冀教版八年级数学上册 （三角形的尺规作图）课件

三角形的尺规作图第十三章全等三角形

学习目标1.了解尺规作图的概念，会用尺规作图法作线段和角.2.熟悉尺规作图的步骤并能熟练运用作图语言.3.以三角形全等的判定方法为基础，利用尺规作三角形.(重点）导入新课复习引入1.如图，已知线段a，b.求作：线段c，使线段c的长度为线段a，b长度的和.2.如图，已知∠1.求作：∠2，使∠2=2∠1.讲授新课用尺规作三角形尺规作图

只用直尺（没有刻度）和圆规也可以画出一些图形，这种画图方法被称为尺规作图.

由三角形全等判定可以知道，每一种判定两个三角形全等的条件（_____，_____，_____，_____），都只能作出唯一的三角形.SSSSASASAAAS问题

如图，已知线段a，b，c.求作：△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b.abc分析：由作一条线段等于已知线段，能够作出边AB，即A，B两点确定，而BC=a，AC=b，故以点A为圆心，b为半径画弧长，以点B为圆心，a为半径画弧，两弧的交点就是点C.作法：第一步：作线段AB等于c；第二步：以点A为圆心，以b为半径画弧长；第三步：以点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于点C；第四步：连接AC，BC，△ABC即为所求.cBAcBAbcBAbacBAbaC典例精析例1

如图，已知线段a，b（a>b），∠α.求作：△ABC，使得∠A=∠α，AB=a，BC=b.提示

作出符合要求的三角形，关键是根据条件确定三角形的三个顶点的位置.解题时候要根据实际情况判断是否存在多个符合题设条件的△ABC.abα作法：（3）以点B为圆心，线段b为半径画弧，弧与∠A的另一边有两个交点，即图中的C，C'，分别连接BC，BC'，得到△ABC和△ABC'，它们都是所求作的三角形.（1）作∠A，使∠A=∠α；（2）在∠A的一边上截取AB，使AB=a；αABabbCC'

例2

已知：线段a，b，c，如图所示.求作：△ABC，使得AB=a，AC=b且BC边上的中线AD=c.在作较复杂的三角形时，先画草图，从中找出一个较容易作出的三角形，然后以它为基础作所求作的三角形就比较方便了.注意abc作法：（4）连接AC，△ABC即为所求.（1）以a，b，2c为三边作△ABC，使得AB=a，BE=b，AE=2c；（2）取AE的中点D；（3）连接BD，并延长BD到点C，使DC=BD；ABEDC当堂练习1.下列条件能作一个唯一三角形的是_________（填序号）.①∠A=65°，∠B=45°，∠C=90°；②∠A=60°，∠B=60°，∠C=60°；③AB=4cm，BC=3cm，AC=5cm；④AB=2cm，BC=5cm，AC=3cm；③2.如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作三角形，使所作出的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以作出（）A.2个B.4个C.6个D.1个ACBEDB3.已知线段b，∠β，如图所示.求作：△ABC，使得BC=b，∠B=∠C=∠β.bβ作法：（1）作线段BC=b；（2）以B为顶点，射线BC为一边，作∠MBC=∠β；bCBβ（3）以C为顶点，射线CB为一边，在BC同侧作∠NCB=∠β；射线BM，CN交于点A，则△ABC就是所求作的△ABC.βA课堂小结

三角形的尺规作图①已知三边作三角形②已知两边及其夹角作三角形③已知两角及其夹边作三角形④已知两角和其中一角的对边作三角形第十六章

轴对称和中心对称线段的垂直平分线第1课时

知识回顾1.什么叫做线段的垂直平分线？2.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.线段是轴对称图形，对称轴是它的垂直平分线或者说中垂线.情景导入如图所示,木条l与AB钉在一起,l垂直平分AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到A与B的距离,你有什么发现?获取新知知识点线段垂直平分线的性质1ABlP1P2P31.画出线段AB的中垂线l，垂足为C；在l上任取一点P1，连结P1A、P1B；量一量P1A、P1B的长，你能发现什么？在l上任取一点P2，P2A、P2B的长呢？在l上任取一点P3，P3A、P3B的长呢？2.沿直线l对折线段AB，使端点Ａ与端点Ｂ重合，再次观察上述线段的关系.①用对称的知识说明.如图,直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上.求证：PA=PB.ABPCl②用全等的知识进行推理.证明：∵l⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB=90°.又AC=CB,PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS).

∴PA=PB.线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.几何语言：∵直线l垂直平分AB，点P在直线l上，∴PA=PB.BAOPMN温馨提示：这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方法.今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等,同时这也可当作等腰三角形的一种判定方法.归纳例1如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D，(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；(2)若BC＝4，求△BCD的周长．分析：由DE是AB的垂直平分线，得AD＝BD，所以BD与CD的长度和等于AC的长，所以由△BCD的周长可求BC的长，同样由BC的长也可求△BCD的周长．

例题讲解解：

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.(1)∵△BCD的周长为8，∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.(2)∵BC＝4，∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.【名师点睛】本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC的长．本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，已知两个即可求得第三个．

解：AB=AC=CE;AB+BD=DE.理由如下：

∵AD⊥BC，BD=DC，

∴AD

是BC

的垂直平分线，

∴AB=AC．∵点C

在AE的垂直平分线上，

∴AB=CE．∴AB=AC=CE．∵BD=DC，∴AB+BD=CE+DC=DE.变式练习1

如图，AD⊥BC，BD=DC，点C

在AE

的垂直平分线上，AB，AC，CE

的长度有什么关系？AB+BD与DE

有什么关系？ABCDE变式练习2如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.

解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；(2)先根据线段垂直平分线的性质得出出AB＝BF，再结合（1）即可解答．证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.知识点线段垂直平分线性质定理的应用2例2

已知：如图，点A，B是直线l外任意两点，在直线l上，试确定一点P，使得AP+BP最短.lAB解：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B,交直线l于点P，则AP+BP最短.A'PlABA'P由作图可知，l是AA'的中垂线理由如下：在l上另取一点M，连接MA,MB,MA'∴AP=A'P,AM=A'M（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）∴AP+BP=A'P+BP=A'BAM+BM=A'M+BM由“两点之间线段最短”可得A'B＜A'M+BM即AP+BP最短M变式练习3

如图，已知牧马人营地在M处，每天牧马人好先赶马群到河边饮水，再到草地上吃草，最后回到营地，试着设计出最短的的木马路线？营地M草地河M'M''（2）若A、B两点在直线的同侧，作其中一个点关于直线的对称点，化同侧为两侧，化折线段为一条直线段；求线段和最短问题的实质：（3）最后利用“两点之间线段最短”加以解决.（1）若A、B两点在直线两侧，直接连接A、B两点，直线段最短；随堂演练1.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(

)

A．AB＝ADB．CA平分∠BCDC．AB＝BDD．△BEC≌△DECC2.如图，线段AC的垂直平分线交线

段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝(

)A．50°B．100°C．120°D．130°B2.如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大小关系是(

)A．AM>CMB．AM＝CMC．AM<CMD．无法确定B3.如图所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,△BCE的周长等于18cm,则AC的长是

.ABCDE10cm4.如图，在△ABC

中，BC=8，AB的中垂线交BC

于D，AC

的中垂线交BC

与E，则△ADE的周长等于_________．ABCDE8cm5.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，点A、B到河边的距离分别为AC、BD且AC=BD，点A、B到CD的中点的距离均为500m.牧童从A出把牛牵到河边饮水后再回家，请你设计出最短路线.