山东省潍坊市七贤中学2022年高三数学文联考试题含解析

山东省潍坊市七贤中学2022年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.集合，则（

）A．

B．

C． D．参考答案：B

【知识点】集合的运算A1解析：因为，所以，故选B.【思路点拨】先解出集合B,再利用集合的交集的定义计算。2.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.对于函数f(x)=x3cos3(x+)，下列说法正确的是

（

）

A．f(x)是奇函数且在（）上递减 B．f(x)是奇函数且在（）上递增C．f(x)是偶函数且在（）上递减

D．f(x)是偶函数且在（）上递增参考答案：C4.复数=（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i参考答案：C【分析】将分子、分母同时乘以1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i2用﹣1代替即可．【解答】解：=﹣2+i故选C5.已知函数f（x）=，设方程f（x）=2的根从小到大依次为x1，x2，…xn，…，n∈N*，则数列{f（xn）}的前n项和为（）A．n2 B．n2+n C．2n﹣1 D．2n+1﹣1参考答案：C考点：数列与函数的综合；分段函数的应用；数列的求和．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：作出函数f（x）=的图象，可得数列{f（xn）}从小到大依次为1，2，4，…，组成以1为首项，2为公比的等比数列，即可求出数列{f（xn）}的前n项和．解答：解：函数f（x）=的图象如图所示，x=1时，f（x）=1，x=3时，f（x）=2，x=5时，f（x）=4，所以方程f（x）=2的根从小到大依次为1，3，5，…，数列{f（xn）}从小到大依次为1，2，4，…，组成以1为首项，2为公比的等比数列，所以数列{f（xn）}的前n项和为=2n﹣1，故选：C．点评：本题考查方程根，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，正确作图，确定数列{f（xn）}从小到大依次为1，2，4，…，组成以1为首项，2为公比的等比数列是关键．6.设，且=sinx+cosx，则（

）A．0≤x≤π

B．―≤x≤

C．≤x≤

D．―≤x≤―或≤x＜参考答案：B7.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110

由附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828参照附表，得到的正确结论是（

）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．

在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”参考答案：A本题考查相关系数的概率，主要考查学生计算能力，难度较低。7.8>6.635所以由表格所给数据可得，因此选择A。8.设定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣4（x＞0），则f（x﹣2）＞0的解集为(

)A．（﹣4，0）∪（2，+∞） B．（0，2）∪（4，+∞） C．（﹣∞，0）∪（4，+∞） D．（﹣4，4）参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据已知中定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣4（x＞0），先求出f（x）＞0的解集，进而求出f（x﹣2）＞0的解集．【解答】解：∵f（x）=x2﹣4（x＞0），∴当x＞0时，若f（x）＞0，则x＞2，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，﹣x＞0，若f（x）＞0，则f（﹣x）＜0，则0＜﹣x＜2，即﹣2＜x＜0，故f（x）＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞），故f（x﹣2）＞0时，x﹣2∈（﹣2，0）∪（2，+∞），x∈（0，2）∪（4，+∞），即f（x﹣2）＞0的解集为（0，2）∪（4，+∞）．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性求出当x＜0时，f（x）＞0的解集，是解决本题的关键．9.光线通过一块玻璃，强度要损失．设光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则经过块这样的玻璃后光线强度为：，那么至少通过（

）块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下（，） A． B． C． D．参考答案：C光线经过块玻璃后，强度变为，光线经过块玻璃后，强度变为，光线经过块玻璃后，强度变为．由题意，即，两边同取对数，可得，∵，∴，∵，∴．即至少通过块玻璃，故选．10.如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．﹣6 B． C． D．2参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】先将复数化简，确定其实部和虚部，利用实部和虚部互为相反数，可求b的值．【解答】解：由题意，==∵复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数∴∴b=，故选：C．【点评】本题以复数为载体，考查复数的化简，考查复数的基本概念，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a5=10，S5=30，则+++…+=．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】设等差数列{an}的公差为d，由a5=10，S5=30，可得，解得a1，d．可得Sn，再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a5=10，S5=30，∴，解得a1=d=2．∴Sn==n（n+1），∴==．则+++…+=++…+=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知i是虚数单位，若复数，则m=______________．参考答案：113.已知函数图象与直线的交点中，距离最近两点间的距离为，那么此函数的周期是_______.参考答案：14.不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是

。参考答案：15.复数（是虚数单位）的虚部是

▲

参考答案：略16.已知抛物线：，（为参数）设为坐标原点，点在上运动，点是线段的中点，则点的轨迹普通方程为参考答案：y2=x17.若侧面积为4π的圆柱有一外接球O，当球O的体积取得最小值时，圆柱的表面积为_______.参考答案：6π【分析】设圆柱的底面圆的半径为，高为，则球的半径，由圆柱的侧面积，求得，得出，得到得最小值，进而求得圆柱的表面积.【详解】由题意，设圆柱的底面圆的半径为，高为，则球的半径.因为球体积，故最小当且仅当最小.圆柱的侧面积为，所以，所以，所以，当且仅当时，即时取“=”号，此时取最小值，所以,圆柱的表面积为.【点睛】本题主要考查了球的体积公式，以及圆柱的侧面公式的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，得出求得半径和圆柱的底面半径的关系式，求得圆柱的底面半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）袋中装有大小相同的黑球和白球共个，从中任取个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用表示取球终止时取球的总次数．（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；（Ⅱ）求随机变量的概率分布及数学期望．参考答案：（Ⅰ）6;（Ⅱ）分布列见解析,(Ⅰ)设袋中原有个白球，则从个球中任取个球都是白球的概率为…2分 由题意知，化简得．解得或（舍去）……5分 故袋中原有白球的个数为……6分

（Ⅱ）由题意，的可能取值为. ； ； ；.

所以取球次数的概率分布列为：

……………10分

所求数学期望为…12分

19.设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆上的两点，已知向量=（，），=（，），若=0且椭圆的离心率e=，短轴长为2，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】（1）依题意可求得b，进而根据离心率求得a，则椭圆方程可得．（2）先看当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=y2，根据=0代入求得x12﹣=0把点A代入椭圆方程，求得A点横坐标和纵坐标的绝对值，进而求得△AOB的面积的值；当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b与椭圆方程联立消去y，根据伟大定理求得x1+x2和x1x2的表达式代入=0中整理可求得2b2﹣k2=4代入三角形面积公式中求得求得△AOB的面积的值为定值．最后综合可得答案．【解答】解：（1）依题意知2b=2，∴b=1，e===∴a=2，c==∴椭圆的方程为（2）①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=﹣y2，∵=0∴x12﹣=0∴y12=4x12又A（x1，y1）在椭圆上，所以x12+=1∴|x1|=，|y1|=s=|x1||y1﹣y2|=1所以三角形的面积为定值．②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b消去y得（k2+4）x2+2kbx+b2﹣4=0∴x1+x2=，x1x2=，△=（2kb）2﹣4（k2+4）（b2﹣4）＞0而=0，∴x1x2+=0即x1x2+=0代入整理得2b2﹣k2=4S=|AB|===1综上三角形的面积为定值1．【点评】本题主要考查了椭圆的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．20.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为．（Ⅰ）求圆的圆心到直线的距离；（Ⅱ）设圆与直线交于点．若点的坐标为（3，），求．参考答案：解：（Ⅰ）由，可得，即圆的方程为．

由可得直线的方程为．

所以，圆的圆心到直线的距离为．

…………5分（Ⅱ）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即．

由于△．故可设是上述方程的两个实根，

所以，又直线过点，故由上式及的几何意义得．

……10分21.(本小题满分12分)已知函数，（其中），且函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线重合．（1）求实数的值；（2）记函数，是否存在最小的正常数，使得当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性．参考答案：（1），；（2）存在最小的正常数.试题分析：（1）由及可解得；（2），构造函数，则问题就是求恒成立，对求导，设极值点为，存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立.所以函数在区间和上各有一个零点，令为和，并且有在区间和上，，即；在区间上，，即。从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增。，当时，；当时，.

（10分）还有是函数的极大值，也是最大值。题目要找的，理由：

考点：1、利用导数求切线斜率及函数的单调性；2、利用导数证明不等式恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率、利用导数证明不等式恒成立问题，属于难题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)己知斜率求切即解方程；(3)巳知切线过某点(不是切点)求切点,设出切点利用求解.22.（本题满分14分）如下图（图1）等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图（图2）的一个几何体．

（1）求证：