第二章逻辑函数及逻辑门

第二章逻辑函数及逻辑门第1页，课件共81页，创作于2023年2月1、基本逻辑运算设：开关闭合=“1”开关不闭合=“0”灯亮，L=1灯不亮，L=0

与逻辑——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。1)与运算与逻辑表达式：AB灯L不闭合不闭合闭合闭合不闭合闭合不闭合闭合不亮不亮不亮亮0101BLA0011输入0001输出

与逻辑真值表一、逻辑运算第2页，课件共81页，创作于2023年2月2）或运算或逻辑表达式：

L＝A+B

或逻辑——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。AB灯L不闭合不闭合闭合闭合不闭合闭合不闭合闭合不亮亮亮亮0101BLA0011输入0111输出

或逻辑真值表第3页，课件共81页，创作于2023年2月3）非运算非逻辑表达式：

非逻辑——某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。A灯L闭合不闭合不亮亮LA0110非逻辑真值表第4页，课件共81页，创作于2023年2月2、其他常用逻辑运算2）或非

——由或运算和非运算组合而成。

1）与非

——由与运算和非运算组合而成。0101BLA0011输入1110输出

“与非”真值表0101BLA0011输入1000输出

“或非”真值表第5页，课件共81页，创作于2023年2月3）异或异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。0101BLA0011输入0110输出

“异或”真值表异或的逻辑表达式为：第6页，课件共81页，创作于2023年2月4）同或（异或非）ABF101101000011逻辑表达式F=AB=A

B

“⊙”同或逻辑运算符ABF=1逻辑符号第7页，课件共81页，创作于2023年2月二、逻辑函数的运算定律及规则第8页，课件共81页，创作于2023年2月常用公式：1）摩根公式：AB=A+B A+B=AB 推广：ABC=ABC=A+B+C A+B+C=A+B+C=ABCABC…=A+B+C+…A+B+C+…=ABC…第9页，课件共81页，创作于2023年2月2）A+AB=B+BA=A+B证明：A+AB=A(B+B)+AB=AB+AB+AB=AB+AB+AB+AB=A+B第10页，课件共81页，创作于2023年2月*逻辑规则A.(BC)=A+BC=A+B+C1）代入规则：指在一个逻辑等式中，如将其中某个变量，都代之以另一个逻辑函数，则该等式依然成立在摩根律AB=A+B中用BC代替B，得：第11页，课件共81页，创作于2023年2月Y=AB+BC(A+BC) Y*=(A+B )[B+C+A(B+C)]与或互换、0和1互换,变量和反变量不变,非不变。2）对偶规则一个逻辑函数Y，如将其中的与换成或，或换成与，0换成1，1换成0，而变量及反变量本身保持不变，经这样置换后的新函数Y*，便是原函数Y的对偶函数。第12页，课件共81页，创作于2023年2月Y=Y的反演

Y=AB+(A+B+C) Y=(A+B).ABC与或互换、0和1互换，变量和反变量互换。3）反演规则将某逻辑函数Y中的“与”与“或”对换，0和1对换，原变量和反变量也同时对换，这样对换后的新函数，便是原函数Y的反函数Y。第13页，课件共81页，创作于2023年2月Y=f(X1，X2，X3，…，Xk)=X1f(0，X2，…，Xk)+X1f(1,X2，…，Xk)=[X1+f(0，X2，…，Xk)][X1+

f(1,X2，…，Xk)]4）展开规则一个多变量函数Y=f(X1，X2，X3，…，Xk),可以将其中任意一个变量，例如X1分离出来，并展开成：第14页，课件共81页，创作于2023年2月三、逻辑函数的表示方法1．真值表——将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。2．函数表达式——由逻辑变量和“与”、“或”、“非”三种运算符所构成的表达式。3．逻辑图——由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。第15页，课件共81页，创作于2023年2月ABCF000001001011100110111011断“0”合“1”亮“1”灭“0”C开，F灭0000C合，A、B中有一个合，F亮11C合，A、B均断，F灭0逻辑函数式

挑出函数值为1的项1101111101111

每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项

这些乘积项作逻辑加输入变量取值为1用原变量表示;反之，则用反变量表示ABC、ABC、ABCF=ABC+ABC+ABC第16页，课件共81页，创作于2023年2月解：第一步：设置自变量和因变量。第二步：状态赋值。

对于变量A、B、C设：同意为逻辑“1”，不同意为逻辑“0”。

对于函数F设：事情通过为逻辑“1”，没通过为逻辑“0”。例1.

三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试建立该逻辑函数。第三步：根据题义及上述规定列出函数的真值表。000001010011100101110111ABC00010111

F三人表决电路真值表第17页，课件共81页，创作于2023年2月由真值表可以转换为函数表达式。由“三人表决”函数的真值表可写出逻辑表达式：解：该函数有两个变量，有4种取值的可能组合，将他们按顺序排列起来即得真值表。

反之，由函数表达式也可以转换成真值表。例2列出下列函数的真值表：真值表00011011AB1001

L000001010011100101110111ABC00010111

F三人表决电路真值表第18页，课件共81页，创作于2023年2月例4

写出如图所示逻辑图的函数表达式。由函数表达式可以画出逻辑图。解：可用两个非门、两个与门和一个或门组成。例3

画出函数的逻辑图：由逻辑图也可以写出表达式。解：第19页，课件共81页，创作于2023年2月等式右边由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包含同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的公式可推广：例5：证明包含律成立利用基本定律第20页，课件共81页，创作于2023年2月证明方法利用真值表例6：用真值表证明反演律ABABA+BABA+B000110111110111010001000

AB=A+BA+B=AB第21页，课件共81页，创作于2023年2月例7、试用真值表证明010100011101010001101001010010000100AB+ABAB+ABAB+ABABABABABBA第22页，课件共81页，创作于2023年2月函数的简化依据

逻辑电路所用门的数量少

每个门的输入端个数少

逻辑电路构成级数少

逻辑电路保证能可靠地工作降低成本提高电路的工作速度和可靠性四、逻辑函数的简化返回第23页，课件共81页，创作于2023年2月最简式的标准

首先是式中乘积项最少

乘积项中含的变量少

与或表达式的简化1、代数法化简函数与门的输入端个数少

实现电路的与门少

下级或门输入端个数少方法：

并项：利用将两项并为一项，且消去一个变量B

消项：利用A+AB=A消去多余的项AB

配项：利用和互补律、重叠律先增添项，再消去多余项BC

消元：利用消去多余变量A第24页，课件共81页，创作于2023年2月代数法化简函数例8：试简化函数解：利用反演律配项加AB消因律消项AB

或与表达式的简化F（或与式）求对偶式F（与或式）简化F（最简与或式）求对偶式F（最简或与式）第25页，课件共81页，创作于2023年2月1）、最小项和最大项2、用卡诺图化简函数最小项：n个变量有2n个最小项，记作mi3个变量有23（8）个最小项m0m100000101m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）乘积项和项最小项二进制数十进制数编号最小项编号i-各输入变量取值看成二进制数，对应的十进制数第26页，课件共81页，创作于2023年2月001ABC000m0m1m2m3m4m5m6m7100000000100000011010011100101110111000000000000100000010000001000000100000010000001111111三变量的最小项

最小项的性质：

同一组变量取值任意两个不同最小项的乘积为0。即mi

mj=0(i≠j)

全部最小项之和为1，即

任意一组变量取值，只有一个最小项的值为1，其它最小项的值均为0第27页，课件共81页，创作于2023年2月最大项n个变量有2n个最大项，记作

in个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的和项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）最大项：M0M100000101M2M3M4M5M6M7010011100101110111234567最大项二进制数十进制数编号第28页，课件共81页，创作于2023年2月

同一组变量取值任意两个不同最大项的和为1。即Mi+Mj=1(i≠j)

全部最大项之积为0，即

任意一组变量取值，只有一个最大项的值为0，其它最大项的值均为1最大项的性质：M0M100000101M2M3M4M5M6M7010011100101110111234567最大项二进制数十进制数编号第29页，课件共81页，创作于2023年2月最小项与最大项的关系

相同编号的最小项和最大项存在互补关系即:

mi

=Mi

Mi

=mi

若干个最小项之和表示的表达式F，其反函数F可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。

例：m1m3m5m7=

=第30页，课件共81页，创作于2023年2月2）、逻辑函数的标准形式

最小项（标准积）之和表达式式中的每一个乘积项均为最小项F(A、B、C、D)例9：求函数F(A、B、C)的标准积之和表达式解：F(A、B、C)利用反演律利用互补律，补上所缺变量C解:第31页，课件共81页，创作于2023年2月ABC000001010011100101110111mi01234567FMi0123456700010111例10：已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式

从真值表找出F为1的对应最小项解:011331101551110661111771

然后将这些项逻辑加F(A、B、C)第32页，课件共81页，创作于2023年2月

最大项（标准和）之积表达式ABC000001010011100101110111mi01234567FMi0123456700010111例11：已知函数的真值表，写出该函数的最大项之积表达式

从真值表找出F为0的对应最大项解:

然后将这些项逻辑乘F(A、B、C)第33页，课件共81页，创作于2023年2月完全描述的逻辑函数：真值表中各行的输出都是明确的，非0即1非完全描述的逻辑函数：真值表中有些行的输出是明确的，还有些行的输出是未加规定的，称为无关项或任意项3）、未完全描述函数的真值表及表达式第34页，课件共81页，创作于2023年2月例、试写出表中所示真值表的逻辑函数ABCY000100100100011-10011011110-1110解：表中有两行是任意项将任意项作1看待，函数的最小项之和表达式为将任意项作0看待，函数的最大项之积表达式为第35页，课件共81页，创作于2023年2月4）卡诺图化简函数

卡诺图（K图）图中的一小格对应真值表中的一行，即对应一个最小项，又称真值图AB00011011m0m1m2m3AABBABBAABABAB1010m0m1m2m3miABC01000111100001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD二变量K图三变量K图四变量K图第36页，课件共81页，创作于2023年2月K图的特点图形法化简函数

k图为方形图。n个变量的函数--k图有2n个小方格，分别对应2n个最小项；

k图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，使变量各最小项之间具有逻辑相邻性。上下左右几何相邻的方格内，只有一个因子不同

有三种几何相邻：邻接、相对（行列两端）和对称（图中以0、1分割线为对称轴）方格均属相邻0001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD四变量K图两个相邻格圈在一起，结果消去一个变量ABDADA1四个相邻格圈在一起，结果消去两个变量八个相邻格圈在一起，结果消去三个变量十六个相邻格圈在一起，结果mi=1卡诺图化简函数规则：

几何相邻的2i（i=1、2、3…n）个小格可合并在一起构成正方形或矩形圈，消去i个变量，而用含（n-i）个变量的积项标注该圈。第37页，课件共81页，创作于2023年2月图形法化简函数

与或表达式的简化步骤

先将函数填入相应的卡诺图中，存在的最小项对应的方格填1，其它填0。

合并：按作圈原则将图上填1的方格圈起来，要求圈的数量少、范围大，圈可重复包围但每个圈内必须有新的最小项。

每个圈写出一个乘积项。按取同去异原则

最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式第38页，课件共81页，创作于2023年2月

根据函数填写卡诺图1、已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格填1，其余格均填0。2、若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的那些最小项对应的方格填1，其余格均填0。3、函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式，再用直接法填写。

作圈的步骤1、孤立的单格单独画圈2、圈的数量少、范围大，圈可重复包围但每个圈内必须有新的最小项3、含1的格都应被圈入，以防止遗漏积项图形法化简函数第39页，课件共81页，创作于2023年2月

含有无关项的函数的化简

填函数的卡诺图时只在无关项对应的格内填任意符号“-”、“Φ”、“d或“×”。处理方法：无关项对于变量的某些取值组合，所对应的函数值是不定。通常约束项和任意项在逻辑函数中统称为无关项

化简时可根据需要视为“1”也可视为“0”，使函数化到最简。图形法化简函数第40页，课件共81页，创作于2023年2月F(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC =Σm(3,5,6,7)红圈：BC蓝圈：AC绿圈:ABF(A,B,C)=BC+AC+AB圈1法第41页，课件共81页，创作于2023年2月四变量卡诺图：第42页，课件共81页，创作于2023年2月例1画出函数Y=f(A,B,C,D)=Σm(0,1,2,8,11,13,14,15)+d(7,10)的卡诺图例2画出函数Y=f(A,B,C,D)=Σm(2,5,8,10,12,14,15)的卡诺图第43页，课件共81页，创作于2023年2月化简：函数Y=f(A,B,C,D)=Σm(0,1,2,8,11,13,14,15)+d(7,10)化简：函数Y=f(A,B,C,D)=Σm(2,5,8,10,12,14,15)第44页，课件共81页，创作于2023年2月第45页，课件共81页，创作于2023年2月圈0法Y=BC+AC+ABCY=BC+AC+ABC=(B+C)(A+C)(A+B+C)第46页，课件共81页，创作于2023年2月5）多输出函数的化简用卡诺图对变量相同的多个输出函数进行化简时，应圈出尽量多的公共项例：试用卡诺图化简多输出函数：解：先画出相应的卡诺图第47页，课件共81页，创作于2023年2月按尽量圈公共项的原则，可得：第48页，课件共81页，创作于2023年2月6）禁止逻辑设有函数，其卡诺图如图所示：用圈1法，可得：若将图中原为0的3号小格打上阴影线，它应为禁止项现在先将该禁止项圈进，得新函数，再乘上禁止项之非，便得：第49页，课件共81页，创作于2023年2月任何函数乘上不属于它的最小项之非，其逻辑功能不变。则：这种利用禁止项化简函数的方法，称为禁止法或阻塞法第50页，课件共81页，创作于2023年2月例：试用阻塞法化简函数解：将函数画成卡诺图发现如按圈1法，已是最简的积之和表达式若令为禁止项，则可写出：该表达式具有较少的门电路和连线第51页，课件共81页，创作于2023年2月与:相应格的值相与或:相应格的值相或反函数:每个格的值取反对偶函数:每个格填上对偶项值的非m0---M15m1---M14m2---M13……五、卡诺图运算第52页，课件共81页，创作于2023年2月五变量卡诺图第53页，课件共81页，创作于2023年2月六、降维卡诺图一个五变量函数，可以填入四变量的卡诺图中，小格中除常量0、1及任意项“－”外，还会出现另一个变量，后者就称为图记变量，而这种卡诺图就成为降维卡诺图。第54页，课件共81页，创作于2023年2月将A选作图记变量，合并卡诺图第55页，课件共81页，创作于2023年2月选B为图记变量，降成三变量式的卡诺图第56页，课件共81页，创作于2023年2月第57页，课件共81页，创作于2023年2月降维卡诺图的圈法：降维图画圈的原则：（1）圈1时不能将含有变量的小格圈进，但可将任意项圈进（2）圈变量或函数时，只能将相同变量或函数的相邻格圈在一起，并乘上该变量或函数，这样才能得出该圈之函数（3）圈变量或函数时，若有相邻的1，则也可像相邻的任意项那样圈进（4）将上述各类圈之函数相加，才得化简函数第58页，课件共81页，创作于2023年2月例：对下图圈出函数f的最简与或式画出4个圈，故：也画出4个圈，故：第59页，课件共81页，创作于2023年2月五、逻辑门、符号和变换1、逻辑符号（GB4728.12-85）1〉逻辑单元符号：2〉输入输出记号：状态记号电平记号非门第60页，课件共81页，创作于2023年2月逻辑符号：（GB4728.12-85）1〉图形符号的三种形式第61页，课件共81页，创作于2023年2月2、门电路符号：第62页，课件共81页，创作于2023年2月3、表达式→电路图：1〉用与非门实现（Y=AB）与：Y=AB=AB非：Y=A=AA或：Y=A+B=A+B=AB第63页，课件共81页，创作于2023年2月2〉用或非门实现（Y=A+B）或：Y=A+B=A+B非：Y=A=A+A与：Y=AB=AB=A+B第64页，课件共81页，创作于2023年2月第65页，课件共81页，创作于2023年2月例1：分别用与非门和或非门表示异或Y=A⊕B=AB+AB=ABABY=A⊕B=AB+AB=A+B+A+B第66页，课件共81页，创作于2023年2月例1：多输入与或非门第67页，课件共81页，创作于2023年2月4、电路图→表达式分析下列电路写出逻辑表达式第68页，课件共81页，创作于2023年2月5、其他表示法（了解）1〉开关网络（p54）2〉文氏图 (p55 ) 3〉表格法化简(p56)第69页，课件共81页，创作于2023年2月0V工作原理

A、B中有一个或一个以上为低电平0V

只有A、B全为高电平3V，二极管与门电路0V3V3V3VABF3V3V3V3V0V0V0V3V0V0V0V0V六、正逻辑与负逻辑则输出F就为低电平0V则输出F才为高电平3V第70页，课件共81页，创作于2023年2月ABFVLVLVLVLVHVL111ABF1001000000ABF01001011111VLVHVHVLVHVH电平关系正逻辑负逻辑正与=负或正或=负与正与非=负或非正或非=负与非正、负逻辑间关系逻辑符号等效

在一种逻辑符号的所有入、出端同时加上或者去掉小圈，当一根线上有两个小圈，则无需画圈

原来的符号互换（与←→或、同或←→异或）高电平VH用逻辑1表示，低电平VL用逻辑0表示

正逻辑与负逻辑（与门）（或门）高电平VH用逻辑0表示，低电平VL用逻辑1表示第71页，课件共81页，创作于2023年2月逻辑约定：第72页，课件共81页，创作于2023年2月函数表达式的常用形式

五种常用表达式F(A、B、C)“与―或”式“或―与”式“与非―与非”式“或非―或非”式“与―或―非”式基本形式

表达式形式转换利用还原律利用反演律第73页，课件共81页，创作于2023年2月逻辑函数简化中的几个实际问题

具有多输出端电路的简化

只允许原变量