几何模型：一线三等角模型

--可修遍-一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。不同的称呼，二.一线三等角的分类全等篇DCC相似篇异侧

全等篇DCC相似篇异侧三、“一线三等角”的性质1.一般情况下，如图3-1,由乙1=乙2=乙3,易得△AECs^BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图3-1,若CE=ED,|^AEC^^BDE..中点型“一线三等角”如图3-2,当/1=/2=/3,且D是BC中点时，△BDEsaCFDsaDFE..“中点型一线三等角“的变式（了解）如图3-3,如图3-3,当/1=/2且/BOC=90。+；/BAC时，点O是△ABC的心.可以考虑构造“一线三等角”.图3-3 图3-4*J如图3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的心或旁心相关，/BOC=90。+1/BAC这是心的性质，反之未必是心.在图3-4（右图）中，如果延长BE与CF,交于点P,则点D是△PEF的旁心..“一线三等角”的各种变式（图3-5,以等腰三角形为例进行说明）图3-5其实这个第4图，延长DC反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；出图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题;画图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题..在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的角问题，在x轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段..构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似雨3-6坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角

当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C、D两点作直线l的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握.解题示例1如图所示，一次函数y=—X+4与坐标轴分别交于A、B两点，点P是线段AB上一个动点（不包括A、B两端点），C是线段OB上一点，乙OPC=45°,若△OPC是等腰三角形,求点P的坐标.例2如图所示，四边形ABCD中，乙C=90°/ABD=/DBC=22.5°,AE1BC例2如图所示，四边形ABCDADE=67.5°,AB=6,则CE=.例3如图，四边形ABCDtf,zABC=zBAD=90°,zACD=45°,AB=3,AD=5.JBC的长.jt-2例4如图，4ABC中/BAC=45°,AD1BC,BD=2,CD=3,求AD的长.一线三等角，补形最重要，构勤思考，外构更精妙.找出相似形，比例不能少.巧设未知数，妙解方程好还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造ian(aian(ai用 /例5如图，在△ABC中，乙BAC=135°,AC=旦AB,AD1AC交BC于点口，若AD=,2,求4ABC的面积当然有45°或135°等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种大练身手：】.大练身手：】.如图，AARC中,taii4CD=L/月=90°,=m匚=4.求月D的长.2如图，△月EC中，/E=90口,ZCAD=45a,AB=3tCD=5r求HD的长3.如图，在四边形ABCQ中，ZBAD=ZACB=ZACD=4^tAC=4,求△BCD的局长.5.如图，在用ZAC^30a,D月平分①若/8£=60口，％二4后求3的长.，如图，在等腰直甭三角形儿0口中，^BAC=90^,。为儿0」一点，连接CD,尸为8上一点,NBFA45；若CFF,AA8的面积为18,则线段DB的长为&如图，AA0C*11-/皿C=90*、AB=班，点口在HC边上、BC=42CD,DE±BC1-1,,DE=DCDE交HC辿与白FtEF=在，则AC的长为 .9.即图，在平面直角坐标系中.点且（4,0）,点他2。｝点C在第一象限礼若△出。为等边三角眩则於C的坐标为]10.矩形期CD在直角坐标系的位置如图所示，点而⑼点C（0,5）,反比例函数片:的图像交边池、ECTD.自两点一旦上。口因=45。，则卜.1L如图，直线y=2x-4交坐标轴叮£日两点,交期曲线了=#（武0）」二点C,11%妙=射点F在点C的右侧的双曲线上，ZPBC=45q,则点P的坐标为.

12,花中一2隹,^^=45'以.点以为|1用顶点作等腰直增小金口£,点口在白白上，点£生水？上,若既=石,则CD的长为 ^.如图，直角△WBC1中，ZC=90n,JC=6,5C=S,口是斜边的中点，内为EC上动点,口产,川后于点H连接。用署△DEF是等展宜用工角形，求DEW氏度..在中,ZB=45".2C=30，.点D是EC上•点.连接加，匕点./■｛乍^G_L，Z>,在RG上取点产，连接基汽延长口R至瓦使dEr/H连接EGiDGtt：G£=DF.(1)若AR=?近4R—A求改7的长；6)如图1，'"［点G在RCI:时，求iEBD=^CG.(3)如图2,节点。在片匚的垂直平分线I:时，直接U出'正的值.例7：在平面直角坐标系中，已知点A(1,0),B(0,3),C(一3,0),口是线段人8上一点，CD交y轴于E，且SM2S△a(1)求直线人8的解析式;(2)求点口的坐标，猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由;(3)若F为射线(3)若F为射线CD上一点，且/DBF=45°,求点尸的坐标.例8：如图，直线y=x+2与y轴交于点C,与抛物线y=ax2交于A、B两点(A在B的左侧)，BC=2AC,点P是抛物线上一点.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值；(3)若点P在直线AB的上方，且/BPC=45°，求所有满足条件的点P的坐标.yy练1：.如图，抛物线的顶点为C(一1,一1),且经过点4点8和坐标原点0,点8的横坐标为－3．(1)求抛物线的解析式；(2)若点口为抛物线上的一点，且△8。口的面积等于△BOC的面积，请直接写出点口的坐标；(3)若点E的坐标为(0,2),点P是线段8以的一个动点，是否存在点P,使得乙OPE=45°?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.课后作业：如图，点A(0,-1),B(3,0),P为直线旷=-x+5上一点，若乙APB=45°,求点P的坐标在四边形ABCD中，乙ABC=/BAD=90°,乙ACD=45°,AB=3,AD=4,求AC的长.如图，正方形ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上，△EFG为等边三角形，求证：BE+GC=、：3BC如图，△ABC.△DBA,且AC=RBC,求证:CD=2AB.如图，在四边形ABCD中，乙ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5<5，求8口的长如图，点人是反比例（X>0）图形上一点，点B是X轴正半轴上一点，点C的坐标为（0,2）,点△ABC是等边三角形时，求点人的坐标.抛物税P=——4h+3抛物税P=——4h+3与坐标轴交于「且、及U三总，.白尸在抛物线上.PE_L3c于点£若#£=23.求产点坐标*如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,直线1：y=_；x+m经过点人，与抛物线交于另一点口（5,一7）,点P是直线1上方的抛物线上的动点，连接PC、PD（1）求抛物线的解析式；（2）当^PCD为直角三角形时，求点P的坐标；（3）设△PCD的面积为S,请你探究：使$的值为整数的点P共有几个，说明理由.4 221.如图1,已知直线y=kx与抛物费=-27%2+y交于点人(3,6).(1)求直线y=kx的解析式和线段0A的长度；(2)点P为抛物线第一象限的动点，过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交丫轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值力果不是，说明理由；(3)如图2,若点8为抛物线上对称