初三数学竞赛辅导教程【精】

快乐快乐1.1因式分解一、常用公式或变形方法(此处只列出教科书以外的常用于竞赛中的内容)a2+b2+c2—ab-ac-bc=Q—b1+(a-c)+(b-c2ab+a+b+1=(a+1)b+1)a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=S+b+c力(在已知a+b+c和a2+b2+c2时此公式常(a+b+cl-G2+b2+c2)变形为ab+ac+bc= )24.a3+b3+c3—3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2—ab—ac—bc)二、例题讲解例1.已知a、b、c是^ABC的三条边，且满足a2+b2+c2=ab+ac+bc，试判断^ABC的形状.例2.若三个素数的乘积恰好等于它们和的23倍，求这三个素数.(2015大同杯第四题)例3.已知实数a、b、c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=0.1，求a4+b4+c4的值.(2003年宇振杯第3题)例4,已知a+b+c=0，a3+b3+c3=0，求证：a5+b5+c5=0

二、练习题1.已知整数a、b满足6〃b=9a—108+303,求。+匕的值..已知〃=—巾+1,b-—m+2,c=m+3,求。2+2a〃+〃2—2ac+。2—2Z?c的值..已知a、b、c是不全相等的实数，且qOcwO,«3+/?3+c3=3abc,求:(1)a+b+c的值(2)a61

二b(2)a61

二bc)(a1)(1++c

C)lb+的值

aJ4.化简:“34.化简:“3-a^b-ab^+b3“2—2曲+匕2（2014大同杯第1题）5.设非零实数5.设非零实数a,fa+2b+3c=Qb,c满足＜ ,[2a+3b+4c=Qab+be+ca求 : 的值.(2013年全国初中数〃2+82+C2学联赛第一试第1题）

求(a+1)b+1)Q+1)的.已知正数a、b、c满足ab+a+b=bc+求(a+1)b+1)Q+1)的.已矢口：a+b+c=5, a2+b2+c2=15 , a3+b3+c3=47 ,求+ab+b2）b2+bc+c2X2+ca+a2）的值.（2016全国初中数学联赛第二试B组第2题）1.2对称式与轮换对称式一、定义一个n元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，那么，就称这个代数x+y式为n元对称式，简称对称式。例如，x+y，xy， ，x2+y2+工2，xy+yz+z都是对xy称式。如果一个多项式的各项的次数均等于同一个常数，那么称这个多项式为齐次多项式。一个n元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，那么就称这个,一一、x一y代数式为n元交代式。例如，x一y，(x一y)(y-z)(z-x)，一均是交代式。x+y如果一个n元代数式，如果将字母x，x，皿x:以x代x，x代x，皿x代x，x12 n2 13 2 n n-11代x后代数式不变，那么称这个代数式为n元轮换对称式，简称轮换式。对称式一定是轮n换式，但轮换式不一定是对称式。例如，a(x2+y2+z2)是对称式也是轮换式；b(x2y+y2z+z2x)是轮换式，但不是对称式。二、例题讲解2c2 2a2 2b2例1.已知，a，b，c是^ABC的边，且a=- ，b=- ，c=-——，求此三角形1+c2 1+a2 1+b2的面积.例2.满足方程xyz+xy+yz+z+x+y+z=2014的非负整数解(x,y,z)有几组？(2014大同杯第4题)

例3.设x、y、z是三个互不相等的数，且例3.设x、y、z是三个互不相等的数，且x+1=y+1=工+1,求xyz的值.yz%例4.x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2,x2y1-x1y2=1,x1yl+x2y2=3.求y12+y22的值.二、练习题ab1bc1.已知力=15,b^c=17,ac1a+c16,abc一八求—的值..若数组（x，y，z）满足下列三个方程:xy1z3yz

=1， =c，x+y+z x+y+z2x+y+z3，求xyz的值..已知bo且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值..不定方程x2+j2=+2x+2y的整数（x,y）解共有几组？（大同杯第题）.已知bc-a2=5,ca-b2=-1,ab-c2=-7,求6a+7b+8c.已知实数a、b、c,且b丰0，若实数x；x2、y『y2满足x12+ax22=b,x2yl-x1y2=a,x1yl+ax2y2=c.求y12+ay22的值.（2007新知杯第5题）1.3高斯函数一、定义实数X,用［x］表示不超过x的最大值整数，则y=冈称为高斯函数.二、例题讲解例1.L］表示不大于X的最大整数，求方程bXl+bx］=8x-7的所有实数解.（2006新知杯第6题）例2.对于正整数，设a是最接近M的整数，求-+—+—+……+—（全国n aaa a1 2 3 200数学联赛第一试第题）,Jn+|nllri例3.给定正实数，对任意一个正整数，记f3）=|—舁］，这里，I1表示不超过实数的最大整数。（1）若fG）=5，求的取值范围；（2）求证：f。）＞*a-1（新知杯题）二、练习题1.用[x]表示不超过x的最大整数，把x-[x]称为x的小数部分已知看=,a是t的2-、37 1 1小数部分，b是-t的小数部分，求右--（ 全国数学联赛第一试第题）2ba2.如果a为任意实数，用[a]表示不大于a的最大整数，例如卜5]=-5,[-2,3]=-3,[工；3]=1，[2[x]-y=-2设x、y满足方程〈 ，求[x+y].13[x-2]+y=163用[x]表示不超过x的最大整数，求方程M+bx]=5x-5的所有实数解.设[x]表示不超过实数x的最大整数，+131+I3+131+I3+13H3+131+13+…，直至22kI 一kI，只有最后一段可能不足2k项，2016项，其中分母为k的一段共有2k项1,k求S的值.（2016大同杯第6题）

.设［灯表示不超过实数%的最大整数，正整数n小于100且满足这样的正整数n有几个？（2000年全国初中数学联赛第一试第4题）（2014全国初中数学联赛第（2014全国初中数学联赛第5题）7.设［%］表示不超过实数X的最大整数，求方程42一8冈+7=0的所有解的平方和〈〃的最大正整数〃，其中L］表示不超过实数TOC\o"1-5"\h\zn n n〈〃的最大正整数〃，其中L］表示不超过实数求满足不等式- + - + — +乙 J 11%的最大整数（新知杯第五大题）概率

、基本概念排列()排列的定义：从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素按照一定的顺序排成一列。(2)排列的计算公式:(2)排列的计算公式:Pm= =4-1(n-2)n5—m).(n-m+1)；使用计算器时先输入n的值，然后按P按钮，再输入m的值。2.组合(1)组合的定义：从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素并成一组。组合与排列的区别是组合是无序的，而排列是有序的。(2)组合的计算公式:P(2)组合的计算公式:PmCm=r=^f——^

nm! m!(n—m).n!使用计算器时先输入n的值，然后按C按钮，再输入m的值。二、例题讲解例1.有编号分别为去123,4,5,6,7的7个大小相同的小球，从中任取3个小球，求取出的3个小球的编号和为奇数的概率.(2015大同杯第2题)例2.从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，求它是直角三角形的概率.(2015全国初中数学联赛第一试填空第2题)例3.三对夫妻排成一排照相，求仅有一对夫妻相邻的概率.三、练习题.同时投掷两颗骰子，P(a)表示两颗骰子朝上一面的点数之和为a的概率，求P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)的值.(2012新知杯第2题).从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，求抽出卡片的编号都大于等于2的概率.（2011新知杯第3题）3.63.6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4的数字可以作为三角形的三边长的概率.（6，6，从中取出3张，求这3张卡片上所写1全4国初中联赛第一试第4题）从正12边形的顶点中取出4个顶点，求它们两两不相邻的概率某校初三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连）且二班的2位同学没有被排在一起的概率是多少？已知5件产品中有3件合格品，2件次品。每次任取一个检验，检验后不再放回，求恰好经过3次检验找出2件次品的概率.5单元测试一

一、填空题.从到这九个数字中任取两个数，它们的乘积是偶数的概率是.已知a—b=b—c=1，贝Ua2+b2+c2—ab-bc-ac的值为.用［X］表示不大于X的最大整数，则方程x2—2［x］—3=0的解的个数为.若实数，， 满足a2+b2+c2=9,代数式(a—bI+(b—cl+(c—al的最大值是.用［x］表示不超过X的最大整数，已知方程［4x—1］=x3,那么满足方程的x是6.若实数、、、满足6.若实数、、、满足2222，则2 2 2 2 2 2则[S]=则[S]=「.八 1口 1 28.已知0<a<1,且a+3^+a+元+3029a+—30=18(［x］表示不超过x的最的最大值是..设［x］表示不大于x的最大整数，如［3.2］=L.8］=L］=3，若1 1 1 _12—+3—+4—+...+15——二S,22 32 42 152大整数)，则1。aL二、解答题.已知abc求证a3+b3+c33abc.设a,b,c,d是四个整数。且使得m=Qb+cdI—1(a2+b2—c2—d2)是一个非零4

整数，求证：阂一定是合数..（）用L］表示不超过x的最大整数，对于任意实数X，求证：0+X+1=b/2010120101 +—22010120101 +—22 220101 +—22010 2的值.试确定一切有理数r，使得关于x的方程2+（r+2）x+3r—2=0有根且只有整数根.2.1不定方程一、例题讲解例1.求满足方程Q+3）2+J2+Q—y1=3的所有实数对（X,y）.（2010新知杯第2题）例2不定方程X2+y2=xy+2x+2y的整数（x,y）解共有多少组？（ 大同杯第题）xyxy24例3求方程1+1-1=3的整数解Q,yxyxy24二、练习题x+5x+2.求不定方程--T-yx+22方程 的所有整数解有多少组？（ 新知杯第题）2313方程jb二4，a、b都是正整数，求该方程的正整数解4.已知正整数a,b,c满足1<a<b<c,a+b+c=111,b2=ac,求b（全国初中数学联赛填空第4题）5已知三整数a、b、c之和为且b二c，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的abb与c的值6已知k为整数，若关于x的二次方程kx2+（2k+3b+1=0有有理根，求k值7.已知正整数a，b，c满足a+b2-2c—2=0，3a2—8b+c=0，求abc的最大值.（2013全国数学联赛第一试填空第8题）2.2特殊方程（组）的解法一、例题讲解

xxy--=a例1.例1.已知a是不为0的实数，求解方程组：＜(2013新知杯第10题)y1xy--ab-2(a+b)例2.设a例2.设a、b、c均为非零数，解方程组：〈bc-ac-3(b+c)

4(a+c)I3x+2y+z-a,例3.关于x、y、z的方程组［xy+2yz+3zx-6有实数解（羽y，z），求正实数〃的最小值.（2006新知杯第三题）例4.解方程：2V2x(x+7)一工：'2x-、x+7-13-3x例5.解方程：、，x-1+弋2x-3+<3x-5+y4x-7-5x-6、练习题2a+b+c+d+e+f=20,a+2b+c+d+e+f=40,1.已知实数a、b、c、d、a+b+2c+d+e+f=80,e、f满足如下方程组彳a+b+c1.已知实数a、b、c、d、a+b+c+d+2e+f=320,a+b+c+d+e+2f=640.求f-e+d-c+b-a的值.（2006新知杯第2题）2,解方程：5x2+10j2—12xy—6x—4y+13=03.解关于x的方程：t'x+<x—yx—、jx=（a+1）'一二（2014大同杯第9题）\x+工.xIab+c+d=3bc+d+a=54.解方程组：《， 7c（2012新知杯第10题）cd+a+b=2da+b+c=65,解方程：＜17x2+9x+13十%'17x2一5x+13=7x6.111一十——xy+z2111+—yz+x3111一+———zx+y4解方程组：《2.3韦达定理一、例题讲解例1.已知二次函数J=X2-X+a的图像与X轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过5,则a的取值范围.（2006新知杯第4题）例2.已知a，b，c，d四个不相等的实数，满足c，d是方程X2-8ax-9b=0的两实根，a，b是x2-8ex-9d=0的两实根，求a+b+c+d.（2017大同杯第8题）例3.整数p，q满足p+q=2010，且关于x的一元二次方程67x2+px+q=0的两个根均为正整数，求p.（2010新知杯第7题）例4.已知矩形ABCD的相邻两边长为a、b，是否存在另一个矩形ABCD’使它的周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的3？证明你的结认论。（2005宇振杯第二题）例5设实数a,b满足a2（b2+1）+b（b+2a）=40，a（b+1）+b=8，求—+1-的值.（2014a2b2全国数学联赛第三题）二、练习题.在^ABC中，NC=90°,NA、NB、NC的对边顺次为a、b、c,若关于x的方程c。+1)-2V2bx-a(x2-1)=0的两根平方和为10,求-的值.(2007新知杯第3题)a.已知关于x的方程x4+2x3+(3+kb2+(2+k%+2k=0有实根，并且所有实根的乘积为一，求所有实根的平方和.(2009新知杯第4题)3设a，b是方程x2+68x+1=0的两个根，c，d是方程x2-86x+1=0的两个根，求(a+c)V?+c)Q-d)b-d)的值.(2009新知杯第6题).已知a,b,c,d四个不相等的实数，满足a,b是x2-10cx-11d=0的两实根，c,d是方程x2-10ax-11b=0的两实根，求a+b+c+d.(2017大同杯静安区初赛第9题).设二次函数J=x2+bx—c的图象过两点P(1,a),Q(2,10a)且与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C.如果关于x的方程x2+bx-c=0的两个根都是整数，求4ABC的面积.(2010全国数学联赛第二试第三题)

2.4单元测试二2.4单元测试二、填空题x+x+x=a;1231TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"x+x+x=a;

2 3 4 2\o"CurrentDocument".实数x,x,x,x,x满足方程组1x+x+x=a;其中a,a,a,a,a是实常数且12345 3 4 5 3 12345\o"CurrentDocument"x+x+x=a;

4 5 14x+x+x=a.5125a>a>a>a>a用“<”号连接x,x,x,x,x:1 2 3 4 5 12345.如果方程x2+px+1=0(p>0)的两根之差等于1,那么p=xy yz zx 1 1 1.如果 =1， =2， =3，那么—I 1—=x+y y+z z+x x y z.实数x，y满足x>y>1，且2x2—xy—5x+y+4=0，贝口x+y=.已知x、y是正整数，并且xy+x+y=23，x2y+xy2=120，贝Qx2+y2=.在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x—3和y=kx+k的交点为整数时，k可以取的值有个xy x7若实数x、y满足=+$=1，e+, …15 ，15、则这样的有序数对(a,b)共有.已知a,则这样的有序数对(a,b)共有Va\b三、解答题[a+b=8.已知a,b,c满足方程组：1 ,求方程bx2+ex—a=0的根.Iab—c2+8\,-'2e=48.设关于x的二次方程C2—6k+8)x2+6k2—6k—4)x+k2=4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k的值.

已知实数、.已知a是正整数，如果关于x的方程x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0的根都是整数，求a的值已知实数、满足3m2-2m-5=0和5n2+2n-3=0,求m--的值n3.基1本不等式一、基本概念与公式a+b、基本不等式：当a>0,b>0时，--—Nabb，当且仅当a=b时取等号.a+b文字描述：设a>0b>o则a,b的算术平均数为亍，几何平均数为、、ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．3.公式变形(1)实数a、b,a2+b2三2ab，当且仅当a=b时取等号；(2)实数a、b同号时，b十三三2,当且仅当a=b时取等号；a一(a+b)2(3)实数a、b,ab<——，当且仅当a=b时取等号；2Ja2+b2(a+b、2a2+b2(4)实数a、b, cNc a-2r，当且仅当a=b时取等号.I2)4.注意点(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”二、例题讲解例若正数、、满足 ，求 的最小可能值( 宇振杯第题),■x2 1 y23例已知、为非负实数，满足11--+.[1—3=片，求的最大值(大同杯4 4 1 162第题)例设a是给定的正实数，n是给定的大于1的整数，实数x,x,x，…,x满足123nX2+X2+X2+X2=a求123 n(X一X)2+(X—X)2+…♦+(X—X)2+(X—X)2+…♦+(X—X)2+…♦+(X—X)2的最12 13 1n 23 2n n-1n大值.(201大5同杯第8题)例如图，在△ 中，/ °,四边形是一个边长为的正方形，且（）求关于的函数关系式（）当取何值时，取得最大值？并求出点在边例如图，在△ 中，/ °,四边形是一个边长为的正方形，且（）求关于的函数关系式（）当取何值时，取得最大值？并求出点在边的最大值.（上，点、在边0新7知杯第二题）上，三、练习题已知X>0,y>0,且2x+y=1，求J+：的最小值..设〃>b>0，求a2+土+七的最小值.111.已知/BAC=90°,四边形ADEF是正方形且边长为1,求 +—+—的最大值.ABBCCA（2013新知杯第9题）11若正数，满足ab=1,求M=--+---的最小值（ 全国数学联赛第二试1+a1+2b组第一题）“aa a , &5+b设实数a>-1,b>0,且满足ab+a+b=1，求b+2的最大值3.2函数的最值一、例题讲解例1将8个数—7,—5,—3,—2,2,4,6,13排列为a,b,jd,e,f,g,h，使得Q+b+c+d[+。+f+g+h）的值最小，求这个最小值.（2011新知杯第4题）x—1例2.已知实数x,求=1的最小值.（2017大同杯第二题）例3.已知实数x，y满足xy-x-y=1,求x2+j2的最小值.（2015全国数学联赛A组第一试第5题）例4.已知非负实数x,j,z满足x+J+z=1,求t=2盯+jz+2zx的最大值（全国数学联赛第一试第2题）二、练习题1.不等式X2+|2x-6>a对于一切实数X都成立则实数a的最大值（ 新知杯第题）全国数学联赛组第2已知实数 满足x2+xj+j2=1，求（X—y）2的最大值（全国数学联赛组第一试第4题）有两个实根1、2有两个实根1、2，若题）12的取值范围（宇振杯第4设实数x,y,z满足x+y+z=1,求则M=xy+2yz+3xz的最大值（全国数学联赛第一试第6题）3.3二次函数一、例题讲解例1.若实数a,b,c使得二次函数f（x）=ax2+bx+c当0<x<1时，恒有lf（x）l<1,求IaI+IbI+IcI的最大值.（2016大同杯第7题）例2.已知a,b,c,d为四个正的常数，则当实数x,y满足ax2+by2=1时，求cx+dy2的最小值.（2016大同杯第8题）例3.已知二次函数y=x2-x+a的图像与x轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过5，求a的取值范围.（2006新知杯第4题）例4.某学生为了描点作出函数y=ax2+bx+c（aW0）的图象，取自变量的7个值：x<x<…<x，且x-x=x-x=…二x-x，分别算出对应的y的值，列出下表:1 2 7 21 32 76xx1x2x3x4x5x6x7y51107185285407549717但由于粗心算错了其中一个y值。请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？并说明理由.（2003宇振杯第四题）二、练习题1,已知点A（—0.8,4.132）,B（1.2,—1.948）,C（2.8,—3.932）在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则当图像上的点D的横坐标x=1.8时，求它的纵坐标y的值.（2016大同杯第3题）.已知二次函数y=ax2+bx+1（a丰0）的图象的顶点在第二象限，且过点（1,0）当a—b为整数时，求ab的值（全国数学联赛组第一试第题）.已知关于正整数的二次式 为实常数.若当且仅当时，有最小值，求实数的取值范围（ 宇振杯第题）4抛物线顶点在轴上交轴于，2=2，y=ax2+bx+c，有b+2ac=0，y=x+1过点且交抛物线于另一点，求点坐标（ 大同杯徐汇区初赛第题）3.4单元测试三一、填空题.若a>0,b>0,且a+2b—2=0,贝Uab的最大值为.抛物线y=%2_(2a+1k+2a-5与x轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁，那么a的取值范围是.设a,b都是实数，函数fQ)=ax2+b(x+1)—2,若对任意实数b,方程ax2+bQ+1)-2=x有两个相异的实根，则实数a的取值范围为2x.当x>0时，则f(x)=-rq+T的最大值为 x11+x2+x4-11+x4.若x丰0,则 的最大值是x.当x+1]«6时，函数y=x|x|-2x+1的最大值是1.设X为正数，则函数y=x2-x+-的最小值是x.二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴正方向交于A,B两点，与y轴正方向交于点C.已知AB=3AAC,/CAO=30。，则c=二、解答题.直角三角形斜边为c,直角边为a、b,求证：a+b<22c..设A、B是抛物线y=2x2+4x-2上的点，原点是线段AB的中点，求A、B两点的坐标..a、b、c为实数，ac<0,且-J2a+<3b+%5c=0,证明：关于x的方程ax2+bx+c=03有大于;而小于1的根.4.如图，抛物线y=ax2+bx-3，顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，＞OB=OC=3OA.直线y=—3x+1与y轴交于点D.求NDBC-ZCBE.4.1相似三角形一、例题讲解例1.如图，在凸四边形ABCD中，已知NABC+NCDA=300°,ABxCD=BCxAD，求证:ABxCD=ACxBD.（2014大同杯第10题）例如图，在正△ABC的边BC、CA上分别有点E、F,且满足BE=CF=a,EC=FA=b(a>b)，当BF平分AE时，求a的值为.( 新知杯虹口区初赛)b例如图，梯形ABCD中，AB//CD,AC,BD相交于点O.P,Q分别是AD,BC上的点，且NZpZBq求证：OP=OQ.（ 全国数学联赛第题）二、练习题1,已知/A=90。，AB=6,AC=8,E、F在AB上且AE=2,BF=3过点E作AC的平行线交BC于D,FD的延长线交AC的延长线于G，求GF.（2013新知杯第3题）2,已知梯形ABCD中，AB//CD，/ABC=90。，BD1AD，BC=5，BD=13，求梯形ABCD的面积.（2011年新知杯第2题）

3.直角三角形斜边AB上的高CD=3,延长DC到P使得CP=2，过B作BF1AP交CD于E,交AP于F，求DE.（2013新知杯第8题）如图，在四边形ABCD中，/BAC=/BDC=900，AB=AC=<5CD=1对角线的交点为M，求DM的长（ 全国数学联赛第一试第题）4.2梅涅劳斯定理一、定理梅涅劳斯（ ）定理：一直线分别截△ 的边、、（或其延长线）于、、BD，则DCCEEABD，则DCCEEAFB二「二、例题讲解例如图，在四边形ABCD中，△ABD、ABCD、^ABC的面积之比是3：4：1,点M、N分别在AC、CD上，满足AM：ACCN：CD,且B、M、N三点共线.求证：M与N分别是AC和CD的中点例2.直角4ABC中，CK是斜边上的高，CE是NACK的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点.求证：BF//CE.三、练习题BECF1.过^ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F,交CB延长线于D,求证：-百丁+二1EAFA2在4 中，点和顺次三等分，点和顺次三等分，与，分别交于点，，求四边形与^的面积之比。3.已知△ABC的重心为G，M是BC边的中点，过G作BC边的平行线交AB边于X，交AC边于Y,且XC与GB交于点Q,YB与GC交于点P,证明：△MPQs^ABC.

4.3正、余弦定理一、定理abc.正弦定理：=——=——=2R（R为外接圆半径）sinAsinBsinC1面积公式：S=5absinC诱导公式：sin（K-o）=sina2,余弦定理：c2=a2+b2-2abcosCa^a2+b2-c2变形：cosC= 2ab二、例题讲解例1.已知△ABC中，AB=2,AC=3,点D、E在边AC、AB上，且NABD=4/DBC,NACE=4NECB,ACxBD=ABxCE，求^ABC的面积.（2017大同杯第6题）例2.在等腰直角三角形ABC中，/ACB=90o,P是AABC内一点，使得PA=11,PB=7,PC=6，求边AC的长.（2011新知杯第6题）例3.已知点P是4ABC内一点，使得/PAB=NPBC=NPCA=a.求证：1sin2a求证：1sin2a1 Vsin2A11

1

sin2B sin2C三、练习题.设P是正方形内部一点，P到顶点A、B、C的距离分别是1、2、3,求正方形的面积.2.在2.在△ABC的AC及BC边上分别取点X、XC=YB，求证：△ABC为正三角形.Y，使/ABX=ZYAC，/AYB=/BXC，13.△ABC中，NB=60°,NA=20°,求AC---.（2017大同杯徐汇区初赛第8题）BC

4.4单元测试四一、填空题如下左图，ABIIEFIICD,已知AB=20,CD=80,那么EF的值是2.如上右图，正方形2.如上右图，正方形OPQR内接于△人3二已知4AOR、ABOP和^CRQ的面积分别是S=1,1S=3和S=1,那么，正方形OPQR的边长是23.在^ABC中，已知3+c)：(c+a)：(a+b)=4:5：6,贝UsinA:sinB:sinC等于.在^ABC中，最大角NA是最小角NC的两倍，且AB=7,AC=8,则BC=.在^ABC中，已知面积S=4(a2+b2—c2),则角C的度数为.AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M、N分别在AC、CE上，使AM：AC=CN：CE=r，如果B、M和N三点共线，那么r=.如下左图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是厘米28.如上右图，在^ABC中，AB8.如上右图，在^ABC中，AB=AC=v-5,BC=2,在BC上有100个不同的点P、P、P…P，1 2 3 100过这100个点分别作△ABC的内接矩形PEFG，PEFG…1111 2222P100E100F100G100，设每个内接矩形的周长分别为L1、L2„L1OO，则LJL2+„+L、解答题在口 中，，分别是，的中点，与相交于，与交于，求

、解答题在口 中，，分别是，的中点，与相交于，与交于，求.证明余弦定理的一种四边形推广：即设凸四边形ABCD的对角线交于P,又设NAPB=9，贝Ucos9二AD2+BC2—AB2—NAPB=9，贝Ucos9二AA.过^ABC三条角平分线的交点1,作AI的垂线与AB、AC分别交于D、E,求证:△BIDs^IEC.已知^ABC中，NABC=90。，延长AC至1」点D,连结BD,若NCBD=30。，且AB=CD1，求AC的长.

5.1几何不等式与最值一、例题讲解例1.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，/MON的两边分别是射线片x（xN0）与x轴正半轴•点46,5），B（10,2）是/MON内的两个定点，点P、Q分别是/MON两边上的动点，求四边形ABQP周长的最小值（大同杯第题）例2.如图，Rt^ABC中，NC=90°,AC=4,BC=5,现点A、B分别在y轴、x轴正半轴上运动，求点C的运动轨迹的长度.（2017大同杯第3题）例3.已知面积为4的AABC的边长分别为BC=a，CA=b，AB=c，c>b,AD是/A的角平分线，点C'是点C关于直线AD的对称点，若A。BD与NABC相似，求AABC的周长的最小值。（2010新知杯第11题）

二、练习题.如图，直角三角形ABC中,AC=1,BC=2,P为斜边AB上一动点。PE±BC,PFLCA,求线段EF长的最小值.（2009新知杯第5题）BPE第五题图BPE.如图，△ABC的面积为1，点D、G、E和F分别在边AB、AC、BC上，BD<DA,DG〃BC,DE〃AC,GF〃AB,求梯形DEFG面积的最大可能值.（2017新知杯第7题）.已知^庆30的两条高分别为5和20,若第三条高也是整数，求第三条高的最大值.（2011全国初中数学联赛第2题）.两个直角梯形的斜腰与上底都等于1,且两个锐角互余，它们的面积分别为S1和S2，求证：1<S1+S2<25.2三角形的“五心”一、例题讲解例1.设^ABC的内心为I，ZA内的旁心为J,AI的延长线交三角形外接圆于K,则KI=KJ=KB=KC.（鸡爪定理）例2.设三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r，外心与内心的距离为&则d2-R2=2Rr.（欧拉定理）例 如图，在△ABC中，BC=o,CA=b,/ACB=60。，△ABD是正三角形，户是其中心，求CP的长度.（ 大同杯第题）例4.如图，H为AABC的垂心，圆O为AABC的外接圆。点E、F为以C为圆心、CH长为半径的圆与圆O的交点，D为线段EF的垂直平分线与圆O的交点。求证：（1）AC垂直平分线段HE；（2）DE=AB.二、练习题1.已知四边形ABCD的面积为2013,E为AD上一点，ABCE,AABE,ACDE的重心分别为G,G,G，求AGGG的面积为.（2013新知杯第7题）1 2 3 123已知P为等腰△ABC内一点，AB=BC,/BPC=108。，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为^ABE的内心，求/PAC的度数.（2014全国初中数学联赛填空第3题）3.设^ABC的外心，垂心分别为O,H，若B，C，H，O共圆，对于所有的△ABC，求/BAC所有可能的度数.（2013全国初中数学联赛12题）已知^ABC的三边长均为正整数，周长为35,G和I分别为△ABC的重心和内心，且/GIC=90。，求边AB的长度.（ 大同杯第1）

5.3圆幂定理与四点共圆一、例题讲解例1.设PO是边长为1的正4ABC的外接圆的一条弦，已知AB和AC的中点都在PQ上，求PQ的长.例如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线BD上一点，且满足/ECD=/ACBAC的延长线与△ABD的外接圆交于点F证明：/DFE=/AFB.（2014全国初中数学联赛第四题）C例3.如图，若C例3.如图，若PA=PA,NAPB=2NACB,AC与PB交于点D,且PB=4,PD=3,求AD.DC的值.例4.如图，已知口M与口O外切于点C,口M和口O的半径依次为r和R.直线TPQ切口M于点T口M于点T,与口O相交于点P,Q，求CQ~CP的值•（2016大同杯第9题）二、练习题已知八3为圆。的直径，AB=1,延长AB到点C,使得BC=1,CD是圆。的切线，D是切点，则AABD的面积.（大同杯第题）如图，圆O与圆O外切于点P，从圆O上点A作圆O的切线AB,B是切点，连结AP12 1 2并延长，与圆O交于点C.已知圆O、圆O的半径分别为2、1,求AC的值（大同2 1 2 AB杯第同题）3.凸四边形ABCD的对角线AC、BD交于点£,已知/庆8口=35°,/庆口8=20°,/ACB=40°,NACD=70°,求NAEB的度数.如图，在等腰AABC中AB=AC=J5,D为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点EEB的延长线与AD的延长线交于点F,求AD•AF的值（全国初中数学联赛组第三题）

5.4单元测试五、填空题不等边三角形，如果一条边长等于另两条边长的平均值，则最大边上的高于最小边上的高的比值K的取值范围是△ABC中，AB=AC,ZB的平分线交AC于D,且BC=AD+BD,则NBAC=在长为32宽为3的长方形内部最多可以不重叠地放置 个半径为1的圆如下左图，在△ABC中，AB=6,BC=3,CA=7,I为^ABC的内心，连接CI并延长交AB于点。并延长交AB于点。，记^CAI的面积为m,m△DAI的面积为n，则一二n5.如上右图在钝角5.如上右图在钝角4ABC中，BC=1,ZA=30°,D为BC中点，G为4ABC重心，若B、C为定点，当点A运动时，线段GD长度的取值范围是.已知P为等腰△ABC内一点，AB=BC,/BPC=1。8°,D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为^ABE的内心，则/PAC.已知四边形ABCD的面积为32,边AB、CD和对角线AC的长都是整数，且它们的和为16,则该四边形的边长的平方和的最小值为 .如图正方形ABCD内接于。。，点P在劣弧AB上，连结DP,交AC于点Q.若QP=QO则QC则QC的值为QA、解答题.如图，在Rt△ABC中，/C=90°,AC=6,BC=8,CD是AB边上的高，E,F分别是△ADC和^BDC的内心，连接EF交CD于点G，试求CG的长。.梯形ABCD的面积为1,上底为m,下底为n，点P、Q分别是上底和下底上的动点，假设AQ、BP交于点R,CP、DQ交于点S，则阴影部分面积的最大值是多少？的最小值的最小值..等腰Rt△ABC与等腰Rt4A1B1cl满足A1、B1、C1分别在4ABC的三条不同边上，求SABC—△~i~i-1S△ABC12.如