2022-2023学年浙江省杭州市富阳重点中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年浙江省杭州市富阳重点中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若复数z满足(1+i)z=2i(i为虚数单位)，则z=(

)A.1+i B.1−i C.−1+i D.−1−i2.已知x、y是实数，则“xy=0”是“x2+y2A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.设m∈0,1，若a=lgm，b=lgm2，A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a4.函数y=xa(x≥0)和函数y=aA. B.

C. D.5.为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒.教室内每立方米空气中的含药量y(单位：mg)随时间x(单位：ℎ)的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y=(18)x−a(a为常数A.当0≤x≤0.2时，y=4x

B.当x>0.2时，y=(18)x−0.1

C.2330小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg以下

6.已知a1，a2，…，an是单位平面向量，若对任意的1≤i<j≤n(n∈N∗)，都有aA.3 B.4 C.5 D.67.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB、AC，已知以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为14，记∠ABC=θ，则sinθ−2cosθcosθ+sinA.−1 B.−2 C.0 D.18.设函数y=f(x)(x≠0)，对于任意正数x1，x2(x1≠x2)，都x23f(A.[−1,0)∪(0,1] B.(−∞,−1]∪(0，1]

C.(−∞,−1]∪[1,+∞) D.[−1,0)∪[1，+∞)二、多选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−3<x<2}，下列说法正确的是A.a<0

B.a+b+c>0

C.不等式bx+c>0的解集为{x|x>6}

D.不等式cx210.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形是(

)A. B.

C. D.11.已知a，b是单位向量，且a+b=(1,−1)，则A.|a+b|=2 B.a与b垂直

C.a与a−12.在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，(

)A.若asinB=bsinA，则△ABC为等腰三角形

B.若acosB=bcosA，则△ABC为等腰三角形

C.若a=bsinC+ccosB，则三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设a=log34，则32a14.函数y=cos(π2+x)cosx−15.“牟合方盖”是我国古代数学家构造的一个几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖(如图2).已知这个牟合方盖与正方体内切球的体积之比为4：π，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为______．16.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P以每秒π2的角速度从点A出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到B，再以每秒π3的角速度从点B沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点O，则上述过程中动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为

．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．如图，筒车的半径为4m，轴心O距离水面2m，筒车上均匀分布了12个盛水筒．已知该筒车按逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．

(1)将点P距离水面的距离z(单位：M.在水面下，z为负数)表示为时间t(单位：分钟)的函数；

(2)已知盛水筒Q与盛水筒P相邻，Q位于P的逆时针方向一侧．若盛水筒P和Q在水面上方，且距离水面的高度相等，求时间t．

18.(本小题12.0分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=a(sinC+cosC)．

(1)求A；

(2)在①a=2，②B=π3，③c=2b这三个条件中，选出其中的两个条件，使得△ABC唯一确定．并解答之．若______，______，求19.(本小题12.0分)

如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．

(1)求B；

(2)已知点D在AB边上，AD=λAB，点E在CB边上，BE=λBC，是否存在非零实数λ，使得AE20.(本小题12.0分)

已知f(log2x)=ax2−2x+1−a，a∈R．

(1)求f(x)的解析式；

(2)解关于21.(本小题12.0分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB=22,CD=2,AD=1，在等腰梯形CDEF中，EF=22,DE=5，将等腰梯形CDEF(1)求证：平面ADE⊥平面ABCD；(2)求直线BE与平面ADE所成角的正弦值．22.(本小题12.0分)

数学家发现：sinx=x−x33!+x55!−x77!+…，其中n！=1×2×3×…×n.利用该公式可以得到：当x∈(0,π2)时，sinx<x，sinx>x−x33!+x55!；…，

(1)证明：当x∈(0,π2)时，sinxx>答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】

解：由(1+i)z=2i，

得z=2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)2.【答案】A

【解析】解：由x2+y2=0，解得：x=0且y=0，

由xy=0解得：x=0或y=0，

故“xy=0”是“x2+y23.【答案】C

【解析】【分析】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用．

利用对数函数的性质求解．【解答】

解：∵0<m<1，∴0<m2<m<1，

∴lgm2<lgm<lg1=0，∴b<a<0，

又∵(lgm)2>0，4.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了指数函数和幂函数的图象，属于基础题．

分a>1和0<a<1两种情况讨论，根据指数函数和幂函数的图象和性质解答即可．【解答】

解：当a>1时，指数函数y=ax在[0,+∞)上单调递增，且其图象过定点(0,1)(凹函数)，幂函数y=xa在[0,+∞)上单调递增(凹函数)；

当0<a<1时，指数函数y=ax在[0,+∞)上单调递减，且其图象过定点(0,1)(凹函数)，幂函数y=xa在[0,+∞)上单调递增(凸函数)，5.【答案】D

【解析】解：当0≤x≤0.2时，设y=kx，则1=0.2k，

故k=5，即y=5x，故A错误；

当x>0.2时，把(0.2,1)代入y=(18)x−a，可得(18)0.2−a=1，

∴a=0.2，即y=(18)x−0.2，故B错误；

令(18)x−0.2<0.25，即(6.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了向量的综合应用，属于中档题．

由题意可知，单位向量

ai,aj的夹角θ最小时，正整数【解答】

解：依题意，设单位向量

ai,aj的夹角为θ，

因为ai⋅aj<12，

所以ai⋅7.【答案】A

【解析】解：以直角边AC，AB为直径的半圆的面积分别为：12×π×(AC2)2=π⋅(AC)28,12×π×(AB2)2=π⋅(AB)28，

由面积之比为14，得(AC)28.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，属于中档题．

先判断函数y=f(x)的奇偶性，构造函数g(x)=f(x)x3【解答】

解：函数y=f(x+1)的图象关于点(−1,0)成中心对称，故函数y=f(x)的图象关于点(0,0)成中心对称，即y=f(x)是奇函数，

记g(x)=f(x)x3,g(−x)=f(−x)(−x)3=g(x)，所以g(x)是偶函数，

对于任意正数x1，x2(x1≠x2)，都x23f(x1)−x13f(x2)x1−x2>0，

即x13x29.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查二次函数的性质与图象，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．

根据二次不等式的解集，利用韦达定理求出啊a，b，c三者的关系，再对选项进行逐项判断即可．【解答】

解：根据已知条件可知a<0−3+2=−ba−3×2=ca，可得b=a，c=−6a，

所以a+b+c=−4a>0，故A，B选项正确；

对于C选项bx+c>0，化简可得x<6，故C选项错误；

对于D选项cx2+bx+a<0，化简可得6x210.【答案】AD

【解析】解：在A中，连接AC，则AC//MN，由正方体性质得到平面MNP//平面ABC，

∴AB//平面MNP，故A成立；

B若下底面中心为O，则NO//AB，NO∩面MNP=N，

∴AB与面MNP不平行，故B不成立；

C过M作ME//AB，则E是中点，

则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交，

∴AB与面MNP不平行，故C不成立；

D连接CE，则AB//CE，NP//CD，则AB//PN，∴AB//平面MNP，故D成立．

故选：AD．

根据线面平行的判定定理和性质定理分别进行判断即可．

本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，结合线面平行的判定定理和性质定理进行证明是解决本题的关键．11.【答案】BC

【解析】解：因为a+b=(1,−1)，所以|a+b|=12+(−1)2=2，故A错误；

(a+b)2=a2+b2+2a⋅b=2，因为a，b是单位向量，

所以a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，

所以a⋅b=0，所以a⊥b，故B正确；12.【答案】ACD

【解析】解：对于A，若asinB=bsinA，则asinA=bsinB，由正弦定理可得a2=b2，即a=b，则△ABC为等腰三角形，A正确，

对于B，若acosB=bcosA，则acosA=bcosB，由正弦定理可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=π2，

则△ABC为等腰三角形或直角三角形，B错误，

对于C，若a=bsinC+ccosB，则有sinBsinC+sinCcosB=sinA，

在△ABC中，sinA=sin(π−B−C)=sin(B+C)，又sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

故sinBsinC+sinCcosB=sinBcosC+cosBsinC，则有sinBsinC=sinBcosC，

在△ABC中，sinB≠0，则sinC=cosC，即tanC=1，又C∈(0,π)，则C=π4，C正确，

对于D，若tanA+tanB+tanC<0，

则tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1−tanAtanB)+tanC=−tanC+tanC+tanAtanBtanC=tanAtanBtanC<0，

必有tanA、tanB13.【答案】16

【解析】【分析】本题考查指数幂运算，对数恒等式的运用，属于基础题．

利用指数幂的运算法则及对数恒等式求解．【解答】

解：∵a=log34，

∴32a14.【答案】π

【解析】解：由函数y=cos(π2+x)cosx−cos2x=sinxcosx−cos2x=12sin2x−1+cos2x2

=1215.【答案】83【解析】解：正方体的体积为23=8，其内切球的体积为43π⋅13=43π，

由条件可知牟合方盖的体积为43π×16.【答案】y=2sin【解析】【分析】本题考查三角函数模型的应用，考查任意角的三角函数的定义，考查三角函数值的求法，是基础题．

当P在大圆上半圆上运动时，求出∠POA，由任意角的三角函数的定义求得P的纵坐标，当点P在小圆下半圆上运动时，求出∠PO′B ，进一步求得P点纵坐标，则答案可求．【解答】

解：当P在大圆上半圆上运动时，∠POA=π2t，0≤t≤2，

由任意角的三角函数的定义，可得P的纵坐标为y=2sinπ2t，0≤t≤2；

当点P在小圆下半圆上运动时，∠PO′B =π+π3(t−2)，2<t≤5，

可得P点纵坐标为y=sin[π+π3(t−2)]=−sin[π317.【答案】解：(1)以O为原点，平行于水面向右作为x轴正方向建立平面直角坐标系，

设P(x,y)，则P距离水面的距离z=y+2，yr=sinα，α为Ox为始边，OP为终边的角，

由O到水面距离为2，半径r=4，可得∠P0Ox=π6，

由该筒车逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，可知∠P0OP=2π2×t=πt，

则α=πt−π6，则y=rsinα=4sin(πt−π6)，

故z=4sin(πt−π6)+2(t≥0)．

(2)筒车上均匀分布了12个盛水筒，

所以∠POQ=π6，

设Q(xQ,yQ)，

则yQr=sin(α+π6)，yQ=4sin(πt−π6+π6)=4sinπt，

由P【解析】(1)以O为原点，平行于水面向右作为x轴正方向建立平面直角坐标系，设P(x,y)，则P距离水面的距离z=y+2，yr=sinα，α为Ox为始边，OP为终边的角，由该筒车逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，可知∠P0OP=2π2×t=πt，即可求解．

(2)设Q(xQ,yQ18.【答案】解：(1)∵b=a(sinC+cosC)，

由正弦定理asinA=bsinB=csinC，得sinB=sinA(sinC+cosC)，

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

∴sinAcosC+cosAsinC=sinAsinC+sinAcosC，

又sinC≠0，

∴cosA=sinA，∴tanA=1，

∵0<A<π，∴A=π4；

(2)方案一：选条件①和②．

由正弦定理asinA=bsinB，得b=asinBsinA=2×3222=6．

由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，得6=4+c2−2×2c×12，

解得c=3+1，

∴△ABC的面积S=12acsinB=12×2(3+1)×32=3+32．

方案二：选条件①【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的应用，属于中档题．

(1)由已知结合正弦定理进行化简可求A；

(2)分别选取条件，结合正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式即可求解．19.【答案】解：(1)根据题意，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°，

则AB2=CA2+CB2−2CA×CB×cos60°=3，则AB=3，

cosB=AB2+BC2−AC22AB×BC=32，则B=30°，

(2)根据题意，假设存在非零实数λ，使得AE⊥CD，

由(1)的结论，CA=1，CB=2，AB=3，

易得∠CAB=90°【解析】(1)根据题意，由余弦定理求出AB的值，进而由余弦定理分析可得答案；

(2)根据题意，假设存在非零实数λ，使得AE⊥CD，用AC和AB表示向量AE和CD，由数量积的计算公式可得关于λ的方程，解可得答案．20.【答案】解：(1)令log2x=t即x=2t，则f(t)=a⋅(2t)2−2⋅2t+1−a

即f(x)=a⋅22x−2⋅2x+1−a，x∈R

(2)由f(x)=(a−1)⋅4x得：a⋅22x−2【解析】(1)由解析式令log2x=t即x=2t，代入解析式化简求出f(t)，将t化为x可得f(x)的解析式；

(2)由(1)化简f(x)=(a−1)⋅21.【答案】解：(1)证明：∵E在平面ABCD上的射影为A，

∴AE⊥平面ABCD；又AE⊂平面ADE，

∴平面ADE⊥平面ABCD．

(2)解：由(1)知平面ADE⊥平面ABCD．

分别延长AD，BC交于点G，连接EG，

∵AB=22，CD=2，AD=1，

过C，D分别作BA的垂线，可得MN=CD=2，

由等腰梯形AM=BN=22，又∵AD=BC=1，

∴∠BAD=45°，∠ABC=45°，∴∠AGB=90°，

∴AG⊥BG．

又∵平面ADE∩平面ABCD=AD，平面ADE⊥平面ABCD，∴BG⊥平面A