ABD丝4ACE得出/ABD=NACE,再用三角形的内角和即可得出

结论：

②由“SAS”可证△ADB^AAEC得出NABD=NACE,再用三角形外角的性质即可得出结

论.

【详解】

(1)VAB=AC,ZBAC=90°,

ZABC=ZACB=45°,

：/DAE=/BAC,

；./BAD=/CAE,

在4BAD和4CAE中

AB=AC

</BAD=NCAE,

AD=AE

.".△BAD^ACAE(SAS)

/.ZABC=ZACE=45°,

ZBCE=ZACB+ZACE=90°,

故答案为:90：

(2)①a+4=180。.

理由：VZBAC=ZDAE,

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC.

即NBAD=NCAE.

在△人8口与^ACE中，

AB=AC

<ZBAD=ZC4£,

AD=AE

.'△ABD丝△ACE(SAS),

；./B=/ACE.

ZB+ZACB=ZACE+ZACB.

VZACE+ZACB=p,

.\ZB+ZACB=p,

；a+NB+/ACB=180。，

o

.'.a+P=l80;

②当点。在射线SC的反向延长线上时，a=(3.

理由如下：

•；ZDAE=/BAC，

；•ZDAB=ZEAC,

在4ABD^AACE中，

"AB=AC

"NBAD=NCAE,

AD=AE

(SAS),

ZABD=ZACE,

,/ZABD=ABAC+ZACB，ZACE=ZBCE+ZACB,

；•ABAC=ZABD-ZACB，ZBCE=ZACE—ZACB,

:.NBAC=ZBCE,即a=£.

【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定

理，以及三角形外交的性质，证明△ABD/4ACE是解本题的关键.

10.见解析

【分析】

由题意先证明△ABMgACBN(SAS)的长AB=CB,ZABM=ZCBN,则NCBN+NABN

=/ABM+/ABN=NMBN=90。，即NABC=90。，即可得出结论.

【详解】

证明：\•点B在MN的垂直平分线上，

，BM=BN,

AM=CN

在^ABM和^CBN中，＜NAMB=Z.CNB,

BM=BN

.,.△ABM^ACBN(SAS),

.♦.AB=CB,ZABM=ZCBN,

ZCBN+ZABN=ZABM+ZABN=ZMBN=90°,

即NABC=90。，

/.△ABC为等腰直角三角形.

【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定以及线段垂直平分线的

性质，由题意先证明三角形全等是解题的关键.

11.AGOE为等腰直角三角形，证明见解析.

【解析】

【分析】

延长EG到“，使G"=£G,连结AH，OH,山条件证明AAGH，进一步可

得AHAO三AEBO,所以可证AEO”为等腰直角三角形，又EG=GH，所以AGOE为

等腰直角三角形.

【详解】

△GOE为等腰直角三角形

证明：延长EG到“，使GH=EG,连结AH,OH,如图，

•••G为AF的中点，

，AG=FG,

又/AGH=/FGE,

.•.△AGH也ZXFGE,

；.EG=HG,AH=FE,

由y=x+2可得，AO=BO=2,

VEF=EB,

AAH=EB

\HAO^^EBO

.*.EO=HO,ZBOE=ZHOA,

ZBOE+ZEOA=90°,

，ZHOA+ZAOE=90°,

...△HOE是等腰直角三角形，

又EG=GH,

所以AGOE为等腰直角三角形.

【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及图形的旋转，正确利用全等三角形的

判定是解题关键.

12.1）BM=DM，BM工DM；（2）成立，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半：得出BM=DM='EC,再利用/1=/2,

2

N3=/4,NBMD=2（ZI+Z3）,即可得出答案；

（2）根据旋转的性质首先得出/8=NBAD,再利用SAS证明△ABD丝ZiCBF,进而得Hl

BD=BF,ZABD=ZCBF,ZDBF=ZABC=90°,即可得出BM与DM的位置关系及数量关

系.

【详解】

(1)如图1；

•；M是EC的中点，

,,.BM=-EC,DM=-EC,(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，

22

；.DM=BM.

；M是EC的中点，

；.MC」EC,

2

；.BM=MC=DM,

,,.Z1=Z2,N3=N4,

VZBME=Z1+Z2,ZEMD=Z3+Z4,

，/BMD=2(Z1+Z3),

•••△ABC等腰直角三角形，

ZBCA=45°,

.\ZBMD=90°,

；.BM=DM且BMJ_DM；

故答案为：BM=DM且BMJ_DM.

(2)成立.

理由如下：延长DM至点F,使MF=MD,连接CF、BF、BD.

图2

CM=EM

•；<NCMF=NEMD

DM=MF

.,.△EMD^ACMF(SAS),

；.ED=CF,ZDEM=Z1.

VAB=BC,AD=DE,且NADE=/ABC=90。，

；./2=/3=45。，N4=N5=45°.

ZBAD=Z2+Z4+Z6=90°+Z6.

•/Z8=360°-Z5-Z7-Z1,Z7=180°-Z6-Z9,

AZ8=360°-45°-(1800-Z6-Z9)-(Z3+Z9),

=360。-45。-180°+Z6+Z9-45°-Z9=90°+Z6.

N8=NBAD.

在△ABD和ZkCBF中，

CF=AD

•/-N8=NBAD,

AB=BC

.,.△ABD^ACBF(SAS),

；.BD=BF,ZABD=ZCBF.

/DBF=NABC=90。.

：MF=MD,

；.BM=DM且BM_LDM.

【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及图形的旋转，正确利用全等三角形的

判定得出4ABD^ACBF是解题关键.

13.(1)①BD=CE；②BDJ_CE；⑵结论:(1)中的结论仍然成立,理由见解析；(3)满足条件

的DE的值为迪或4G.

3

【解析】

【分析】

①由CA=CB,ZACB=90°,CM平分/ACB,得出/ECF=/DCF=45。，易证△CBD^ACBE,

即可得出BD=BE；

②由CD=CE即可得出BC±DE.

(2)由CA=CB,NACB=a,CM平分/ACB,得出/ECF=NDCF=^a,易证△CBD^ACBF,

2

即可得出BD=BE,再由等腰三角形的性质得出BC1DE.

(3)分两种情况，根据三角形全等的性质及三角函数即可得出.

【详解】

⑴如图①中，

①

VCA=CB,ZACB=90°,CM平分/ACB,

•,.ZACM=ZBCM=45°,

,/ZECD=90°,

ZECF=ZDCF=45°,

VCD=CE,CB=CB,

.,.△CBD^ACBE(SAS),

；.BD=BE,

VCD=CE,

；.BC垂直平分线段DE,

ABCIDE.

故答案为BD=CE,BD1CE.

(2)结论：(1)中的结论仍然成立.

理由：如图②中,

VCA=CB,ZACB=a,CM平分NACB,

AZACM=ZBCM=-a,

2

ZECD=a,

工ZECF=ZDCF=-a,

2

VCD=CE,CB=CB,

AACBD^ACBF(SAS),

ABD=BE,

VCD=CE,

ABC垂直平分线段DE,

・•・BC1DE.

(3)如图③中,

当AAFE咨ZiAMD时，AF=AM,

VZAFD=ZAMD=90°,

VAD=AD,

.'.RtAADF^RtAADM(HL),

AZDAF=ZDAM=30°,

.*.ZDBA=ZDAB=30o,

・・・DA=DB,

VDF±AB,

AZBDF=60°,BF=AF=2,

,:BD=BE,

•••△BDE是等边三角形，

DF=EF=BF«tan30°=,

3

DE=2EF=^i.

3

如图③-1中，当点D在AM的延长线时，易证AF=AM=2,DE=2DF=46.

图。-1

综上所述，满足条件的DE的值为生叵或4G.

3

【点拨】本题考查了等腰三角形，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是

熟练掌握性质定理.

14.(1)135°；(2)45°

【分析】

(1)过E作CB垂线，交延长线于点M,可证△ACP^APEM,得出EM=PC,AC=PM,

得出BM=EM,得出NEBM=45。，求得/EBP；

(2)类比(1)的方法同样过E作CB垂线，垂足M,最后得出BM=EM,得出/EBM=45。

得出结论.

【详解】

(1)如图,

图①

过E作CB垂线，交延长线于点M,

•••四边形APEF是正方形，

ZAPE=90°,AP=PE,

ZAPC+ZPAC=ZAPC+ZEPM=90°,

ZPAC=ZEPM,

在4ACP和小PEM中，

ZPAC=ZEPM

<NC=NM,

AP=PE

.,.△ACP^APEM,

；.AC=MP,PC=EM,

：AC=BC,

BC=MP,

；.PC=BM,

；.BM=EM,

NEBM=45°,

；.NEBP=135°.

(2)如图,

A

图②

作EM_LCB,垂足为M,

；四边形APEF是正方形，

/.ZAPE-900,AP=PE,

ZAPC+ZPAC=ZAPC+ZEPM=90°,

；./PAC=NEPM,

在△ACP和APEM中，

ZPAC=ZEPM

<4C=NM,

AP=PE

.,.△ACP^APEM,

；.AC=MP,PC=EM,

VAC=BC,

ABC=MP,

；.PC=BM,

；.BM=EM,

/./EBM=45。.

【点拨】此题考查三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线，利

用三角形全等的证明方法得出三角形全等是解决问题的关键.

15.(1)BC=DC+EC,理由见解析；(2)见解析；(3)指

【分析】

(1)根据本题中的条件证出4BAD^ACAE(SAS),得至BD=CE,再根据条件即可证出结

果.

(2)由(1)中的条件可得NDCE=NACE+NACB=90。，所以CE2+CD2=ED2,可推出

BD2+CD2=££)2,再根据勾股定理可得出结果.

(3)作AEJ_AD.使AE=AD,连接CE,DE,可推出△BADgZMZAE(SAS),所以BD=CE=VI5,

再根据勾股定理求得DE.

【详解】

解：(1)结论：BC=DC+EC

理由：如图①中，

VZBAC=ZDAE=90°,

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即NBAD=/CAE,

在^BAD和ACAE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE.

AD^AE

.二△BAD丝Z\CAE(SAS);

BD=CE,

，BC=BD+CD=EC+CD,

即：BC=DC+EC.

(2)BD2+CD2=2AD2,

理由如下：连接CE,

图②

由(1)得，ABAD^^CAE,

；.BD=CE,ZACE=ZB,

ZDCE=ZACE+ZACB=90°,

.".CE2+CD2=ED2,

即：BD2+CD2=ED2;

在RtAADE中,AD?+AE2=ED2,又AD=AE,

.1.ED2=2AD2:

•,.BD2+CD2=2AD2;

（3）AD的长为痴（学生直接写出答案）.

作AE1.AD,使AE=AD,连接CE.DE,

,/ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

即NBAD=NCAE,

在ABAD与△CAE中，

AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE.

AABAD^ACAE(SAS),

BD=CE=-s/f3，

・・・ZADC=45°,ZEDA=45°,

AZEDC=90°,

.•.DE2=CE2-CD2=(V13)2/2=|2,

；.DE=2G

ZDAE=90°,AD2+AE2=DE2-

AD=瓜.

【点拨】

本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和

性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属

于中考压轴题.

16.（1）见解析；（2）CFLAE,理山见解析

【分析】

(1)根据等腰直角三角形的性质得出BE=BF,ZEBF=90°,再根据正方形的性质得出

AB=BC,ZABC=90°,根据余角的性质得到NEBA=NCBF,最后根据SAS证明结果；

(2)延长CF,交AE于点G,根据补角的性质得出NAEB+NBFG=180。，再根据四边形内

角和得出NEGF+/EBF=180。，从而可得NEGF=90。，即可得到结果.

【详解】

解：(1)为等腰直角三角形，

；.BE=BF,ZEBF=90°,

则NEBA+NFBA=90°,

•••四边形ABCD为正方形，

；.AB=BC,ZABC=90°,则NABF+NCBF=90°,

.,.ZEBA=ZCBF,

又；BE=BF,AB=BC,

.,.△ABE丝△C8F(SAS)；

(2)延长CF,交AE于点G,

由(1)得：ZCFB=ZAEB,

•.*ZCFB+ZBFG=180°,

.,.ZAEB+ZBFG=180°,

，ZEGF+ZEBF=180°,

•:NEBF=90°,

ZEGF=90°,

ACFIAE.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角和补角的性质，四边形内角和，