《微积分课后习题答案》习题 九

第九章无穷级数习题解答

(A)

1.写出下列级数的一般项:

,111

(1)1-----1--------1■…;

248

1234

(2)—I---1----1-----F…;

251017

c345

(3)2----1-------1-…；

234

1XX2x3

(4)----1------1------H-------F…；

1-44-77101013

解

(1)该级数一般项为=HT(〃=1,2,…);

(2)该级数一般项为“"-(〃=L2,…);

_(一1广(〃+1)

(3)该级数一般项为Un-(〃=1,2,…)：

n

尤"T

该级数一般项为〃)

(4)Un-(3/7-2)(3»+1)(=1,2,….

-^―,求和Un-

2.设级数的部分和为4,%

n=\〃+1

解

因为级数的部分和

k=l

所以%=s“-s,w(S()=0)

3x13

于是=S]

T+T2

3x23

2

=s_s=3*〃3

"in+l(n-l)+ln(n+l)

3.证明下列级数收敛，并求其和.

(1)V--------------

£(2〃-1)(2〃+1)，

(2)工阡一品;

n=i\Jn~+n

81

(3)V------------；

占(4〃-1)(4〃+3)

(4)y-------.

仁〃2(〃+1)2T

解

(1)该级数的前〃项部分和为

s-y1

"台(2Z—1)(2女+1)

_J________1

~2tf(22T)—(2.+1)

11

-3+3-5+"d------

22几一12H+1

因为极限一一二］=，存在，所以该级数收敛，其和

“Too212n+lJ2

(2)该级数的前〃项部分和为

_yJ氏+1_&

VF+I

+1-y[k

k=\y/k\[k+l

Jk+1

因为极限limS“=lim(l--"=]=1存在，所以该级数收敛，其和为1.

iy/n+\J

(3)该级数的前〃项部分和为

s-y1

"—(41)(44+3)

因为极限limS'=lim'(1——二]=」-存在，所以该级数收敛，其和

〃一＞8n—4134/7+3J12

(4)该级数的前〃项部分和为

=金2%+1

"一'打(攵+1)2

n11

=Ek2(4+1)2

k=\

,11111

=1----1-

272+22------3-T2-------1"77(-〃---+---]--/7

(〃+以

因为极限lim"=lim1——二=1存在，所以该级数收敛，其和为1.

…i1(〃+1)

4.利用无穷级数的性质判别下列级数的敛散性：

、717t7t

(1)COS—+COS--FCOS—十…；

456

oon-y[n

(3)

z2〃一l

n=\

2〃+(-3)〃

(4)z

M=16"

111

-----1-------1-------F•••

111213

8n

l+6+之

(6)

n=l[v

oo久”T

(7)

n=\!

（10）LLLLLL…

210420830

解

兀

(1)此级数的一般项为〃“=cos——.

〃+3

TT

因为lira%=limcos----=cos0=lw0,所以,由级数收敛的必要条

I1一^＞8〃+3

件，可知，级数Acos2发散.

念〃+3

8[]CO1

(2)几何级数中的公比|同=上＜1，因此收敛.

n=l4"4,1=14'

由收敛级数性质：收敛级数加上有限项后，仍为收敛级数，可知级数

1二1

2HF£—收敛.

5"

(3)此级数的一般项为

2n-\

因为lim〃“=lim纥«所以，由级数收敛的必要条件，可知,

"-＞8"T82〃—12

级数£”业发散

占2〃-1

(4)此级数的一般项为"”=1■+(—5)

8]18(]I"1

因为几何级数(公比团=上＜1)与Z一上(公比|%|二上＜1)

”=133«=1V272

oo2"+(-3)"

均收敛，由收敛级数的性质可知，级数z收敛.

〃=16"

81

(5)原级数=£上.

«=11〃

OO1OO1

由于调和级数£上发散，去掉它前面的10项后，所得级数£士仍发散.

，曰〃〃=】】〃

1O8

（6）几何级数£In2nIn2

中的公比同=u—<i,因此X收敛.

“=|2n=l

由收敛级数性质：收敛级数加上有限项后，仍为收敛级数，可知级数

1+6+£In2

收敛.

”=1

（7）此级数为几何级数，其公比为

q=4,即MI=g<L

所以该几何级数收敛.

1y

（8）此级数的般项为%

因为lim〃“=lim||j"

iwo,所以，该级数发散.

16

（9）此级数的一般项为〃“=

3”

因为几何级数£二（公比|引=1<1）与（公比|%|=£<1）

«=133M=i\7J7

均收敛，由收敛级数的性质可知，级数£6

F+收敛.

n=l

0O

（10）若该级数收敛，则加括号后仍收敛，即级数Z收敛.

M=1

811

又因几何级数Zr（公比|q|=—<1）收敛，则级数

n=\22

E1£8二1一也应收敛.但这与调和级数发散矛盾.

M=12"

所以，原级数发散.

5.利用正项级数比较判别法或其极限形式，判别下列级数的敛散性:

,111

(1)1H---1---1---F,,■；

357

11111

—I---1-----1---F…H—；-----F…；

251017"+1

oonn

(3)

»=12/7+1

001

(4)

n=\tiyj〃+1

co1

(5)

Zln(n+l)

/,=1

.7T

(6)sinjr；

En=\乙

y1+/?

(7)：

81

y—(a>0)；

(8)白1+废')

2222324

(9)---+-----+-----+-----+,,•,

1-33-325-337-34----'

(10)

n-\

7t71

—tan—；

E〃=3几〃

(12)y--------；

=/i\”+i

,曰(〃+i)

解

118]

(1)因为/=----->—>0(〃=1,2「♦・)而调和级数£」发散，由正项

2n-l2n„=12n

级数比较判别法可知，级数lim〃“=lim—'一发散.

〃T8〃一>82〃一1

118]

(2)因为0<M,=F—<—(〃=1,2「-)而/?一级数£二收敛，由正项

n+1n~Zi«

级数比较判别法可知，级数limn,,=lim一一收敛.

“T8”—>8〃+]

(3)因为

而几何级数暂收敛，山正项级数比较判别法的极限形式可知，级数

8n

n|收敛

n=\2/z+l

(4)因为T=<-L,而收敛，故级数x-7^收敛.

nyln+l77=1"A/〃+1

n8I

(5)因为出11丁丁/----7=+°°，而调和级数£一发散,

,18In(〃+1)〃=1"

31

所以，级数£丁二发散.

(6)因为〃“=sin最>0(n=l,2,---).v„=^>0.

当〃一>+8时，无穷小量sin—□—,因此

TT

.兀

usm诉

lim—=lim—J—=lim———二万.

“Tgyw—>°°1〃->8]/2〃

T

81

而几何级数收敛，由正项级数比较判别法的极限形式可知，级数

n=l2

之sin$收敛.

n=l幺

(7)因为〃“=11]>0(/I=.vw=->0.

1+nn

lim」=lim—=1<+8.而调和级数£士发散，由正项级数比较判别法

“T8匕，]+〃急〃

001I

的极限形式可知，级数发散.

占1+〃2

(8)①当0<。<1时，因为级数一般项的极限lim〃“=lim」一=1WO

1+a”

81

所以，级数£」一发散.

£1+相

181

②当a=1时,该级数的一般项〃“=上.所以，级数X」;发散•

2〃=]1+a

118]

③当。>1时,因为―-<—=且几何级数£一收敛.

1+QQ〃=1。

81

所以，由正项级数比较判别法可知，级数收敛.

£1+优

综.上所述,

当0<aWl时，原级数发散；

当。>1忖，原级数收敛.

(9)因为un=>°(〃=L2,…)M>0

lim%=lim」一=0而几何级数收敛，由正项级数比较判别法的

极限形式可知，原级数收敛.

(1A1

(10)因为〃〃=lnI+—>0(几=1,2,…).匕=—>0.

kn)n

u(1v*-]

lim」=limln1+—=1<+8.而调和级数£一发散，由正项级数比较判

别法的极限形式可知，级数+发散.

JTJT[

(11)因为〃〃=—tan—>0(几23).匕,=―了>0.

nnn

〃二1

1加劣=1加九/2〃="v+oo.而p-级数X4收敛，所以级数

10°%mg\/nTZin

Jt71,

—tan—收敛A.

En=3Yl

〃"T1

(12)因为",,=^—TT>0==—>0.

(o+l)n

'"”181

，-=J_<+8.而p一级数收敛，所以级数

In+lje狙〃

X-——g收敛•

tr(n+l)n+1

6.利用比值判别法判别下列级数的敛散性:

1357

⑴z”+升矛+…;

,、，111

(2)14----1-----1----1—,；

2!3!4!

8|

(3)y--；

±f22n-'(2n-l)

(4)V?-----3-"---；

£⑵，+1)!

6(1+〃)！

⑸

W=1乙

OO2

(6)

M=1J

(7)

n\

(8)

trio75

2222324

(9)-----1-------1-------1------F…；

1-22-33-44-5

OO(〃!『

(10)£

〃=1(2〃)！’

解

2/i+1

(1)由于也=1------h——-

(2〃-1)/2"-2(2»-1)

可知lim殳a=lim、=』＜L因此，该级数收敛.

〃一＞82("2"〃—11)2

1

(2)由于况=△——L

1/«!〃+1

lim-=lim—!—=0<1.因此，该级数收敛.

可知

，…n+J

^.^^-'(2^-1)2H-1

2+1

un2"(2n+l)4(2n+l)

»„

可知lim+1=lim-------=-<1.因此,该级数收敛

w

〃T8uH^0°4(2n+l)4

u,3”“/(2〃+3)!!3

(4)由于lim-^=lim---------=lim--------=0<l.

〃—>8〃n—>oo37(2/2+1)!!…2"+3

因此，该级数收敛.

"产=q=+8>i.

(5)由于lim殳里•=lim

〃一>8

〃T8Un(“+l)!/2"i2

因此，该级数发散.

(6)由于lim%=lim("+1(1+■!■]=-<\.

n

“T0°unhe/?*■/33\n)3

因此，该级数收敛.

u,2n+1(/?+l)!/(/?+l)n+1(n

(7)由于lim—=lim------------------=lim2----

n

…u“…m\/n…【〃+1

因此，该级数收敛.

(»+!)!/10,,+1n+l

(8)由于殳立=

〃!/10”―一记

%,

可知lim%立=lim四=+8.因此，该级数发散.

"T0°U”〃T810

/c、2,,+I〃(〃+1)2n

(9)由于=-------------------L=-------

Un++2"〃+2

lim%4=lim用-=2>1.因此，该级数发散.

可知

〃T8Un―72+2

——2今

(10)由于"向-[5+1"丁⑵?)!_(〃+1)一

%[2(n+l)]![«!]2(2〃+1)(2〃+2)

可知lim^-=lim-~―-=-<1.因此，该级数收敛.

〃—>8〃〃―>8(2n+l)(2n+2)4

7.利用根值判别法判别卜.列级数的敛散性:

OOn

(1)Z

W=1

oo3

(2)

Z，?

W=1T(arctann)

n

oo3〃+2

(3)X

n=l2〃+l

(4)q_Lr〃+i

z/=l。n

解

n

(1)啊=,lim^/w-=lim---=-<l.

3n+l〃T8〃T83/i+l3

因此，由正项级数的根值判别法可知，该级数收敛.

(2)=—————,lim^7=lim—————41.

3arctann3arctann

3--

2

因此，由正项级数的根值判别法可知，该级数收敛.

+

3/2+2,lim=lim=2>j

2/1+1〃—》8Y〃T82/z+12

因此，由正项级数的根值判别法可知，该级数发散.

<L

(4)—中等，则相=星*1i

因此，由正项级数的根值判别法可知，该级数收敛.

8.判别下列级数是绝对收敛、条件收敛，还是发散？

,1111

(1)1--7+-5----7^--；-----；

32527292

,、，111

(2)1一一T=+—r---F-+

V2V3V4

1111

(3)-------+-----------+

22-22324-24

n

(4)

n-\n+l

£Lsin丝;

(5)占2"7

£里2"sin空

(6)

(10)£(-广2+(-1)"

5

n=l

解

°01

(1)正项级数Z收敛(正项级数比较判别法).因

n-\〃=1(2〃F

此，原级数绝对收敛.

(2)记〃“=3>0»>1,因为〃,+]<〃,(〃=1,2,…)，

oo

且lim“〃hm—j==0,因此，交错级数z满足莱布尼兹条件,级

〃T8n=1册

(-「

数收敛.而正项级数z发散.因此，原级数条件收敛.

”=1n=\7n

(-if1OO1

(3)正项级数£y—收敛(比值判别法).因此，原级数绝对

念〃2

n=\n-2"

收敛.

.、、T/<\"+1"

⑷记〃，=(T-n>1,因为=lim—^―=1H0,从而

“Toon—>oo〃+]

limuH0,

n—n

可知，原级数发散.

(5)iSM«=FS'nT-1,因为l"」=£sin牛〈J(〃=1,2,…),

几何级数£=收敛，由正项级数比较判别法知

《sin把收敛，即原级数绝对收敛.

〃=i〃=i2〃7

(6)记0W同=?2"sin把W?2".设匕=22",则因为

nn5nnntl

2'用(〃+1)!/("+1)用

limlim=lim2—=2eT<l,

〃一>8y〃一>8Tn\lnn"TooI〃+1J

所以正项级数=之?2"收敛.由比较判别法可知,

〃=]〃=]〃

却h£*"si喈收敛，故原级数S22"sinU

绝对收敛.

11

M=1M=1°n=\〃5

(7)记〃〃=-——->0n>l,因为〃〃+]<〃〃=…)，

且lim〃“=lim—J~~-=0,因此，交错级数之(-广

满足莱布尼兹条

mg〃Tg]n(〃+l)普ln(o+l)

(-1广

件，级数收敛.而正项级数z一、发散.因此,原级数条件收敛.

n=\ln(n+1)”=1In(〃+1)

1122

(8)记〃“=---->—n>2,

■\fn-1\/n+1n-\n

co0

而调和级数V-发散，由正项级数比较判别法可知原级数

n=2

z发散.

n=2

(-广n3(n+l)72，，+l_lf»+l3

(9)记〃“=—,因为

2"〃3/2"2n

8.3

〃

lim“+11.由比值判别法可知，级数I=£4收

〃T8=

2nlr〃=1M=12

敛

oo(1、〃一］3

即，原级数绝对收敛.

”=2/

2+(T)>i,而级数OOQ

(10)因为|〃“|=/2收敛，所以原级数绝

5

n4n=,/

对收敛.

9.求下列嘉级数的收敛域:

234

/、XXX

(1)X----1--------F

234

1XX2X3

(2)IH----1----1----F…；

2!46!

(3)y______

£(2“-1)(2〃)'

IXX2X3

(4)5+声+方+»+…;

ooXn—1

(5)

X2X3

(6)1-------1-------------H—•；

5V252V353V4

(7)

GM"；

Z〃=]61十〃

(8)由3；

〃=0

1+2%+”2+^+,16上+…；

(9)

7^5V13-53717-54'

(10)X〃!尤"；

〃=0

3〃

(11)z

n=l2/1-1

n

由lim4红=1,

18an

得到收敛半径R=l.

当％=-1时，它成为级数之=—f,该级数发散；当元=1时，它

日〃„=1几

成为交错级数X」2—，该级数收敛.所以，原级数收敛域为(-口］.

(2)a=------,

(2(/7-1))!

由lim"=O,

…8。〃

得到收敛半径7?=+°°,收敛域为(一8,+8).

co

⑶E

〃=】(2H-1)(2H)

]

解

(2n-1)(2〃)

由1加色包=1,

nfgan

得到收敛半径R=l.

当％=-1时，级数之一且丫一=££【匚一该级数收敛；当

£(2〃-1)(2”)占2〃一1占2〃

81

X=1时，级数Z----------收敛.所以，原级数收敛域为［-1,1］.

急(2"-1)(2”)

1

⑷*r

得到收敛半径R=2.

1881

当尤=-2时，级数上£一^,该级数收敛；当x=2时，级数£■!■发散.

乙〃=[乙n=\乙

所以，原级数收敛域为[-2,2).

由lim%1*=

得到收敛半径R=3.

当x=—3时，交错级数之且上收敛；当x=3时，级数发散.所以，原

n=i«„=in

级数收敛域为[一3,3).

得到收敛半径R=5.

当x=—5时，级数£3发散；当x=5时，交错级数反印一收敛.所以,

„=iTn

原级数收敛域为(-5,5].

得到收敛半径R=1

3

当冗=—时，交错级数》----7收敛；当工=上忖，级数之一^^收敛.所

3念1+/3念1+/

以，原级数收敛域为［一!一］.

33

（8）an=5",

由lim凶包=5,

得到收敛半径R=L.

5

1~

当X=—L时，交错级数Z（—l）"发散；当X=1时，级数£1发散.所以，原

5n=l5M=1

级数收敛域为（一

⑼％如一3）5”

由lim-^-=^=,

ianJ5

75

得到收敛半径

2

当％=-"时，交错级数）收敛;当X=4S时，级数之1-

2tfV4^32念「4〃-3

发散.所以，原级数收敛域为［-吏■，虫■）.

(10)an="!,

得到收敛半径R=0.所以，原级数收敛域为{0}.

设f=/,由limp^=3,得到收敛区间为(一

当工=--！忖，交错级数X」一发散；当x=-=时，级数£」一发散.

V3占2〃-1V3占2〃-1

所以，原级数收敛域为(一方，方).

(12)a=—j=：,

nTn

设f=x-l,由lim曰=1,得到收敛区间为|x-l|=l,即(0,2).

当x=0时，交错级数£号上收敛；当x=2时，级数发散.所以，原

级数收敛域为［0,2).

10.求下列黑级数的收敛域，并求在收敛域内的和函数S(x)：

⑴A1

(2)2耳了"；

n=\J

X3X5X1

(3)X----1--------F

357

(4)2x+4x，+6%5+8x+…；

(5)Z〃(〃+l)x"；

n=\

81

(6)y—xn-,；

会心

解

(1)an=-,由lim&包=1,得到收敛半径R=l.

n〃T8a„

当x=—i时，交错级数收敛；当无=1时-，级数之L发散.所以，原级数收

〃=1几〃=1几

敛域为

设和函数为5(x)=X—x~4—d+…x〃+…

23n

两边对x求导得：

S\x)=1+x+x2H---1-xn~]+…=-—

1-X

两边对/积分，即得S(x).

[XS\t)dt=£±dr=—ln(l—x),即S(x)=—ln(l—x).

JO

⑵*=ill-,得到收敛半径R=3.

3

当x=-3时，交错级数Z（-D"发散；当x=3时，级数发散•所以，原级数收

n=l

敛域为（-3,3）.

X

设和函数为S(X)=:+(攵2+(63+...+《)"+...=2^=J

1---

3

(3)原级数之且匚f2"T中缺少光2,/,等项，直接利用比值判别法：

念2»-1

lim-=/.所以，当/＜i,即可＜1时，原级数收敛；当—＞1,即国＞1时,

1811n

OO/[、3〃8/1\?1-1

原级数发散.当x=-l时，交错级数£出一收敛;当x=l时，级数£口一收

„=12/z-l„=12/?-1

敛.所以，原级数收敛域为[TJ.

设原级数的和函数为

、J?57

S(X)=X----1--x-----x--F…

357

2

S*(x)=1-X+/-16+・・.=-^-―

1+X

f.vrx1

S(x)=])S'⑺力=])-----dt=arctanx

(4)原级数£2姓2"-1中缺少1,…等项，直接利用比值判别法：

/J=1

lim4包=/.所以，当一＜i,即国＜1时，原级数收敛；当炉＞1,即凶＞1忖,

原级数发散.当x=—l时，级数Z(—1)212〃发散：当x=l时，级数工2〃发散.

?|=1«=1

所以，原级数收敛域为(一1,1).

设原级数的和函数为

S(x)=2x+4x3+6x、+8x7+…

两边由0到X积分得：

2

jS(f)dt=j(2/+4〃+6，'+8J+…)df=x~4-x4+/+…=----

2Y

两边对x求导，即得5")=丁丁7.

(5)4=〃(〃+1),由lim%包=1,得到收敛半径R=l.

isa„

当x=-l时,级数Z(T)〃〃S+1)发散;当％=1时,级数»>(〃+1)发散.所以，

〃=i〃=i

原级数收敛域为(-1,1).

88882

S(x)=+l)x"=+1)尤"T=MX(〃+1)VT=X((Zx"M)')-x((')')'

n-\〃=1〃=1n=l1-X

,2x-x22x

=x(E=E

%+i

(6)ci-----,由lim得到收敛半径R=2.

〃2〃〃-8a〃2

当x=—2时，交错级数之匕Di收敛；当x=2时，级数空」-发散.所以，原级

念2〃占2〃

数收敛域为［-2,2).

当x。0时,

1「111,X、

dt=——----dt=—ln(Zl1---)

2%J0[tx2

2

当x=0时，5(0)=~.

11.将下列函数展开成麦克劳林级数，并求其收敛域:

(1)/(x)=x3e"x

⑵/(X)=

(3)/(^)=cos2x

(5)/(x)=-^-

V'1+x

(6)/(x)=—ln(l+x)

x

解

~vV'

(1)由e-x=Z3-,收敛域为(-oo,+oo),

M〃！

可知可尤)=■£01=£CD"¥2,收敛域为(-8,+8).

«=o㈤«=o〃！

oonoo2noo2n+1

(2)由/=之二=£

七〃！七(2〃)！占(2n+l)!

_8,(_Y\n产,丫2〃产_丫2〃+1

和e£曰_=£』——V———,收敛域为(—8,+8),

占〃！占(2〃)！£(2"+1)!

1s丫2〃g丫2〃

可知/(%)=—♦2V------=V---收---敛-域为(一8,+8).

2七(2〃)！£(2〃)!

1][8。"2"

⑶小)“』”。4)=5+寻-1)"砌”~,+8)

⑷/⑴=£/*="鸥).而一~一3,3)

3

⑸/(幻=4=/£(一)"=£(一1)"九"+2xe(-1,1)；

1+X"=o"=0

00n00

11Y丫〃一]

(6)/(%)=—ln(l+x)=上£(—1)1—=Z(—1)〃T，xe(-1,1].

XxM几Mn

(B)

1.判别下列级数的敛散性：

⑵,八自五11K〃+1

5”

(5)Z

〃=16"—3"

b丫

(6)V—,其中a“>0(n=l,2,---),lima„=a>0,h>0,a^h；

5

⑺什；

n=2〃—111〃

oor।「

(8)ZJ。(1+J尸公；

n=\\__

解

-yInn]

(1)——=lim^^=0；

〃T81〃T8

注

81

而XT收敛，所以原级数收敛。

n=\n2

1m九+1

,八rVHn~1i-2〃2?

(2)hm--------=hm------ln(l+------)2=2,

〃T81〃T8〃一[几—]

3/

n2

81

而收敛，所以原级数收敛。

〃=in2

(3)将〃“通分有

_2>fn

J.3+6+—G

而1加¥=1,

n

〜1

又z上发散，所以原级数发散。

“=|〃

1

(4)U—.2—

,(1+与2+4+』+1

u1

因为=

>g13

81

且收敛，所以原级数收敛。

»=|n

所以原级数收敛。

(6)limJ^=lim—当/?<a时，收敛；当匕〉a时，发散。

"T8"T8aa

1r_1

(7)设/a)=x—lnx(x>l),则f(x)=l-2=于是/(x)/

XX

11

从而,f(n)<f(n4-1),------>---------------即Un>Un\

n-\nn(〃+1)—ln(n+1)+

又lim---=0,所以此交错级数收敛.

〃T8n-\nn

1

(因为lim'-Jn'=lim——-——=lim-------,而

a—1I—x-]nxXT+811i