线性系统的运动教学课件

第2章线性系统的运动分析

定性分析----着重对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的几个关键性质，如能控性、能观测性和稳定性等进行分析定量分析----对系统的运动规律进行精确的研究，即定量地确定系统由外部激励作用所引起的响应。即用数学方法求解系统状态空间方程解的表达式。

问题：对给定的控制输入和初始状态，如何确定任意时刻的系统状态和输出的变化过程？利用线性系统的特性:叠加原理(初始状态、外部输入作用的叠加）第2章线性系统的运动分析定性分析----着重对决定系12.1线性系统的自由运动2.2线性系统的一般运动2.3连续系统的状态空间描述的离散化2.4线性离散时间系统的一般运动第2章线性系统的运动分析

2.1线性系统的自由运动第2章线性系统的运动分析22.1线性系统的自由运动线性系统自由运动分析的数学实质

系统的自由运动反映的是系统内在的固有参数及结构特性，研究分析系统的自由运动是研究分析系统的一般运动的基础。

指在输入向量及初始状态的条件下系统的运动1.齐次状态方程解的一般表达式2.状态转移矩阵2.1线性系统的自由运动线性系统自由运动分析的数学实质3令t=0

（一）齐次状态方程解的一般表达式令t=0（一）齐次状态方程解的一般表达式4因此,齐次状态方程的解为:根据标量指数函数定义式:定义矩阵向量eAt为状态转移矩阵于是齐次状态方程的解为:因此,齐次状态方程的解为:根据标量指数函数定义式:定义矩阵向5反映了系统从初始的状态向量，到任意或时刻的状态向量一种矢量变换关系，变换矩阵就是矩阵指数函数。它不是一个常数矩阵，它的元素是时间t的函数，是一个的时变函数矩阵。从时间的角度而言，意味着它使状态矢量随着时间的推移，不断地在状态空间中作转移，所以也称为状态转移矩阵，通常记为。反映了系统从初始的状态向量，到任意6自由运动的解仅是状态的转移，状态转移矩阵Φ(t)包含了系统自由运动的全部信息，完全表征了系统的动态特性。表示x(0)到x(t)转移矩阵。表示x(t0)到x(t)转移矩阵。自由运动的解仅是状态的转移，状态转移矩阵Φ(t)7另用拉氏变换法求解齐次微分方程:拉氏反变换后得到齐次状态方程的解:对比另用拉氏变换法求解齐次微分方程:拉氏反变换后得到齐次状态方程8（二）状态转移矩阵1.状态转移矩阵的运算性质；2.状态转移矩阵的计算。

a.直接求取；b.拉普拉斯变换；c.化矩阵A为对角型或约当型；d.化矩阵指数为A的有限项；e.利用MATLAB求取。

（二）状态转移矩阵9①证：（1）线性系统状态转移矩阵的运算性质①证：（1）线性系统状态转移矩阵的运算性质10【例】验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。解：利用性质所以该矩阵不是状态转移矩阵。【例】验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。解：利用性质所以该矩11由性质①②推出：②证：式(2.1-14)式逐项对t求导这个性质表明，状态转移矩阵与系统矩阵A满足交换律。

由性质①②推出：②证：式(2.1-14)式逐项对t求导12【例】根据已知状态转移矩阵，求A解：根据状态转移矩阵性质2【例】根据已知状态转移矩阵，求A解：根据状态转移矩阵性质213③证：根据矩阵指数函数的定义，有表明具有分段组合的性质。③证：根据矩阵指数函数的定义，有表明具有分段组合14④证：根据性质①和③及逆矩阵定义，有④证：根据性质①和③及逆矩阵定义，有15⑤若为的状态转移矩阵，则引入非奇异变换后的状态转移矩阵为：证：式中：⑤若为的状态转移矩阵，则16作业P1052.3

作业P1052.317

1.

直接求取法[例2.1]已知系统矩阵，求系统状态转移矩阵。解：根据定义有：结论：直接求取法步骤简便、编程简单、易于计算机求解。缺点是难以获得解析形式，不适合手工计算。（2）状态转移矩阵的计算

1.

直接求取法[例2.1]已知系统矩阵，求系统状态182.普拉斯变换法

结论：拉普拉斯变换法步骤相对复杂，但可以获得解析形式，便于对系统进行分析，在系统维数较少时，可用手工计算，在系统维数较大时，仍要借助计算机来计算。

[例2.2]跳转2.普拉斯变换法结论：拉普拉斯变换法步骤相对复杂，但可以获19[例2.2]已知系统矩阵，试用拉普拉斯变换法求系统状态转移矩阵。解:返回上页[例2.2]已知系统矩阵，试用拉普拉斯变20①若A为对角线矩阵

线性系统的运动教学ppt课件21证明：证明：223.

化矩阵A为对角规范型或约当规范型方法①矩阵A的特征值互异，

存在一个非奇异矩阵P,使A能够通过非奇异变换对角线化；引入非奇异变换3.

化矩阵A为对角规范型或约当规范型方法存在一个非奇异矩阵23[例2.3]已知系统矩阵，试用化矩阵A为对角规范型方法求系统状态转移矩阵。解：矩阵A的特征方程为[例2.3]已知系统矩阵，试用化矩阵24

②A为若当矩阵

②A为若当矩阵25

②矩阵A有重特征值设矩阵A为“友”矩阵，且有m1重特征值，m2重特征值，互异特征值②矩阵A有重特征值设矩阵A为“友”矩阵，且有m1重26线性系统的运动教学ppt课件27[例2.4]已知系统矩阵，试用化矩阵A为约当规范型方法求系统状态转移矩阵。解：矩阵A的特征方程为：[例2.4]已知系统矩阵，试用化矩阵A28两种常见的状态转移矩阵形式①设②设两种常见的状态转移矩阵形式①设②设29[例2.5]已知系统矩阵试求状态转移矩阵解:[例2.5]已知系统矩阵试求状态转移矩阵解:30③矩阵A有复数特征值，此时需要将A化为模态标准型模态标准形其中：模态标准形矩阵的的状态转移矩阵可由下式计算(证明略)③矩阵A有复数特征值，此时需要将A化为模态标准型模态标准形其31结论：化矩阵A为对角规范型或约当规范型方法步骤相对复杂，但可以获得解析形式，并建立起了矩阵A的特征值和状态转移矩阵的直观联系，更便于对系统进行分析，但计算相对复杂，特别适合一些简单系统的计算和分析。作业P1052.4(1)(2)P1062.5(1)结论：化矩阵A为对角规范型或约当规范型方法步骤相对复杂，但可324.

化矩阵A为有限项法(待定系数法)这种方法是利用凯莱-哈密尔顿定理(Cayley-Hamilton),将的无穷级数化为矩阵A的有限项之和进行计算。凯莱-哈密尔顿定理指出，矩阵A满足自己的特征多项式。则A满足：4.

化矩阵A为有限项法(待定系数法)这种方法33推论1矩阵A的k(k≥n)次幂可表示为A的(n-1)阶多项式【证】以此类推，，，，等都可以用，…A，I线性表示。推论1【证】以此类推，，，，等34推论2矩阵指数eAt表示为A的(n-1)阶多项式因此，在定义中，可以用上述定理消去A的n及n以上的幂次项，即：推论2因此，在定义中，可以用上述定理消去A的n及n以上的35若矩阵A有n个互异的特征值根据式(2.1-17),eAt可以表示成A的n-1阶多项式，同样，eλt也可表示成λ的n-1阶多项式。若矩阵A有n个互异的特征值根据式(2.1-17),eA36[例2.6]重做[例2.3]已知系统矩阵，试用凯莱-哈密尔顿定理方法求系统状态转移矩阵。解：在[例2-3]中已求出矩阵A的特征值[例2.6]重做[例2.3]已知系统矩阵37b.特征值有重根若矩阵A有n重特征值，满足下式：将上式对求导n-1，得：b.特征值有重根若矩阵A有n重特征值，满足下式：将上385.

用MATLAB求取线性系统的状态转移矩阵

[例2.7a]已知系统矩阵，利用MATLAB求系统状态转移矩阵。同例[2.1]%ex2_10a.m%计算已知系统矩阵A的状态转移矩阵A=[0,1;-2,-3];%输入矩阵A；symst;%定义变量；eat=expm(A*t)%求状态转移矩阵。>>eat=[-exp(-2*t)+2*exp(-t),exp(-t)-exp(-2*t)][-2*exp(-t)+2*exp(-2*t),2*exp(-2*t)-exp(-t)]>>5.

用MATLAB求取线性系统的状态转移矩阵[例2.7a39同例[2.2][例2.7b]已知系统矩阵，利用MATLAB求系统状态转移矩阵(拉普拉斯变换法)。%ex2_10b.m%计算系统的状态转移矩阵(拉氏变换法)A=[0,1;-2,-3];%输入矩阵A；symsts;%定义变量；G=inv(s*eye(size(A))-A)%计算矩阵(sI-A);eat=ilaplace(G)%求拉氏反变换。同例[2.2][例2.7b]已知系统矩阵40>>G=[(s+3)/(s^2+3*s+2),1/(s^2+3*s+2)][-2/(s^2+3*s+2),s/(s^2+3*s+2)]

eat=[-exp(-2*t)+2*exp(-t),exp(-t)-exp(-2*t)][-2*exp(-t)+2*exp(-2*t),2*exp(-2*t)-exp(-t)]>>对比>>对比41[例2.7c]已知系统矩阵，利用MATLAB求系统状态转移矩阵(化系统为对角形)。同例[2.3]%ex2_10c.m%计算系统的状态转移矩阵(化为对角阵法)A=[0,1;-2,-3];%输入矩阵A；symst;%定义变量；[P,D]=eig(A);%计算A的特征向量P，特征值构成的对角矩阵D;Q=inv(P);eat=P*expm(D*t)*Q

eat=[2*exp(-t)-exp(-2*t),exp(-t)-exp(-2*t)][-2*exp(-t)+2*exp(-2*t),-exp(-t)+2*exp(-2*t)][例2.7c]已知系统矩阵，利用MATL42(一)线性系统的零状态强迫运动

系统的运动由两部分组成其中第1项,是初始状态的转移;

第2项是，为控制输入作用的受控项正是由于受控项的存在，提供了通过选取合适的u使x(t)的运动轨迹满足期望的可能性。2.2线性系统的一般运动线性系统的零状态响应就是在条件下系统的运动。求取非齐次状态方程的解。线性系统一般运动分析的数学实质：

(一)线性系统的零状态强迫运动系统的运动由两部分组成第43两边左乘

而：

线性系统的零状态响应就是系统对于各个时刻，由输入量在该时刻引起的状态改变的转移对时间的积累

在[0,t]上积分零状态响应系统的一般运动零输入响应两边左乘而：线性系统的零状态响应就是系统对于各个44方法二：由拉氏变换求解系统的一般运动即左乘由拉氏变换的卷积积分定理：两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换。对（2.2-2）进行拉氏反变换方法二：由拉氏变换求解系统的一般运动即左乘由拉氏变换的卷积积45当时当时由拉氏变换的卷积积分定理满足交换律当时当时由拉氏变换的卷积积分定理满足46（二）线性系统的一般运动

设线性系统的非齐次状态方程和输出方程为：初始状态为的解线性系统的一般运动就是零输入响应和零状态响应的叠加。系统的输出响应或输出方程的解（二）线性系统的一般运动设线性系统的非齐次状态方程和输出47[例2.8]已知系统矩阵，且，输入矩阵单输入u(t)为单位阶跃函数，试求系统的状态响应。解：在[例2.2]中已求得状态转移矩阵：[例2.8]已知系统矩阵，且，输入矩阵48作业P1062.6

作业P1062.649线性系统的脉冲响应

设u(t)是单位脉冲向量：系统零状态响应为:假设:则系统的脉冲响应为:

系统的脉冲响应矩阵：输入u(t)是单位脉冲向量时，系统的零状态响应。系统的脉冲响应矩阵:系统输出向量脉冲响应矩阵:线性系统的脉冲响应设u(t)是单位脉冲向量：系统零状态响应50对线性定常系统，且假设为零初始时刻时:

系统的脉冲响应矩阵:对H(t)进行拉氏变换：系统输出向量脉冲响应矩阵:脉冲响应函数的拉氏变换就是输出对输入的传递函数(阵)。对线性定常系统，且假设为零初始时刻时:系统的脉冲响应矩阵:512.3连续系统的状态空间描述的离散化

当用数字计算机求解线性连续系统的状态方程，或直接在系统中采用数字计算机进行在线控制，都会遇到把连续时间系统化为等价离散时间系统的问题。保持器采样器D/A数字计算机A/D连续系统u(t)y(t)x(t)u(k)y(k)x(k)离散化模型图2.3.1计算机控制系统2.3连续系统的状态空间描述的离散化当用52连续系统的离散化就是根据连续系统的数学描述推导出离散化数学描述的过程。将矩阵微分方程化为矩阵差分方程，就是连续系统离散化过程。（只讨论线性时不变系统）假设：采样是等间隔的，满足Shannon采样定理,采样器后接有零阶保持器.式中：连续系统的离散化就是根据连续系统的数学描述推导53证明：输出方程是代数方程，离散后C，D不变，只需证明G(T)和H(T)考察到这段时间的响应，由于零阶保持器的作用，u(t)=u(kT)=常数,则对照(2.31)式，证明：输出方程是代数方程，离散后C，D不变，只需证明G(T)54令,则总结:令,则总结:55［例2.11]给定线性连续定常系统：解：在[例2.2]中已求得状态转移矩阵：且采样周期T=0.1秒，试建立时间离散化模型［例2.11]给定线性连续定常系统：解：在[例2.2]中已562.4线性离散时间系统的一般运动离散时间系统状态方程有两种解法：迭代法和Z变换法。迭代法：迭代法对于定常系统和时变系统皆适用。设线性离散系统的