人教版八年级数学上册 （等腰三角形的判定）轴对称教学课件

等腰三角形的判定

知识回顾等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等简称为“等边对等角”知识回顾等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．简称为“三线合一”这“三线”所在的直线也是等腰三角形的对称轴思考如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？换而言之，如果∠A=∠B，会有AO=BO吗？猜想与证明如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．你知道怎么证明吗？先变成符号形式已知：△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．怎么证明边相等呢？可以证三角形全等没有全等怎么办呢？可以构造怎么构造呢？可以作出顶角的平分线猜想与证明已知：△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．证明：作∠BAC的平分线AD，∴∠BAD=∠CAD．在△BAD和△CAD中，∠BAD=∠CAD，∠B=∠C，AD=AD∴△BAD≌△CAD（AAS）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）还有其他证法吗？也可以过点A作高猜想与证明已知：△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．证明：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△BAD和△CAD中，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD∴△BAD≌△CAD（AAS）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）作角平分线和高都可以证明，作中线行吗？猜想与证明已知：△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．证明：取BC中点D，连结AD，∴BD=CD．在△BAD和△CAD中，AD=AD，BD=CD，∠B=∠C这是边边角，能判定全等吗？不能作中线不能证明这个结论结论等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．简称为“等角对等边”注意：“等角对等边”指的是都是同一个三角形中的边角关系．等腰三角形的判定

在证明中怎么写过程呢？在△ABC中，∵∠B=∠C（已知）∴AC=AB（等边对等角）性质和判定的区别等腰三角形的性质和判定有什么区别呢？性质判定等边等角等角等边例题求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAEAD∥BC．

求证：AB=AC．∵AD∥BC，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）∵AD平分∠CAE，

∴∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．

证明：练习已知一个三角形的两个内角为50°和80°，则第三个角为_______，它是________三角形．答案：50°，等腰．练习在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是()CA.∠A=40°，∠B=50°B.∠A=40°，∠B=60°C.∠A=40°，∠B=70°D.∠A=40°，∠B=80°练习如图，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中一共有________个等腰三角形．答案：3．练习如图，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB交BD于点O，则图中一共有________个等腰三角形．答案：8．练习如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，∠NAC=40°，∠NBC=80°．求从B处到灯塔C的距离．提示：等角对等边．提示：等角对等边．练习已知：如图，△ABC中，∠A=∠B=∠C．

求证：AB=AC=BC．练习如图△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E分别是BC边上两点，且∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角形有____个．答案：6．练习已知：如图，△ABC的BC边上有D，E两点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：△ABC是等腰三角形.提示：先证明∠B=∠C．已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．提示：先把相等的边标在图中．总结：角平分线+平行→等腰．角平分线+平行→等腰三角形角平分线+平行→等腰三角形如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE//BC，分别交AB、AC于点D、E，求证：BD+EC=DE．提示：角平分线+平行→等腰．如图，BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高，DE∥BC，交AB于点E．判断△BDE是不是等腰三角形，并说明理由．角平分线+平行→等腰三角形提示：角平分线+平行→等腰．角平分线+平行→等腰三角形提示：角平分线+平行→等腰．如图，△ABC中，BI，CI平分∠ABC，∠ACF，过点I作ID∥BC分别交AC，AB于点E，D．若BD=9cm，CE=4cm，则DE等于（

）B练习1．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形．练习2．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合的部分是一个等腰三角形吗？为什么？思考：“折叠”隐藏着什么条件呢？所有的对应边相等，所有的对应角相等．看到折叠，就可以把等量关系标在图中．提示：平行+角平分线→等腰．练习3．求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．练习4．如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB．求证：OC=OD．例题已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．作法：（1）作线段AB=a；（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；（3）在MN上取一点C，使DC=h；

（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.如右图所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，倘若一不留心．它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C．同学们想一想，有没有办法把原来的等腰三角形ABC重新画出来？大家试试看．练习方法一：用角的相等来画方法二：用过一边中点作垂线的方法来画角平分线+垂线如图，已知△ABC的面积为12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是______．提示：延长BD．总结：角平分线+垂线→等腰三角形．

6角平分线+垂线提示：延长BE．如图所示，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE，∠ABE=2∠C．

求证：AC-AB=2BE．

角平分线+垂线如图，已知等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D．求证：BF=2CD．提示：延长CD．

与等角对等边有关的证明已知：如图，AD是△BAC的平分线，E为BC延长线上一点，∠EAC=∠B，EF⊥AD于点F.求证：EF平分∠AEB．提示：先证明△ADE是等腰三角形．

与等角对等边有关的证明P是等腰三角形底边BC上的一点，过P作PQ⊥BC交AB于Q，交CA的延长线于R．求证：△AQR是等腰三角形．提示：先把等角在图中标出来．与等角对等边有关的证明P是等腰三角形底边BC所在直线上的一点，过P作PQ⊥BC交AB于Q，交CA的延长线于R，先补全图形，然后证明△AQR是等腰三角形．提示：先把等角在图中标出来．在△ABC中，AD平分∠BAC．BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．（1）求证：AE=DE；（2）若AB=8，求线段DE的长．与等角对等边有关的证明提示1：角平分线+平行→等腰三角形．提示2：证明ED=EB．与等角对等边有关的证明已知：如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D．

求证：BC=CD．提示：连接BD．等腰直角斜边中点模型在△ABC中，AB=AC，∠B=90°，点D、E分别是AB、BC边上的动点，且BD与CE相等，点M是AC的中点，试探究在D、E运动过程中，△DEM的形状是否发生变化，它是什么形状的三角形？提示1：连接BM．提示2：证明△BDM≌△CEM．等腰与全等综合如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．提示：证△BED≌△CFE．答案：（2）70°．等腰与全等综合已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D点在AB上，E点在AC的延长线上，且BD＝CE，连结DE，交BC于F．

求证：DF=EF．提示：过点D做DP∥AC．总结：证线段相等，就要想到证全等，没有就得构造．等腰与全等综合已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D点在AB上，E点在AC的延长线上，且DF＝EF，连结DE，交BC于F．

求证：BD=CE．提示：过点D做DP∥AC．总结：证线段相等，就要想到证全等，没有就得构造．寻找满足等腰的点如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，∠A=20°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有_______个．答案：8．寻找满足等腰的点在正方形ABCD内找一点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PAD都是等腰三角形，这样的P点有几个？在正方形ABCD外呢？利用二倍角构造等腰当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形．（1）如图中，若∠ABC＝2∠C，如果作BD平分∠ABC，则△DBC是等腰三角形．利用二倍角构造等腰当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形．（2）如图中，若∠ABC＝2∠C，如果延长线CB到D，使BD＝BA，连结AD，则△ADC是等腰三角形．利用二倍角构造等腰当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形．（3）如图中，若∠ABC＝2∠C，如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作∠ACD＝∠ACB，交BA的延长线于点D，则△DBC是等腰三角形．利用二倍角构造等腰如图，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC．求证：∠A＝90°．提示：作∠ACB的平分线．黄金三角形的剖分如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，你能把△ABC分成三个等腰三角形吗？(提供两中以上不同的作图方案)黄金三角形的剖分如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，你能把△ABC分成三个等腰三角形吗？(提供两中以上不同的作图方案)剖分出等腰三角形在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=70°．在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画几条？提示：按剖分线所过的顶点分类．总结这节课我们学到了什么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．简称为“等角对等边”注意：“等角对等边”指的是都是同一个三角形中的边角关系．总结等腰三角形的性质和判定有什么区别呢？性质判定等边等角等角等边等腰三角形的性质

生活中的等腰三角形生活中的等腰三角形为什么是水平的建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗？有两边相等的三角形是等腰三角形知识回顾相等的两边叫做腰，另一边叫做底边腰腰底边两腰的夹角叫做顶角顶角腰与底边的的夹角叫做底角底角知识回顾1．等腰三角形一腰为3cm，底为4cm，则它的周长是_______；2．等腰三角形一边长为3cm，另一边长为4cm，则它的周长是_______________；3．等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为8cm，则它的周长是_______________．10cm10cm或11cm19cm动手操作如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，再把它展开，得到的△ABC

有什么特点？∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形把三角形沿着折痕折叠，你能找到重合的线段和角吗？思考重合的线段重合的角AB=AC∠B=∠CBD=CD∠ADB=∠ADCAD=AD∠BAD=∠CAD猜一猜，除了两腰相等，等腰三角形还有什么性质呢？怎么证明呢？猜想与证明等腰三角形的两个底角相等先变成符号形式已知：△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．如何证明两个角相等呢？可以证明三角形全等如何构造全等三角形呢？AD是中线or高or角平分线？证法一：作底边上的中线已知：△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．证明：作底边的中线AD，则BD=CD在△BAD和△CAD中AB=AC(已知)BD=CD(已作)AD=AD(公共边)

∴△BAD≌△CAD(SSS)∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)D证法二：作顶角的平分线已知：△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD在△BAD和△CAD中AB=AC(已知)∠BAD=∠CAD(已作)AD=AD(公共边)

∴△BAD≌△CAD(SAS)∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)D证法三：作底边的高线已知：△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．证明：作底边的高线AD，则∠ADB=∠ADC=90°在Rt△BAD和Rt△CAD中AB=AC(已知)AD=AD(公共边)∴Rt△BAD≌Rt△CAD(HL)∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)D归纳总结等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等这个性质在证明中怎么写过程呢？在△ABC中，∵AC=AB（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）简称为“等边对等角”思考通过刚才的证明，除了能得到∠B=∠C，你还能发现什么？重合的线段重合的角AB=AC∠B=∠CBD=CD∠ADB=∠ADCAD=AD∠BAD=∠CADAD同时是底边BC上的中线，高和角平分线．猜想等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．如何把这个命题转化为符号形式呢？得写三个（1）如图，∠1＝∠2，AB＝AC．

求证：AD⊥BC，BD＝CD．（2）如图，BD＝CD，AB＝AC．

求证：AD⊥BC，∠1＝∠2．（3）如图，AD⊥BC，AB＝AC．

求证：BD＝CD，∠1＝∠2．证明（3）如图，AD⊥BC，AB＝AC．求证：BD＝CD，∠1＝∠2．证明：在△ABD和△ACD中AB＝AC∠1＝∠2AD＝AD∴△ABD≌△ACD（SAS）∴∠ADB＝∠ADC，BD＝CD又∵∠ADB＋∠ADC＝180°∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC证明（2）如图，BD＝CD，AB＝AC．

求证：AD⊥BC，∠1＝∠2．证明：在△ABD和△ACD中AB＝ACBD＝CDAD＝AD∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠ADB＝∠ADC，∠1＝∠2又∵∠ADB＋∠ADC＝180°∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC证明（3）如图，AD⊥BC，AB＝AC．

求证：BD＝CD，∠1＝∠2．证明：在Rt△ABD和Rt△ACD中AB＝ACAD＝AD∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴BD＝CD，∠1＝∠2归纳总结等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．简称为“三线合一”这“三线”所在的直线也是等腰三角形的对称轴注意事项作出等腰三角形腰上的中线，角平分线，高它们重合吗？显然不重合三线合一指的是底边上

的三线合一腰的三线不一定合一书写规范等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．“三线合一”有三种解读方式等腰三角形的顶角平分线，

既是底边上的中线，又是底边上的高．应用的时候怎么写过程呢？∵AB＝AC，∠1＝∠2∴BD＝CD，AD⊥BC书写规范等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．“三线合一”有三种解读方式方式二：等腰三角形的底边上的中线，

既是顶角平分线，又是底边上的高．

应用的时候怎么写过程呢？∵AB＝AC，BD＝CD∴∠1＝∠2，AD⊥BC书写规范等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．“三线合一”有三种解读方式方式三：等腰三角形的底边上的高，

既是顶角平分线，又是底边上的中线．

应用的时候怎么写过程呢？∵AB＝AC，AD⊥BC∴∠1＝∠2，BD＝CD例题如图，△ABC中,AB=AC，∠A=36°,则∠B=________．答案：72°．例题如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．技巧：看到等腰，就把等角标出来．练习如图，△ABC中,AB=AC，∠B=36°，则∠A=______．答案：72°．练习判断：1．等腰三角形的顶角一定是锐角．2．等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以．3．等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边．4．等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合．5．等腰三角形底边上的中线一定平分顶角．练习已知：如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB至D，使BD=BA，延长BC至E，使CE=CA.连结AD、AE.求∠D、∠E、∠DAE的度数．答案：115°．练习在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=28°，求∠B和∠C的度数．答案：76°或38°．练习如图，在△ABC中，D为AB上的一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为_______．答案：52.5°．练习答案：20°．如图，AB=AC，∠BAC=100°，若MP,NQ分别垂直平分AB，AC，则∠PAQ的度数为

．等边对等角多解问题已知等腰三角形的一个内角为70°，则它的另外两个内角的度数分别是_________．提示：要分类讨论．答案：70°，40°或55°，55°．等边对等角多解问题等腰三角形一个角为110°，它的另外两个角为________．答案：35°，35°．为什么是水平的建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗？由“三线合一”可知绳子一定会垂直房梁，而绳子肯定是竖直的，所以房梁是水平的．例题已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100º,，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC．求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．答案：40°，40°，50°，50°．练习如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°，求∠１和∠ADC的度数．提示：60°，90°．练习如图，已知在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：DE＝DF．提示：AD是角平分线．练习如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．提示：先把图中相等和互余的角标记出来．练习已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有（

）个（1）AD平分∠EDF；

（2）△EBD≌△FCD；

（3）BD=CD；

（4）DE⊥AB．

A.1个B.2个C.3个D.4个C练习1．如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．练习2．如图，△ABC是等腰直角三角形（AB=