专题2.7 直线与圆的位置关系【九大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

专题2.7直线与圆的位置关系【九大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1直线与圆的位置关系的判定】 2【题型2根据直线与圆的位置关系求参数】 2【题型3圆的切线长及切线方程的求解】 3【题型4已知切线求参数】 3【题型5求圆的弦长与中点弦】 4【题型6已知圆的弦长求方程或参数】 5【题型7直线与部分圆的相交问题】 5【题型8直线与圆有关的最值问题】 7【题型9直线与圆的方程的应用】 7【知识点1直线与圆的位置关系及判定】1．直线与圆的位置关系及判定方法(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：位置相交相切相离交点个数两个一个零个图形d与r的关系d<rd=rd>r方程组

解的情况有两组不

同的解仅有一组解无解(2)直线与圆的位置关系的判定方法

①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.

②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.【题型1直线与圆的位置关系的判定】【例1】（2023·全国·高三专题练习）直线l:x+my+1-m=0与圆C:x-12+yA．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【变式1-1】（2023秋·高二课时练习）M(x0,y0)A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交【变式1-2】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为8cm，则直线l与⊙O的位置关系是（A．相交 B．相离C．相切 D．以上均不对【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知曲线C:x2+y2-6yA．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【题型2根据直线与圆的位置关系求参数】【例2】（2023·全国·高三专题练习）设平面直线y=x+b与圆x2A．-12,12 B．-1,1【变式2-1】（2023·北京·高三专题练习）若直线x-y+1=0与圆x2+A．2 B．1 C．2 D．4【变式2-2】（2023·广东茂名·统考二模）已知直线l:y=kx与圆C:x-22+y-12=1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l:mx+ny=1与圆OA．14 B．12 C．1 D【知识点2圆的切线及切线方程】1．圆的切线及切线方程(1)自一点引圆的切线的条数：

①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

(2)求过圆上的一点的圆的切线方程：

①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.②重要结论：a.经过圆上一点P的切线方程为.

b.经过圆上一点P的切线方程为.

c.经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为.【题型3圆的切线长及切线方程的求解】【例3】（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）过圆x2+y2-A．2x-yC．2x+y【变式3-1】（2023春·陕西咸阳·高二统考期末）设O为原点，点P在圆C:(x-2)2+(yA．2 B．23 C．13 D．【变式3-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）过点0,-2与圆x2+y2-4xA．14 B．154 C．-1【变式3-3】（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知点P在圆C:x-a2+y2=a2a>0．上，点A．x=0或7x+24y-C．x=1或24x-7y【题型4已知切线求参数】【例4】（2023春·广东江门·高二统考期末）若直线x-y+3=0与圆x2+A．9 B．8 C．7 D．6【变式4-1】（2023·全国·高三对口高考）“b=2”是“直线y=x+b与圆A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式4-2】（2023秋·四川雅安·高二统考期末）过点P（2，1）的直线l与坐标轴的正半轴交于A，B两点，当三角形OAB的面积最小时直线l与圆x+12+y-A．﹣1或4 B．1或6 C．0或5 D．2或7【变式4-3】（2023春·江西·高二校联考阶段练习）已知圆O:x2+y2=4，直线l的方程为x-y+m=0，若在直线l上存在点P，过点P作圆A．-∞,-4∪C．-4,4 D．【知识点3圆的弦长】1．圆的弦长问题设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：

(1)几何法

如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.(2)代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.【题型5求圆的弦长与中点弦】【例5】（2023春·贵州遵义·高二统考期中）已知直线l:x-2y+3=0与圆C:A．1655 B．855 C．【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知圆C：x2+y2-4x+8yA．25 B．5 C．10 D．【变式5-2】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知直线l与圆C:x-12+y2=9相交于A,B两点,弦A．x+2y+4=0 B．x+2y-【变式5-3】（2023·北京·高三专题练习）已知直线y+1=m(x-2)与圆(x-1)2+A．5 B．25 C．4 D．【题型6已知圆的弦长求方程或参数】【例6】（2023春·贵州·高二校联考期中）已知直线l：x-ky-5=0与圆O：x2+y2=10交于AA．0 B．±1 C．±2 D．±3【变式6-1】（2023·广西玉林·博白县模拟预测）已知圆C：x2+y2=4，直线L：y=kx+m，则当kA．±2 B．±2 C．±3 D【变式6-2】（2023秋·高二课时练习）与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且在直线y=A．(B．(C．(x+3)D．(x+3)【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）直线y=kx+2与圆(x-2)2+(A．-34,34 B．-3【题型7直线与部分圆的相交问题】【例7】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考开学考试）已知曲线y=1-x2与直线y=kA．(12,34) B．0,【变式7-1】（2023·北京海淀·高三专题练习）已知直线l:x+y+t=0，曲线C:y=4-x2，则A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式7-2】（2023春·江西宜春·高二校联考期中）若过点P(2,4)且斜率为k的直线l与曲线y=4-x2有且只有一个交点，则实数A．34 B．45 C．43【变式7-3】（2023春·全国·高二开学考试）直线y=2x+m与曲线y=A．-4,4 B．4,25 C．-2【知识点4解与圆有关的最值问题】1．解与圆有关的最值问题(1)利用圆的几何性质求最值的问题

求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.

①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离；②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题

解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.

①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.【题型8直线与圆有关的最值问题】【例8】（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圆O:x2+y2=1，直线3x+4y-10=0上动点A．1 B．2 C．3 D．2【变式8-1】（2023春·北京东城·高三校考阶段练习）已知圆C:x2+y2-2x=0，过直线l:A．22 B．2 C．322【变式8-2】（2023春·四川泸州·高二校考阶段练习）已知圆C:x-42+y-132=4，过直线A．3 B．5 C．25 D．【变式8-3】（2023秋·山西晋城·高二校考期末）已知点P是圆x-12+y-62=425上的点，点QA．7 B．335 C．6 D．【知识点5与圆有关的对称问题】1．直线与圆的方程的应用(1)解决实际问题的步骤：①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据；②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程；③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解；④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释.(2)建系原则

建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则：

①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴.

②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上.【题型9直线与圆的方程的应用】【例9】（2023春·上海静安·高二校考期中）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度AB=20米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱A2(1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程;(2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）．【变式9-1】（2023秋·湖北·高二校联考期末）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛402千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B(1)求圆C的标准方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东60°行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【变式9-2】（2023秋·云南丽江·高二统考期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向22km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；(2)某日经观测发现，在该平台O正南10kmC处，有一艘轮船正以每小时87km的速度沿北偏东45°【变式9-3】（2023春·上海浦东新·高二校考阶段练习）在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了