北京市临川学校2016届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

北京临川学校2015—2016学年度第一学期期中考试

高三数学（理）试卷（2015年11月29日）

命题：史居品一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设A={xIy=\/2-x},B={yIy=ln(l+x)}，则AB=BA.(—1,+a)B.(—8,2]C.(—1,2]D.0则复数z2=DJAr-ii1-2O则复数z2=DJAr-ii1-2OA.—3一4iB.5+4iC.5—4i4.已知向量a+b=(2,—8),a—b=(—8,16)则a与b夹角的余弦值为:636363A——bC+——65f〜B65C一655D.13SBDnn5•设Sn为等比数列｛a｝的前n项和，8《+=0，则S5=2D.3—4iA.11B.5C.一8D.一11/兀/兀6.若a&(47A—A.91c—C.9兀,兀)，且3cos2a=4sin(——a)，则sin2a的值为C7B—97•设函数f(x)=3x+bcosx,xeR，则“b=0”是“函数f(x)为奇函数”的C

A.充分而不必要条件C.A.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件&已知命题p:VxgR,sin(兀一x)二sinx；命题q:a,0均是第一象限的角，且，则A.pqB.-ipa-iqC.—pA.pqB.-ipa-iqC.—paqD.paq下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为s二55，则在判断框中应填入关于k的判断条件是BA.k<11A.k<11B.D.k<83根据表格中的数据，可以断定函数f(x)二lnx-的零点所在的区间是Cxx12e35lnx00.6911.101.613_x31.51.1010.6A.(1,2)B.(2,e)C.(e,3)D.(3,5)如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函y二-(x>0)图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为DxA.In2B.1-ln2C.2-ln2D.1+ln212.已知函数/(x)在R上满足f(x)二2f(2-x)-x2+8x-8，曲线y二f(X)在点(l,f(l))处的切线为/,点(a,2a)在l上，且a=1,则a=Dnn+118A.B.-4A.B.-4C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13.已知向量a二(2,-3),b二(1,九)，若a//b，则九二14.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(2015)的值为14.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(2015)的值为f(x—1)—f(x—2),x>0,1已知a，b，c分别是AABC三个内角A，B，C的对边，b=*7，c=<3，B=，那么6TOC\o"1-5"\h\za等于4如图，将全体正整数排成一个三角形数阵：45678yion2-nn2-n+62根据以上排列规律，数阵中第n(n>3)行的从左至右的第3个数是.三、解答题：(70分)17．(本是满分10分)已知等差数列｛a｝满足：a+a=6，a=S，其中S为数列｛a｝的前n项和.

n2463nn求数列｛a｝的通项公式；n36223622(II)若keN*，且〈，气，\成等比数列，求k的值.17解：(I)设数列｛a｝的公差为d,由条件得na+d+a+3d二6fa二1彳11n彳1na二na+5d二3a+3dId二1n八115分(n)V由(I)易得S=+D，丁a2=a-Sn23kk2k得9k2二kxk(2k+1)解得k=4.10分18.(本小题满分12分)函数f(x)二cos(nx+*)(0<*<2)的部分图象如图所示.2写出*及图中x的值；0设g(x)二f(x)+f(x+3)，求函数g(x)在区间［-2,|］上的最大值和最小值.32318.(共12分)n解：(I)*的值是.65x的值是.03二…2分5分(II)由题意可得:f(x+—)-COS(兀(x+—)+)336=cos(nx+)二一sinnx27分所以1nf(x)+f(x+—)二cos(nx+)-sinnxn..n.=cosnxcos-sinnxsm-smnx8分66朽1..cosnx一sinnx一sinnx110110因为XG一£3]<33•cosnx—sinnx22*3cos（nx+彳）10分所以所以当nx+n二所以所以当nx+n二0即x二—3时,g(x)取得最大值73n2n当nx+3「，即x-g(x)取得最小值12分TOC\o"1-5"\h\znn2n一<nx+<-63319.(本小题满分12分)某中学在高二年级开设社会实践课程《数学建模》，共有50名同学参加学习，其中男同学30名，女同学20名.为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核.求抽取的5人中男、女同学的人数；考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定.设甲、乙两位同学间隔的人数为X,X的分布列为X3210Pab102求数学期望EX；考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115,122，105，111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125,132,115,121,119.这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s21s2，试比较s2与s2的大小.(只需写出结论)21219.（共12分）解：(I)抽取的5人中男同学的人数为50X30二3，女同学的人数为50X20二2解：4分(II)由题意可得:P（(II)由题意可得:P（X二3）二A2A323A556分因为32因为32a+b++——1105所以b二58分1132所以EX=3x10+2x所以b二58分1132所以EX=3x10+2x5+lx10+0%5=110分(III)s2=s21212分20.（本小题共12分）已知函数f(x)=ax3-3x2（I）当a二1时，求函数f（x）的单调区间;（II）若对任意的xG1,3］,有f（x）+f'（X）<0恒成立，求实数a的取值范围.20.（共12分）解：I)二X3—3x2当a二1时,则f'（x）=3x2—6x由f'（x）>0，得x<0，或x>2由f'（x）<0，得0<x<2所以fC）的单调递增区间为C叫0）（2,+8）,单调递减区间为（0,2）。（6分）（II）依题意，对Vxg1,3］，ax3—3x2+3ax2—6x<03x2+6x3x+6LJ一这等价于，不等式a<=对xg1,3」恒成立。x3+3x2x2+3x令h(x)=(xGL1,令h(x)=(xGL1,3])3x+6x2+3x则6)3+2]<0，所以hC）在区间1,3」上是减函数,所以h（x）的最小值为h（3）=6所以a<5，即实数a的取值范围为（—8,5］。（12分）66（本小题共12分）

设数列｛a｝的前n项和为S，且S=2a—1(n=1,2,…)nnnn求数列｛｝的通项公式；n若数列｛｝满足b=a+b(n=1,2,…)b=2,nn+1nn121.(共13分)解：(I)因为S二2a—1(n二1,2,…)nn则S二2a—1(n=2,3,…)TOC\o"1-5"\h\zn—1n—1所以当n>2时，a二S—S二2a—2annn—1nn—1整理得a二2ann—1由S二2a—1，令n=1，得a=2a—1，解得a=1nn111所以｛｝是首项为1,公比为2的等比数列，可得a=2n-1nn求数列｛｝的通项公式.n6分)(II)因为a求数列｛｝的通项公式.n6分)n由b二a+b(=1,2,…)，得b—b=2n-1n+1nnn+1n由累加得b=b+(b—b)+(b—b)(—b)n12132nn—1=2，1J=弘1+h(n>2)当n=1时也满足，所以b=2n-1+1。(12分)n(本小题满分12分)设函数f(x)二x2+bln(x+1)，其中b丰0(I)当b>1时，判断函数/(x)在定义域上的单调性;2(II)求函数/(x)的极值点.22.解：(I)由题意知，/(x)的定义域为(一1,+8)，广(x)=2设g(x)—2x2+2x+b，其图象的对称轴为x-一■—e(一1,+8)2((1\•••g(x)max当b>-时，g(x).=-1+b>0，即g(x)=2x2+2x+b>0在(一1,+Q上恒成立,2min2当xe(_1,+g)时，f(x)>0•••当b>2时，函数f(x)在定义域(—1,+g)上单调递增.4分(II)①由(I)得，当b>2时，函数f(x)无极值点.广(x)=(1A22x+-(2丿x+1=0有两个相同的解x=—21Axe—1,——时，f'(x)>0,2丿xe时，广(x)>0•••b=2时，函数f(x)在(—1,+g)上无极值点.2③当b<2时,f(x)=0有两个不同解，—1—、1—2bx=1b<0时,—1—JI—2b,<—1,x-1+42b>0x(-1,叮x2(x,+g)2八x)0+f(x)极小值•••b<0时,广(x)，f(x)随x的变化情况如下表:212—1+J1—2b由此表可知：b<0时，f(x)有唯一极小值点x=2当0<b<1时,2-1-J1—.x=>—112x,xe(—1+g)12x(—1,x)1x1(x,x)12x2(x,—g)1f'(x