全国高考数学复习微专题：定积分

定积分一、基础知识1、相关术语：对于定积分Jbf(X)dxa(1)a,b:称为积分上下限，其中a≥b(2)f(X):称为被积函数(3)dx:称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：Jb(X2+tXIZX中的被积函数为f(X)=X2+tx，而Jb(X2+txIzt的被积函数为af(t)=Xt+X2a2、定积分Jbf(X)dx的几何意义：表示函数f(X)与X轴，X=a,X=b围成的面积(X轴a上方部分为正，X轴下方部分为负)和，所以只有当f(X)图像在［a,b］完全位于X轴上方时，Jbf(X)dx才表示面积。Jb∣f(X)MX可表示数f(X)与X轴，X=a,X=b围成的面积aa的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种:(1)微积分基本定理：如果f(X)是区间［a,b］上的连续函数，并且F(X)=f(X)，那么Jbf(x)dx=F(X)Ib=F(b)-F(a)aa使用微积分基本定理，关键是能够找到以f(X)为导函数的原函数F(X)。所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：f(X)=Cf'(X)=0f(X)=Xaf'(X)=aXα-1f(X)=sinXf'(X)=cosXf(X)=cosXf'(X)=-sinXf(X)=aXf'(X)=aχlnaf(X)=βXf'(X)=€xf(X)=logXaf'(X)=-ɪ-Xlnaf(X)=lnxf,(X)=1X①寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数

例如：f(X)=X3，则判断属于幕函数类型，原函数应含X4，但Q)=4X3，而f(X)=X3，，所以原函数为FG)=1X4+C(C为常数)4②如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数C,例如f(X)=2X,则F(X)=X2+C，但在使用微积分基本定理时，会发现F(b)-F(a)计算时会消去C，所以求定积分时，F(x)不需加上常数。(2)利用定积分的几何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意曲边梯形若位于X轴的下方，则面积与所求定积分互为相反数。4、定积分的运算性质：假设Jbf(X)dX,∫bgG)dX存在a(1)Jbkf(X)dX=kJbf(X)dXaaa作用：求定积分时可将f(X)的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化f(X)的复杂程度(2)Jbf(x)±g(X)]dX=Jbf(X)dX±Jbg(X)dXa a a作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如J2(x2+X+1)dx=J2x2dx+J2xdx+J2Idx1 1 1 1(3)Jbf(x)dx=Jcf(x)dx+Jbf(x)dx，其中a<c<ba a c作用：当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆分，分别求解。5、若f(X)具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化定积分的计算(1)若f(X)为奇函数(2)若f(X)为偶函数则Jaf(X∖ix=0(a>0)—a贝UJaf(X›dlx=Jaf(X)dx(a>0)，，—a06、利用定积分求曲面梯形面积的步骤:(1)通过作图确定所求面积的区域(2)确定围成区域中上，下曲线对应的函数f(x),g(x)(3)若X∈[a,b]时，始终有f(x)≥g(X),则该处面积为Jb[f(X)-g(x)]dxa7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。需分段通常有两种情况（1）构成曲面梯形的函数发生变化（2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写成“上方曲线的函数-下方曲线函数”的形式。所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位置发生过变化，则也需将两部分分开来写。、典型例题:(X+1)2,-1≤X≤0<例1：已知函数f（Q=12思路：f(X)在[-1,0],(0,1]VI-X2,0<X≤13兀+4B.一123兀-4D. 12的解析式不同所以求定积分时要“依不同而分段”:J1f(X)dX=J0(X+1)2dX+J1√1-X2dX，-1-1而J0(X+1)2dX―3(X+1)2∣013，对于3兀-8A.一0，(),4+兀C4J1√1-X2dX无法找到原函数，从而考虑其几何意义：y=√1-X2nX2+y2=1(y>0)，0J1√1-X2dX为单位圆面积的乙，即J1GI-X2dX——,所以J1f(X)dX=ɪ+ɪ=4+"0 4''0 4' -J 3 4 12答案：B小炼有话说：（1）若被积函数在不同区间解析式不同时，则要考虑将定积分按不同区间进行拆分（2）若被积函数具备“*「”特征，在无法直接找到原函数时，可考虑其图像的几何意义，运用面积求得定积分，但是要注意判定与定积分符号是否与面积相同工cos2X1例2：J4 :-dX=0cosX+sinXA.2-1)()B,”+1C.\；2-1D.2-\/2思路：被积函数无法直接找到原函数，但是可以进行化简。ωcos2X cos2X-sin2X .= = =cosX-SmX，所以:"cosX+sinX cosX+sinXJKCOSX-sinX)dX0答案：C(Si )iɪ2ISlnX+cosXJ∣4—X-2—10例3：设f(X)=2”，则J4f(X)dX—-4思路：本题可以通过对X的符号进行分类讨论，将fG)写成分段函数，再将定积分拆分为两段分别求解但若观察到f(x)为偶函数，则可利用对称性得:J4f(X)dx=2ʃ2X42xdx=2•——304=——-4ln20ln2，030答案：rʒIn2例4：已知12QX2+k)dx=160则k=(，)A.1B.2C.3D.4思路：先按部就班求解定积分，再解出关于k的方程即可:解：J2QX2+k)dx=(X3+kx)2=8+2k0 l0.∙.8+2k=16解得k=4答案：DIX=t例5：由曲线《 (t为参数)和y=X+2围成的封闭图形的面积等于Iy=12思路：所给曲线为参数方程，考虑化为普通方程为y=χ2，作出两个曲线图像，可得两个交点的横坐标为X=-1,X=2，结合图象可得:S=ʃ2(X+2-X21ZX-1门一—x2+2x—121\ 9-X3|2=—93J-1 29答案：5例6:设f(x)=<X2,X∈[θ,1]1 /((其中e为自然对数的底数)，则y=f(X)的图像与—,X∈(1,eJ〔Xx=0,x=e以及x轴所围成的图形的面积为思路：作出图像可得f(X)恒在X轴的上方，则面积可用定积分表示，但由于两个区间的函数不同，所以要拆成两个定积分：S=J1X2dx+ʃe1dx=1X31+lnX

0 1x30e131=43342例7：曲线y=-与直线y=X-1,X=4所围成的封闭图形的面积为( )XA.2ln2 B.2-ln2 C.4-ln2 D.4-2ln2思路：作出图像观察可得：所围成的区域上方曲线为y=X-1,下方为y=-,自变量的取值范围为E,F,其中

XE:<'XnX=2,F（4,0）,所以所求面积为y=X-1(XS=2k一 2V (1一、-1--dX=—X2-X-2lnX

Y ɔX√ V2=4-2ln242答案：D例8：如图所示，正弦曲线y=SinX，余弦曲线）=CoSX与两直线X=0,X=兀所围成的方，S1JKcosX-SinX.（兀「一.一一C在-,兀处，正弦函数位于上方，SV4） 2=Jπ(sin工X-coSX,04所以S=S+S=J：(CoSX-sinx)d+Jπ(sinX-cosx)d=2√2120π4答案：D小炼有话说：（1）在求曲线围成的面积时,可遵循被积函数始终“上-下”的原则,如果函数发生变化或上下位置改变时,则可以将面积分割为若干段,分别求定积分即可（2）本题还可以采用“填补法”，观察到左边较小阴影部分与X=π右侧部分中心对称，所以面积相同，从而可将较小阴影部分填补至X=π右侧。新的阴影部分始终y=sinX位于,、 ，=“、、兀5兀上万，可求得阴影部分位于-,—44，所以S=JT(sinx-cosx)dx=2√2ɪ4例9：已知a<b，若函数f(x),g(x)满足Jbf(x)dx=Jbg(x)dx，则称f(x),g(x)为a区间［a,b］上的一组“等积分”函数，给出四组函数:a①f(x)=2∣x∣,g(x)=x+1②f(X)=sinX,g(X)=cosX③④0—L2P(Y).3冗丫2JX=1—X2,gX 儿X24函数f(x),g(x)分别是定义在［-1,1］上的奇函数且积分值存在其中为区间［-1,1］上的“等积分”函数的组数是( )A.1B.2C.3D.4思路：按照“等积分”的定义，只需计算出两个函数在［-1,1］处的积分，再判断是否相等即可。解：①J1f(x)dx=J121x∣dx=4J1xdx=4--1-1J1g(x)dx=J1(X+1)dx=-1-11=2-1.∙.J1f(x)dx=J1g(x)dx所以①为“等积分”-1②f(x)为奇函数，-1g(x)为偶函数.∙.J1f(x)dx=0-1J1g(x)dx=J1cosxdx=2J1cosxdx=2sinX1=2sin1③由几何含义可得:-1 -1 0J1f(x)dx=J1√1-x2dx=L-1 211=—兀-1 2-1J1g(x)dx=J1—x2dx=Lx3-1 -14 4.∙.J1f(x)dx=J1g(x)dx-1-1所以③为一组“等积分”函数④因为f(X),g(x)为奇函数所以.∙.J1f(x)dx=J1g(x)dx=0-1-1④为一组“等积分”函数综上所述，①③④为“等积分”函数答案：C1—X21020,=2r1 1—x2+X120例10：已知函数/G)=eχτ,直线/-X=l,l∙,y=et-l(/为常1 2数，且0≤∕≤l）,直线/,/与函数/G）的图像围成的封闭图形如图12中阴影所示，当于变化时阴影部分的面积的最小值为思路：可解得/G）与直线/的交点为',m―1）,从而用方可表示出阴2影部分面积：S=S+S=Jt∖et—1—exχ—1)dx+1 2 °L 」JNX一1),一1力tdx，化简后可得：S（t）=2tet—3et+e+1，再通过导数分析S（t）单调性即可求出S（t）的最小值解：f(x)与12的交点为：f(x)=et-1nex-1=et-1，解得：X=t所以阴影面积S=S+S=JTet—1—1 2 0l=Jt(et—eχ)dx+J1(ex-e)dxtx—ex)t+ex0—etx)1=2tet—3et+e+1dx0tt设S(t)=2tet—3et+e+1，则S，(t)=2tet—et=et(21—1)_/\(1