北京市丰台二中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案

北京市丰台二中2014-2015学年度上学期期中考试试卷

高一数学(满分150分，考试时间120分钟)

北京丰台二中张健

第I卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)已知集合A={xlx2—2x=0},B={0,1,2},则AHB=(D){0,1,2}(A){0}(B){0，(D){0,1,2}1下列函数中，与函数y=有相同定义域的是x(A)f(x)(A)f(x)二Inx1(B)f(x)二-x(C)f(x)=x(D)f(x)=ax(a>1)下列函数中是偶函数且在(0,+8)上单调递减的是(A)y=lxl(B)y=2-x(C)y=InIxl(D)y=x-2已知函数fC)gO分别由下表给出：x123f(x)234x123g(x)321则f[gG)]的值等于(A)1(B)2(C)3(D)415.设a>-，函数f(x)=logx在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为〒，则a等于a2(A)4(B)2迈(C)2(D)<2已知a=log20.3,b=2o.3,c=0.30-2，则a,b,c三者的大小关系是(A)a>b>c(B)b>c>a(C)b>a>c(D)c>b>a方程lnx=2-x的根所在区间是(A)(-1,0)(B)(0,1)(C)(1,2)(D)(2,3)8•设集合X是实数集R的子集，如果点xeR满足：对任意a>0，都存在xeX，使0得|x-xI<a，那么称x为集合X的聚点.现有下列集合：00①{yy=e①{yy=ex}，②{xIlnx>0},③{xIx=,neN*}，④{xIx=,neN*}.nn+1(C)②③第II卷(C)②③第II卷(D)②④(A)①②(B)①③二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请.把.答.案.填.在.答.题.卡.中.相.应.的.位.置.上.)9.若函数f(x)=x2+bx-4是R上的偶函数，则实数b的值是.0

10．lg5-lg丄10．lg5-lg丄82*16-2-(27)-3.-111•函数y=、2—log3x的定义域.(0,9］12.若幕函数f(x)的图象过点(2,4)，则f(P2)=b-2x13•已知函数f(x)二是定义在R上的奇函数，则a+b=.22x*a14.已知f(x)=m(x-2)(x+m+5)，若存在xg(—^,4)使得f(x)>0，则实数m的取值范围.[-1,0^J(0,+8)三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请．把答案填在答题卡中相应的位置上)15.(本小题满分13分)已知全集U=R,集合A={x|2x+a>0},B={x|x2-2x-3>0}.解：当a=解：当a=2时，求集合ApB,AUB；若AQ(QB)H0，求实数a的取值范围.ax>_—>2aI由2x+a>0得x>—亍，所以A=<jx2分由x2-2x—3>0得(x+1)(x—3)>0，解得x<一1或x>3，所以B=lx|x<一1或x>3}.………4分(I)当a=2时，A=lx|x>-1}.所以Ap|B=lxx>3}.………6分AjB={xx丰-1}.………8分(II)因为B={xx<—1或x>3}，所以二={x|-1<x<3}.………10分又因为AQ(QB)H0，所以-2<3，12分解得a>-6.所以实数a的取值范围是(-6,+8).13分16.(本小题满分14分)已知函数f(x)=-x2+2ax-3a.若函数f(x)在(-8,1)上是增函数，求实数a的取值范围；若函数f(x)存在零点，求实数a的取值范围；分别求出当a=1和a=2时函数f(x)在［1,3］上的最大值.解：由已知得f(x)=-x2+2ax-3a=-(x-a)2+a2-3a.………1分(I)因为函数y=f(x)在(-8,1)上是增函数，

5分故实数a的取值范围是［1,+^5分(II)因为函数y二f(x)存在零点，TOC\o"1-5"\h\z所以(2a)2—4x(—1)x(—3a)n0，即a2—3a'0,7分所以a<0,或a>3.故实数a的取值范围是(—^，0］U［3,+8)10分(III)①当a二1时，函数f(x)=—X2+2x—3在［1,3］上是减函数，于是，f(x)=f(1)=—2.12分max②当a二2时，函数f(x)二一x2+4x—6在［1,2］上是增函数，在(2,3］上是减函数，于是，f(x)=f⑵=—2.14分max(本小题满分13分)已知函数y=f(x)是定义域为R的指数函数.1若f(2)二，求函数f(x)的解析式；1若f(x)二8，求f(x)的值；020若f(x)在区间［0,+X*)上的值域是(0,1］,且f(2x2—3x+1)<f(x2+2x—5),求实数x的取值范围。解：设f(x)=ax(a>0,且a丰1)2分1(I)因为f(2)=丁，411所以a2二，所以a421TOC\o"1-5"\h\z所以函数f(x)的解析式的解析式为f(x)二(2)x5分6分9分所以f(2x)=a2x020116分9分所以f(2x)=a2x02011=(ax0)2=82(III)因为f(x)是指数函数，且在区间［0,+8)上的值域是(0,1］，所以0<a<1,所以f(x)在R上是单调递减函数.10分又因为f(2x2—3x+1)<f(x2+2x—5)11分所以2x2—3x+1>x2+2x—5所以x2—5x+6>0所以x<2,或x>3故实数x的取值范围是{xIx<2,或x>3}13分(本小题满分13分)某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红

柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(距2月1日的天数，单位：天)的部分数据如下表：时间t50110250成本Q150108150(I)根据上表数据，从下列函数Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a•bt,Q=a・log/中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，说明选择理由，并求所选函数的解析式；(II)利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q最低时的上市天数及最低种植成本.解：(I)根据表中数据，表述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不是单调函数，这与函数Q=at+b，Q=a•bt，Q=a・log/均具有单调性不符，所以，在a#0的前提下，可选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述.4分把表格提供的三对数据代入该解析式得到：2500a+50b+c=150,6分9分<12100a+110b+c6分9分62500a+250b+c=150.解得a=丄，b=—3，c=逻.20022所以，西红柿种植成本Q与上市时间t的函数关系是Q=20012-31+4|5.10分(II)当t=旨=150天时，西红柿种植成本Q最低为2x200TOC\o"1-5"\h\z13425Q=X1502-X150+=100(兀/100kg).12分20022所以，西红柿种植成本Q最低时的上市天数是150天，最低种植成本为100(元/100kg)………13分x+219.(本小题满分14分)已知函数f(x)=log(a>0，且a主1).ax-2判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；当0<a<1时，判断函数f(x)在区间(2,+8)上的单调性，并证明你的结论.解：(I)函数f(x)是奇函数.1分证明如下：2+x由>0得(x+2)(x—2)>0，解得x<—2或x>2，x-2所以函数y=f(x)的定义域为(一^,—2)U(2,+8).3分任取xw(—8,—2)U(2,+8)，则一xE(—8,—2)U(2,+8)，4分

—x+2x—2x+2x+2因为f(—x)—log—log—log()-1——log-a—x—2ax+2ax—2ax—2所以函数f(x)是奇函数.仃I)任取x,xe(2,+8)，且x<x1212x+2所以f(x)—f(x)—log1c—log12ax—2—f(—f(x)7分x+22x—22(x+2)(x—2)

—log12—a(x—2)(x+2)

12(x+2)(x—2)(x+2)(x—2)—(x—2)(x+2)12—1—1212—(x—2)(x+2)124(x—x)—1(x—2)(x+2)12—21(x—2)(x—2)

12，于是x—2>0,x—2>0,x—x>0,1221(x+2)(x—2)所以21>0，即一12>1.…(x—2)(x—2)(x—2)(x+2)1212又因为o<a<1，所以log12<log1—0,•a(x—2)(x+2)a12因为2<x<x+s,124(x—x)^2即f(x)<f(x)•12所以函数f(x)在(2,)上单调递增.20.(本小题满分13分)已知：集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：8分10分分分分在定义域内存在x,使得f(x+1)—f(x)+f(1)成立.0001函数f(x)-—是否属于集合M?说明理由；xa设函数f(x)—lgeM(a>0),求实数a的取值范围；x2+1证明：函数f(x)—2x+x2eM.解：(I)f(x)—-的定义域为(—8,0)(0,+8),x11令-一+1，整理得x2+x+1—0，此方程无实数解，x+1x因此，不存在x0e(—8,0)U(0,+8)使得f(x+1)—f(x)+f(1)成立，1所以f(x)—纟M；4分xaa(II)f(x)—lg(a>0)的定义域为R,f(1)—lg，x2+12

因为f(x)=lgx2：1eM所以，存在xGR，使得f(x+1)=f(x)+f(1)成立，即方程lga(x+1)2+1aa=lg市+lg2有解'a所以方程(x+1)2+1=□叵有解'即方程(a-2)x2+2ax+2a-2=0有解。6分1当a=2时，x=-，符合题意；7分当a丰2时，即agG,2)(2,+a)时,由AAO得a2-6a+4<0，解得3-J5<a<3+U5,所以aG[3-