北师大版九年级数学下册 （圆周角和圆心角的关系）圆教育教学课件(第1课时)

第三章圆圆周角和圆心角的关系第1课时

情景导入当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC,仅从射门角度大小考虑，谁相对于球门的角度更好呢？新知讲解BCDEA图中的三个张角∠ABC、∠ADC和∠AEC的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？

顶点在☉O上，角的两边分别与☉O相交.试着给这样的角下个定义.新知讲解.OBCA特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.练一练判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。不是不是是不是不是图１图２图３图４图５做一做

BOA议一议：在图中改变∠AOB

的度数，你能得到的结论还成立吗？ACBO（1）∠ACB、∠ADB和∠AEB这几个圆周角相等.DE（2）这些圆周角=圆心角=∠AOB做一做猜想圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半

●OABCD新知讲解圆心O在∠ABC的内部圆心O在∠ABC的一边上圆心O在∠ABC的外部圆心O与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论.ABC●O●

OABCAC●OB动手探究解:∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，ABC∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.

即∠ABC=∠AOC.你能写出这个命题吗?圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.●O新知讲解提示:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:你能写出这个命题吗?圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半●

OABCD如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,∴∠ABC=∠AOC.新知讲解提示:能否也转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:你能写出这个命题吗?圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.DABC3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,∴∠ABC=∠AOC.●O归纳圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.想一想在上面的射门游戏中，当球员在B，D，E

处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC

的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？BCDEA所以∠ABC

=∠ADC=∠AEC.根据圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等.O

方法点拨【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.典例精析例、如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？ACBO

练一练如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，求∠BAF的度数.

课堂练习AOCB1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC=70°，则∠AOC的度数等于（）A.140°B.130°C.120°D.110°2.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为（）A.84°B.60°C.36°D.24°AD课堂练习3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,则∠AOB=

．4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠B＝30°，AC＝2，则⊙O的半径是

.BACO166°2课堂练习

ABCDE课堂练习ABCDE∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD.(2)∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，

解:(1)BD=CD.理由是:连接AD,作业布置1.课本第81页习题3.4第1、2、4题2.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ADB=

.DAOCB课堂小结(1)概念（圆周角）；(2)定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半；(3)推论：同圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等.

相等的圆周角所对的弧相等；圆周角和圆心角的关系第三章圆圆周角和圆心角的关系第2课时

问题导入1.什么是圆周角？

特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.

顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.●OBACDE2.什么是圆周角定理？

圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.新知讲解BCOA如图，BC

是⊙O

的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？新知讲解如图，圆周角∠A=90°，弦BC

是直径吗？为什么？∴∠BOC=2∠A=180°，∴弦BC

是直径.BCOA归纳总结推论直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.典例精析例、如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上一点，∠B=30°，求AC的长.

点拨解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.

练一练如图所示，已知经过原点的⊙P

与x

轴、y

轴分别交于A，B

两点，点C

是弧AB

上一点，则∠ACB

的度数是（）80°B.90°C.100°D.无法确定B议一议BCODA（1）如图，A，B，C，D

是⊙O

上的四点，AC为⊙O

的直径，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？∴∠BAD=∠BCD=90°.

∵直径所对的圆周角是直角.∴∠BAD+∠BCD=180°.新知讲解（2）如图，点C

的位置发生了变化，∠BAD与BCD之间关系还成立吗？为什么？∠BAD+∠BCD=180°还成立.BCODA

12新知讲解BCODABCODA在上面两图中，四边形ABCD

的四个顶点都在⊙O

上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.归纳圆内接四边形的对角互补.推论想一想如图，∠DCE

是圆内接四边形ABCD

的一个外角，∠A

与∠DCE

的大小有什么关系？BCODAE根据圆内接四边形的对角互补，∠A+∠BCD=180°.

又∠BCD+∠DCE=180°.∴∠A=∠DCE.练一练1.如图,在圆内接四边形ABCD中,∠A∶∠C=1∶2,则∠A的度数等于(

)A.30° B.45°

C.60° D.80°2.如图,已知四边形ABCD内接于半径为4的☉O中,且∠C=2∠A,则BD=

.

C典例精析例、在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.OABDC解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°∴∠A=180°-∠C=50°（圆内接四边形对角互补）变式训练已知∠OAB等于40°,求∠C

的度数.解：延长AO至D，交圆于点D，连接BD∴∠ABD=90°∵∠OAB=40°∴∠ADB=50°∴∠C=180°-50°=130°AODBC归纳1.已知直径时，常添加辅助线构造直角三角形，即“见直径想

直角”．题目中遇到直径时要考虑直径所对的圆周角为90°，

遇到90°的圆周角时要考虑直角所对的弦为直径，这是圆中

作辅助线的常用方法．2.在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推论进行

两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之

间的转化，二是将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等

的问题.课堂练习

DC课堂练习3.

如图,AB是☉O的直径,C是☉O上的一点.若BC=3,AB=5,OD⊥BC于点D,则OD的长为

.4.如图,四边形ABCD是平行四边形,☉O经过点A,C,D,与BC交于点E