保定市高三上学期月摸底数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年河北省保定市高三（上)11月摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．=（）A．1 B． C．﹣i D．22．已知函数f（x）=2x的值域为A,g（x）=lnx的定义域为B，则（）A．A∩B=(0，1） B．A∪B=R C．B⊊A D．A=B3．若函数f(x）=（a﹣1）x3+ax2为奇函数，则f(1)=（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．04．设向量，，若与垂直，则m的值为（）A． B． C． D．5．下列四个函数中，以π为最小正周期,且在区间上为增函数的是()A．y=sin2x B．y=|cosx｜ C．y=﹣tanx D．6．下列命题中：①若命题p为真命题,命题q为假命题，则命题“p∧q“为真命题；②“"是“”的必要不充分条件；③命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，”正确命题的个数是(）A．0 B．1 C．2 D．37．设数列{an}是公比为q（｜q｜＞1）的等比数列，令bn=an+1(n∈N＊),若数列{bn｝有连续四项在集合｛﹣53，﹣23，19，37，82｝中，则q=（)A． B． C． D．8．设α为△ABC的内角，且tanα=﹣,则cos2α的值为(）A． B．﹣ C．﹣ D．9．已知函数f（x)的导函数f′(x）=a（x+b）2+c（a≠0)的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()A． B． C． D．10．等比数列｛an}中，若a4a5=1，a8a9=16,则a6a7等于（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．11．已知O是坐标原点，点A（1，0),若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|+|的取值范围是(）A．[,2］ B．[，1］ C．［,2] D．[,]12．已知O为正△ABC内的一点,且满足,若△OAB的面积与△OBC的面积的比值为3，则λ的值为（)A． B． C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．已知函数f（x）=，则f［f（0)]=．14．若平面向量，，设与的夹角为θ，且cosθ=﹣1，则的坐标为．15．设数列{an}中，a1=3，（n∈N*,n≥2)，则an=．16．已知定义在R上的偶函数f(x）满足f（x+4）=f（x）+f（2），且0≤x≤2时，f（x）=，若函数g（x）=f(x）﹣a|x|（a≠0),在区间［﹣3，3]上至多有9个零点，至少有5个零点，则a的取值范围是．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设Sn为数列｛an}的前n项和，且S3=7，a1+3，a3+4的等差中项为3a2．（1)求a2；（2）若{an｝是等比数列，求an．18．已知函数f(x)=Asin（ωx+φ)（A＞0，ω＞0，｜φ|＜）的部分图象如图所示，（1）求由,确定的区域的面积；（2)如何由函数y=sinx的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f（x)的图象，写出变换过程．19．等差数列｛an}中,其前n项和为Sn，且，等比数列{bn｝中,其前n项和为Tn，且,（n∈N＊)(1）求an,bn;（2)求{anbn}的前n项和Mn．20．已知函数f（x）=x3﹣6x2+3x+t，（t∈R）．（1）求函数f（x)的单调递减区间；（2）若函数g（x）=exf（x）只有一个极值点，求t的取值范围．21．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a,b,c成等差数列，C=2A．（1）求cosA;（2)设（m＞0),求△ABC的面积的最小值．22．已知函数f（x）=（a﹣bx3）ex﹣，且函数f（x）的图象在点(1，e）处的切线与直线x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）求证:当x∈（0，1）时,f（x)＞2．

2016—2017学年河北省保定市高三（上）11月摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1．=(）A．1 B． C．﹣i D．2【考点】复数求模．【分析】利用复数模的计算公式及其性质即可得出．【解答】解：原式==1．故选：A．2．已知函数f(x)=2x的值域为A,g（x）=lnx的定义域为B,则（)A．A∩B=（0，1） B．A∪B=R C．B⊊A D．A=B【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】求出f(x)的定义域，g（x）的值域，确定出A=B，【解答】解：函数f（x)=2x的值域为A=（0,+∞),g（x）=lnx的定义域为B=（0，+∞），∴A=B,故选：D3．若函数f（x)=（a﹣1）x3+ax2为奇函数，则f(1）=（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用奇函数的定义，求出a，再计算f（1)即可．【解答】解：∵f(x）=（a﹣1）x3+ax2为奇函数，∴﹣（a﹣1）x3+ax2=﹣（a﹣1）x3﹣ax2,∴a=0，∴f（x）=﹣x3，∴f（1）=﹣1，故选B．4．设向量，，若与垂直，则m的值为（）A． B． C． D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先利用平面向量坐标运算法则求出，再由向量垂直的条件，能求出m的值．【解答】解:∵向量，，∴=（﹣1，3+m），∵与垂直，∴•（）=﹣1+3（3+m）=0，解得m=﹣．故选:B．5．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为增函数的是(）A．y=sin2x B．y=｜cosx| C．y=﹣tanx D．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数的单调性和周期性,逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：根据函数以π为最小正周期，y=cos的周期为=4π，可排除D．在区间上，2x∈（π，2π），y=sin2x没有单调性，故排除A．在区间上,y=﹣tanx单调递减，故排除C,故只有y=|cosx｜满足以π为最小正周期，且在区间上为增函数，故选：B．6．下列命题中：①若命题p为真命题,命题q为假命题,则命题“p∧q“为真命题;②“”是“”的必要不充分条件；③命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R,”正确命题的个数是（)A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用复合命题的真假判断①的正误；利用充要条件判断②的正误；利用命题的否定判断③的正误；【解答】解:①若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q“为真命题是不正确的；②“”则“”，但是“”不一定“",所以“"是“"的必要不充分条件；正确．③命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R,”,满足命题的否定，是正确．故选：C．7．设数列｛an｝是公比为q（|q｜＞1）的等比数列，令bn=an+1（n∈N*），若数列{bn}有连续四项在集合｛﹣53,﹣23,19，37，82｝中，则q=（）A． B． C． D．【考点】数列递推式．【分析】推导出{an｝有连续四项在｛﹣54，﹣24，18，36，81}中，从而q＜0，且负数项为相隔两项等比数列各项的绝对值递增，按绝对值的顺序排列上述数值，由此能示出结果．【解答】解:数列｛bn}有连续四项在集合｛﹣53，﹣23,19，37,82}中，且bn=an+1（n∈N*），∴an=bn﹣1，则｛an}有连续四项在｛﹣54，﹣24，18,36，81｝中，∵数列{an｝是公比为q(|q|＞1）的等比数列，等比数列中有负数项，则q＜0，且负数项为相隔两项∵|q｜＞1,∴等比数列各项的绝对值递增，按绝对值的顺序排列上述数值18，﹣24，36，﹣54,81，相邻两项相除=﹣，=﹣,=﹣，=﹣，∵｜q|＞1,∴﹣24，36，﹣54,81是{an}中连续的四项，此时q=﹣．故选：C．8．设α为△ABC的内角，且tanα=﹣，则cos2α的值为(）A． B．﹣ C．﹣ D．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，求得cos2α的值．【解答】解：∵α为△ABC的内角，且tanα=﹣，则cos2α====，故选：A．9．已知函数f（x）的导函数f′(x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示,则函数f（x)的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】导数的运算；函数的图象．【分析】根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解:由f′(x）图象可知，函数f（x）先减，再增，再减，故选：D．10．等比数列｛an}中，若a4a5=1，a8a9=16，则a6a7等于（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．【考点】等比数列的性质．【分析】由数列{an}为等比数列，利用等比数列的性质得到a8a9=q8•a4a5，将已知a4a5=1，a8a9=16代入求出q8的值，开方求出q4的值,然后把所求的式子再利用等比数列的性质化简后，将q4的值与a4a5=1代入,即可求出值．【解答】解：∵数列｛an}为等比数列，a4a5=1，a8a9=16，∴a8a9=q8•a4a5，即q8=16,∴q4=4，则a6a7=q4•a4a5=4．故选A11．已知O是坐标原点,点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|+｜的取值范围是（)A．[，2] B．[，1］ C．［，2］ D．[，]【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．【分析】由题意作出可行域,由向量的坐标加法运算求得+的坐标，把|+|转化为可行域内的点M（x，y）到定点D（﹣1，0)的距离,数形结合可得答案．【解答】解：∵点A（1，0），点M（x，y），∴+=（1+x，y)，设z=｜+|=，则z的几何意义为M到定点D（﹣1，0）的距离，由约束条件作平面区域如图，由图象可知当M位于A(1，2）时，z取得最大值z==2，当M位于E时，z取得最小值z==即|+|的取值范围是[，2］，故选:C12．已知O为正△ABC内的一点，且满足，若△OAB的面积与△OBC的面积的比值为3，则λ的值为（）A． B． C．2 D．3【考点】向量在几何中的应用．【分析】如图D，E分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到=﹣λ，由于正三角形ABC，结合题目中的面积关系得到S△COB=S△ABC,S△COA=S△ABC，由面积之比，O分DE所成的比，从而得出λ的值．【解答】解:由于，变为++λ（+）=0．如图,D，E分别是对应边的中点，由平行四边形法则知+=2，λ(+)=2λ，故=﹣λ，在正三角形ABC中,∵S△COB=S△AOB=×S△ABC=S△ABC,S△COA=S△ACB﹣S△ABC﹣S△ABC=S△ABC，且三角形AOC与三角形COB的底边相等，面积之比为2得λ=2．故选：C．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13．已知函数f（x)=，则f［f(0）]=0．【考点】对数的运算性质．【分析】由函数的解析式求得f（0）的值，进而求得f［f(0)]的值．【解答】解：∵函数，则f（0）=30=1，∴f[f（0）]=f（1）=log21=0，故答案为0．14．若平面向量，,设与的夹角为θ，且cosθ=﹣1，则的坐标为（3，﹣6）．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量共线的性质可得与的夹角π，设=﹣λ•,λ＞0，根据，求得λ的值,可得的坐标．【解答】解:∵平面向量，，设与的夹角为θ，且cosθ=﹣1，∴与的夹角θ=π，设=﹣λ•=（λ，﹣2λ），λ＞0，∴λ2+（﹣2λ）2=，∴λ=3，∴的坐标为(3，﹣6），故答案为:（3，﹣6)．15．设数列｛an｝中，a1=3,（n∈N＊，n≥2)，则an=（3n﹣2）•3n．【考点】数列递推式．【分析】（n∈N＊,n≥2），可得=3,利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵(n∈N*，n≥2)，∴=3,∴数列是等差数列，公差为3，首项为1．∴=1+3（n﹣1）=3n﹣2，则an=(3n﹣2）•3n．故答案为：（3n﹣2）•3n．16．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）=f(x）+f（2)，且0≤x≤2时，f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣a|x｜（a≠0），在区间［﹣3，3]上至多有9个零点，至少有5个零点，则a的取值范围是．【考点】根的存在性及根的个数判断;分段函数的应用．【分析】由题意可得f（x）是周期为4的周期函数,作出y=f（x）在[0,3］上的图象，可得y=ax(a＞0)分别与函数y=﹣4x2+12x﹣8及y=﹣4(x﹣1）2+12（x﹣1）﹣8的图象相切,再由判别式等于0求得a值，即可求得a的取值范围．【解答】解：由题意可知，f（2)=0．∴f（x+4）=f(x）+f（2）=f（x),可知f(x）是周期为4的周期函数，又函数f(x）=,作出其在[0,3］上的图象如图：要使函数g(x）=f（x）﹣a|x|（a≠0），在区间[﹣3,3]上至多有9个零点，至少有5个零点，则函数y=ax(a＞0）与y=f（x）在区间(0,3］上至多有4个零点，至少有2个零点，联立，得4x2+（a﹣12）x+8=0，由△=a2﹣24a+16=0，得a=12﹣8；联立，得4x2+（a﹣20）x+24=0，由△=a2﹣40a+16=0，得a=．∴函数g（x）=f（x）﹣a｜x|（a≠0）在区间［﹣3，3］上至多有9个零点，至少有5个零点的a的取值范围是．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设Sn为数列{an}的前n项和，且S3=7，a1+3，a3+4的等差中项为3a2．（1）求a2；(2）若{an｝是等比数列，求an．【考点】等比数列的通项公式．【分析】（1）利用已知条件建立方程组,求解健康得答案；(2）设数列｛an｝的公比为q，由a2=2,可得首项与公比,即可求得数列{an}的通项公式．【解答】解：（1)由已知得：,解得a2=2；(2）设数列{an｝的公比为q，由a2=2，可得．又S3=7,可知+2+2q=7，∴2q2﹣5q+2=0,解得,q2=2．①若，∴a1=4，则．②若q2=2，∴a1=1,则．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ)（A＞0,ω＞0，｜φ|＜)的部分图象如图所示，（1）求由,确定的区域的面积;（2）如何由函数y=sinx的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f（x）的图象，写出变换过程．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）由函数的图象可求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数的解析式,再根据定积分的计算方法即可求出面积（2）根据函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．【解答】解：(1)由图象知A=1．f（x）的最小正周期，故，将点代入f（x）的解析式得，又，∴．故函数f（x）的解析式为，确定的区域的面积S=sin(2x+）dx=﹣cos（2x+)｜=（2）变换过程如下：y=sinx图象上的y=sin2x的图象，再把y=sin2x的图象的图象,另解：y=sinx的图象．再把的图象的图象19．等差数列｛an}中,其前n项和为Sn,且，等比数列｛bn｝中，其前n项和为Tn，且，（n∈N＊)（1）求an，bn；（2)求{anbn}的前n项和Mn．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）法1：利用等差数列的前3项求出公差与首项，再利用通项公式即可得出．法2：利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出．（2)法1：利用分组求和即可得出．法2:利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解:（1）法1：由，a1=1…又，所以a2=3或﹣1因为a2=﹣1时，=1,故a2=﹣1舍去…所以等差数列{an）的公差d=a2﹣a1=2∴an=2n﹣1,…同样可得b1=1，b2=3或﹣1因为b2=3时，，故b2=3舍去又{bn}为等比数列,所以…法2：，a1=1…1分，，（n≥2）（an﹣an﹣1）(an+an﹣1）﹣2（an+an﹣1）=0…（an﹣an﹣1﹣2）（an+an﹣1)=0，因为｛an}为等差数列，所以an﹣an﹣1﹣2=0，又a1=1∴an=2n﹣1，…又｛bn}为等比数列，所以易得…（2)法一：Mn=a1•b1+a2•b2+…+an•bn=1﹣3+5﹣7+…+（﹣1）n﹣1（2n﹣1）若n为偶数，则Mn=所以Mn=﹣n…若n为奇数,则结合上边情况可得Mn=﹣（n﹣1）+(2n﹣1）=n综上可得Mn=（﹣1）n﹣1•n…法二:Mn=1×(﹣1）0+3×(﹣1）1+5×（﹣1）2+…+(2n﹣1）×(﹣1)n﹣1…①﹣Mn=1×（﹣1）1+3×(﹣1）2+5×（﹣1）3+…+(2n﹣1)×（﹣1）n…②①﹣②得：2Mn=1+2×（﹣1）1+2×（﹣1）2+2×（﹣1）3+…+2×（﹣1）n﹣1﹣（2n﹣1）×（﹣1）n﹣﹣﹣﹣2Mn=Mn=n×（﹣1）n﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知函数f（x）=x3﹣6x2+3x+t，（t∈R）．(1）求函数f（x）的单调递减区间;（2）若函数g（x)=exf(x）只有一个极值点，求t的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）令f′（x)=3x2﹣12x+3＜0，可求函数f(x）的单调递减区间；（2）求导函数，f′（x）=（3x2﹣12x+3）ex+(x3﹣6x2+3x+t)ex=（x3﹣3x2﹣9x+t+3）ex，函数g（x）=exf（x）有一个极值点，所以x3﹣3x2﹣9x+t+3=0有一个穿过x轴的根，即在其两边g'（x）异号，故可求t的取值范围．【解答】解：(1）令f'（x)=3x2﹣12x+3＜0，∴2﹣＜x＜2+，∴函数f(x）的单调递减区间是（2﹣,2+);(2）g'(x）=(3x2﹣12x+3）ex+（x3﹣6x2+3x+t）ex=(x3﹣3x2﹣9x+t+3）ex∵g（x）有一个极值点，∴x3﹣3x2﹣9x+t+3=0有一个穿过x轴的根，即在其两边g'（x)异号﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令h（x）=x3﹣3x2﹣9x+t+3，则h'（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）(x﹣3）由h'（x)=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3）＞0得x＜﹣1或x＞3…h（x）在区间（﹣∞，﹣1）和（3,+∞)上递增，在区间(﹣1，3)上递减．∴h（﹣1）h（3）≥0∴t≤﹣8或t≥24．…21．已知△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a,b，c,且a，b，c成等差数列，C=2A．(1）求cosA；（2)设(m＞0），求△ABC的面积的最小值．【考点】余弦定理．【分析】(1）根据题意,分析易得B=180°﹣3A，结合正弦定理分析可得sinA+2sinA•cosA=2sin3A，对其变形可得8cos2A﹣2cosA﹣3=0，解可得答案；（2)对于,由基本不等式的性质分析可得a的最小值,可得a的值，由正弦定理可得S△ABC关于a的表达式，由a的最小值，即可得答案．【解答】解:(1)根据题意，C=2A，则B=180°﹣3A,又因为a，b，c成等差数列，所以a+c=2b,由正弦定理得sinA+sinC=2sinB;sinA