北京市中考数学试卷及答案(完整版)

北京市中考数学试卷及答案（完

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2021年北京市咼级中等学校招生考试数学试卷解析满分120分，考试时间120分钟一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。1.在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划(2021-2021)》中，北京市提出了总计约3960亿元的投资计划。将3960用科学计数法表示应为39.6X1023.96X1033.96X1043.96X104答案：B解析：科学记数法的表示形式为ax10n的形式，其中1<|諂10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.3960=3.96X1032.-3的倒数是4A.B.4C.A.B.4C.D.答案：D134解析：火丰。)的倒数为a，所以，-二的倒数是-33.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3,4，5,从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为A.B.C.4A.B.C.4D.5答案：C解析：大于2的有3、4、5,共3个，故所求概率为34.如图，直线a，b被直线c所截，4.如图，直线a，b被直线c所截，a〃b，Z1=Z2，若Z3=40°，则Z4等于A.40°B.50°C.70°D.80°〔第」题)答案：C1解析：Z1=Z2=-(180°—40°)=70。，由两直线平行，内错相等，得Z4=70°O

5.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB丄BC，CD丄BC,点E在BC上，并且点A,E,D在同一条直线上。若测得BE=20m,EC=10m,CD=20m,则河的宽度AB等于B.40mA.60mB.40mC.30mD.20mC.30m答案：B解析：由厶EABs^EDC，得：CBE=CAD，即20=，解得：AB=40BEAB20AB6.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是B.6.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是B.答案：A解析：B既是轴对称图形，又是中心对称图形；C只是轴对称图形；D既不是轴对称图形也不是中心对称图形，只有A符合。7.某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示:时间（小时）5678人数1015205则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是A.6.2小时B.6.4小时A.6.2小时B.6.4小时C.6.5小时D.7小时答案：B解析：平均体育锻炼时间是50+90答案：B解析：平均体育锻炼时间是50+90[40+40=6.4小时。508.如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x,AAPO的面积为y,则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（第&题）2¥A.答案：A02¥A.答案：A02x0B.12x0C.1

D.解析：很显然，并非二次函数，排除B；AOBAOB当P点与A点重合时，此时AP=x=0,s=0;NPAO当P点与B点重合时，此时AP=x=2,S=0；NPAO13i本题最重要的为当AP=x=1时，此时AAPO为等边三角形，Snpao二亍＞4；排除B、C、D.选择A.【点评】动点函数图象问题选取合适的特殊位置，然后去解答是最为直接有效的方法二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.分解因式：ab2一4ab+4a=答案：a（b-2）2解析：原式=a(b2-4a+4)=a(b-2)210.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0,1）的抛物线的解析答案：y=x2+1解析：此题答案不唯一，只要二次项系数大于0,经过点（0,1）即可。11.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5,AD=12，则四边形ABOM的周长为答案：20解析：由勾股定理，得AC=13，因为BO为直角三角形斜边上的中线，所以，BO=6.5，由中位线，得MO=2.5,所以，四边形ABOM的周长为：6.5+2.5+6+5=2012.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线：t=—x—1，双曲线y二-。在上取点a1,过点A1作x轴的垂线交双曲线于点B1,TOC\o"1-5"\h\zx111过点B］作y轴的垂线交于点a2,请继续操作并探究：过点a2作x轴的垂线交双曲线于点B2,过点b2作y轴的垂线交于点a3,…，这样依次得到上的点A1,A2,A3,…，A,…。记点A的横坐标为a,若a=2,则a=,123nnn12a=；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不能取的值是20131・・・

(12'求出B(1I--,-3k33丿3k3丿根据A3答案解析：根据A（2,-3答案解析：根据A（2,-3）求出B1f2,2'11\2丿/求出A2根据A2/求出B2根据B232\?-3丿求出Af-1「3(1\/、根据B31-3,-3I求出A4(2,-3)；至此可以发现本题为循环规律，3次一循环，T2013=3x670+3；1••a=a=—;201333重复上述过程,可求出A_Ca，—a-1)111B1A重复上述过程,可求出A_Ca，—a-1)111B1A2(a+11i——1——,—

kaa丿v11丿B2(a+1ai15+[aa+1丿

、11丿、A3、B3f1，—aka+11丿v1丿-1、A4Ca，—a-1)；由上述结果可知，分母不能为0，故a］不能取0和-1.【点评】找规律的题目，规律类型有两种类型，递进规律和循环规律，对于循环规律类型，多求几种特殊情况发现循环规律是最重要的.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.如图，已知D是AC上一点，AB=DA,DE〃AB,ZB=ZDAE。求证：BC=AE。解析证明：■/DE/fAB:.^CAIi-厶UMtLAAHC与氐DAE中PC厶DE<朋=DAAH-ZDAE二△HDE迴△期C（A£.\）ASC-AE14.计算：（1—a/3）o4—弋2—2cos45°+（二卜1。解析原式亠虚亠g—4=53x>x一216、解不等式组：］x+1小>2xI3解析解:由•得心一I由¥>去・得1x<■5•1一I艺h弋一16.已知x2一4x一1二0，求代数式（2x一3）2—（x+y）（x一y）一y2的值。解析代數式化简得：斗咒z_12咒_°_屮=3jc2-12^-9=3（a2-4.y+3）7^-4x=l代入得二原式二垃

17.列方程或方程组解应用题:某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务。若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积。解析设每人每小时的绿化而积均x平方米一师HISOISO,虹有：=3[54■可工脾得x^2.5经检验：_T-25^.^方程的解答；毎人毎小时的绿化面积为25平方米18.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4二0有两个不相等的实数根求k的取值范围；若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值。解析⑴A=4-4<2Jt-4)T方桎有两个不等的实抿即钏-聂a02TJt为整数丁方程的棍为整数…为完全平方数当应“时.m=3K时.5-^-1a四、解答题(本题共20分，每小题5分)119.如图，在口ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=-BC，连结DE,CF。求证：四边形CEDF是平行四边形；若AB=4，AD=6,ZB=60°，求DE的长。解析

⑴在二中.AD//HCTF是川卫中点-A-只丫僅=丄占（？.22,\DF=CE.1LDP//CE二四边形CEDP対平行四边形辽）过D作于H左LAifCD中T27?=60°；,ZDCE=时TAff-4ACD=4在[C£QF中.隹=DF=]mD=3；、曲二、在RlZJJRE中DE=J(X毎-庐=圧〔第新题)如图，AB是0O的直径，PA,PC分别与0O相切于点A,C,PC交AB的延长线于点D,DE丄PO交PO的延长线于点E。〔第新题)求证：ZEPD=ZEDO3若PC=6,tanZPDA=—，求OE的长。4解析【I）TF月、FQ与LO分别阳切于点月、C■\^APO=勒FD.1LPA_柏盟ZPAO=WT^AQP=Z£W,ZrA0=Z£=WZAPQ=Z£Df>即Z£^n=12）遵结32.・.PA・PC=&TtsnZPDA=-4.".衽Kl△/罰D中XZ?-8.円J=】UCD=斗

丁tarAFDA=-4二在RiAOCD中.C)€=OA=3rOD=S'：AEDOAOEfJ/△DtF.加DE102■F==——=—ODO£5I在R心OED中OE2-DEr=兰:'◎£=J?第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分:第六至第九J5第六至第九J5园博会

园区陆地面积和水面面积统说图第九届园博会植物花园区各花园面现分布统计图第六辰第七届第八届第九届辰汶〔第21题）陆地第六辰第七届第八届第九届辰汶〔第21题）陆地面秩水面面狗43.532.E21.E10.E0（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，牡丹园面积为平方千米；（2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八两届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系,根据小娜的发现，请估计将于2021年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）。第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表日均接待游客量（万人次）单日最多接待游客量（万人次）停车位数量（个）第七届0.86约3000第八届2.38.2约4000

第九届8（预计）20（预计）约10500第十届1.9（预计）7.4（预计）约解析（O0.03⑵陆地面积3启水面面积1.5⑴370022•阅读下面材料:小明遇到这样一个问题：如图1,在边长为a（a2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当ZAFQ=ZBGM=ZCHN=ZDEP=45。时，求正方形MNPQ的面积。〔第22题圏1）DPFCR〔第22题圏1）DPFCR・J\王SBG'-i.22题图2)小明发现：分别延长QE，MF，NG，小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为（2）求正方形MNPQ的面积。参考小明思考问题的方法，解决问题:〔第22题图3）如图如图3,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,F作BC,如图如图3,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线，得到等边△RPQAC,AB的垂线，得到等边△RPQ，若SARPQ£，则AD的长为.解析Cl)q⑴阿个等腰直甬三彝形面稅和为口正方形卫RCD的面帧拘於'T'正才孜砂理—Sgwz-+十五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2(m丰0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B。求点A,B的坐标；设直线与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式。解析：【解析】(1)当x=0时，y=-2.・•・A(0,-2)抛物线对称轴为x=-旦=12m・•・B(1,0)(2)易得A点关于对称轴的对称点为A(2,-2)则直线l经过A、B.没直线的解析式为y=kx+b2k+2k+b=-2k+b=0，解得|b=-2.••直线的解析式为y=-2x+2(3)V抛物线对称轴为x=1抛物体在2<x<3这一段与在-1<x<0这一段关于对称轴对称结合图象可以观察到抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方在-1<x<0这一段位于直线l的下方;・•・抛物线与直线l的交点横坐标为-1；当x=-1时，y=-2x(-1)+2=+4则抛物线过点(-1，4)当x=-1时，m+2m-2=4，m=2・抛物线解析为y=2x2-4x-2.【点评】本题第(3)问主要难点在于对数形结合的认识和了解，要能够观察到直线l与直线AB关于对称轴对称，V抛物线在2<x<3这一段位于直线AB的下方，・•・关于对称轴对称后抛物线在-1<x<0这一段位于直线l的下方；再结合抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方；从而抛物线必过点(-1,4).24.在△ABC中，AB=AC,ZBAC=«(0°<«<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。

A〔第24题图1)AA〔第24题图1)A(第2斗题图”如图1,直接写出ZABD的大小(用含Q的式子表示)；如图2,ZBCE=150°,ZABE=60。，判断厶ABE的形状并加以证明;在(2)的条件下，连结DE,若ZDEC=45°，求a的值。解析：【解析】(1)30。--a2(2)△ABE为等边三角形证明连接AD、CD、EDJ线段BC绕点B逆时针旋转60。得到线段BD则BC=BD，ZDBC=60。又JZABE=60。・•・ZABD=60。-ZDBE=ZEBC=30。--a2且“BCD为等边三角形.在△ABD与△ACO中一AB=AC<AD=ADBD=CD・△ABD9△ACD（SSS）・•・ZBAD=ZCAD=-ZBAC=-a22JZBCE=150。・•・ZBEC=180。一（30。--a）-150。=-aE22E在△ABD与AEBC中ZBEC=ZBAD<ZEBC=ZABD、BC=BD・•・△ABD9△EBC(AAS)・•・AB=BE・△ABE为等边三角形(3)JZBCD=60。,ZBCE=150。・•・ZDCE=150。-60o=90。又JZDEC=45。・•・△DCE为等腰直角三角形・DC=CE=BCJZBCE=150。...zebc=(183。)=15o2而ZEBC=30。—-a=15。2・•・a=30。点评】本题是初中数学重要模型“手拉手”模型的应用，从本题可以看出积累掌握常见模型、常用辅助线对于平面几何的学习是非常有帮助的.25.对于平面直角坐标系xOy中的点P和。C,给出如下定义：若0C上存在两个点A,B,使得ZAPB=60°，则称P为0C的关联点。11已知点D(一，一)，E(0,-2),F(2、汙,0)22(1)当0O的半径为1时，在点D,E,F中，00的关联点是；过点F作直线交y轴正半轴于点G,使ZGFO=30°,若直线上的点P(m,n)是00的关联点，求m的取值范围；(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。

I'M〔第浙题）I'M〔第浙题）解析：【解析】⑴①D、E；②由题意可知，若P点要刚好是圆C的关联点；需要点P到圆C的两条切线PA和PB之间所夹的角度为60。；由图1可知ZAPB=60。，则ZCPB=30。，连接BC，则pc二_BC二2BC=2r；sinZCPB・•・若P点为圆C的关联点；则需点P到圆心的距离d满足0<d<2r；由上述证明可知，考虑临界位置的P点，如图2；由上述证明可知，考虑临界位置的P点，如图2；点P到原点的距离OP=2x1=2；过O作x轴的垂线OH，垂足为H；tanZOGF=Og=弓人；・•・ZOGF=60。；・•・OH=OG・sin60°=方；・•・sinZOPH:.ZOPH_60。；易得点P与点G重合，过P作PM丄x轴于点M；图2122图2易得<P2OM=30。；・•・OM=OP2・cos30°=方；从而若点P为圆O的关联点，则P点必在线段pp上;12・•・0<m至爲;(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点;考虑临界情况，如图3考虑临界情况，如图3;点，点评】“新定义”问题最关键的是要能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过第(2)问开头部分的解析，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于2倍半径的点.了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了.2021年北京市中考数学试题难点解析2021年北京市中考试卷数学试题整体难度较2021年有所下降。从近四年（2021-2021）北京中考数学试题的难易程度可以看出北京市中考数学整体大小年的规律。2021年北京中考数学平均分预计将较去年有所提升。本套试卷在保持对基础知识的考察力度上更，加重视对数学思想方法和学生综合素质能力的考察，体现了“实践与操作，综合与探究，创新与应用”的命题特点，与中考考试说明中c级要求相呼应。一、试题的基本结构：整个试卷五道大题、25个题目，总分120分。其中包括选择题（共8个题目，共32分）、填空题（共4个题目，共16分）、解答题（包括计算题，证明题、应用题和综合题；共13个题目，共72分）。1.题型与题量选择题填空题解答题题数分值题数分值题数分值83241613722.考查的内容及分布从试卷考查的内容来看，几乎覆盖了数学《课程标准》所列的主要知识点，并且对初中数学的主要内容都作了重点考查。内容数与代数图形与空间统计与概率分值6047133.每道题目所考查的知识点题型题号考查知识点选择题1科学记数法2有理数的概念（倒数）3概率4平行线的性质5相似三角形6轴对称、中心对称7平均数8圆中的动点的函数图像

填空题9因式分解（提公因式法、公式法）10抛物线的解析式11矩形、中位线12函数综合找规律（循环规律）解答题13三角形全等证明14实数运算（0次幕、-1次幕、绝对值、特殊角三角函数）15解一兀一次不等式组16代数式化简求值（整体代入）17列分式方程解应用题18一兀二次方程（判别式、整数解）解答题19梯形中的计算（平行四边形判定、梯形常用辅助线作法、特殊三角形的性质）20圆中的证明与计算（三角形相似、三角函数、切线的性质）21统计图表（折线统计图、扇形统计图、统计表）22操作与探究（旋转、从正方形到等边三角形的变式、全等三角形）解答题23代数综合（二次函数的性质、一次函数的图像对称、二次函数的图像对称、数形结合思想、二次函数解析式的确定）24几何综合（等边三角形、等腰直角三角形、旋转全等、对称全等、倒角）25代几综合（“新定义”、特殊直角三角形的性质、圆、特殊角三角形函数、数形结合）二、命题主要特点：题型\年分222021创亲是專体悩开图Vh-动点函数图象动点函数图象动点函数图象第轴2对平移几何坐标化、方程与方程组正方形、等第8、12、22、23、24、25题依旧是比较难的题型，其他题型属于基础或者中档题。近四年北京中考数学试题这几道题考查分布:2021

{操作与探究1方形等等变换边角形全等三形综题第代、列.数2综3合〔比眉例『函旋转恒等等形代（\k/.数综合次函数一函数等等直角三形数形结合（代数综合）二次函数、一次函数、一元二次方程、函数图象平移、数形结合代数综合）一函数、二函数、图形对称数形结合{几何综合}（几何综合）轴对称、等腰三角形、倒角何综合

综题C函5数3等腰直角角形分类讨论数形结合旋转等腰直角三三形等边角形直角三三形平行四边形等边角形等腰直角角形旋转倒角综题珀何曦喀曲厂腰」A形、轴对称、{代几综合}一次函数、圆、平行四边（代几综合）、一次函数、圆、相似{代几综合1一次函数、圆、特殊特点一、题目总体难度降低，23题代数综合和25题代几综合等压轴题理解题意仍有一定难度，以体现试卷区分度，但试题总体难度相较去年有大幅下降。特点二、题型设置上较以往有微调，例如第1、2题位置调整；第18题的一次函数综合体换成了一元二次方程；第19题回归对梯形的考察；第20题第(1)问没有考察切线的证明等。特点三、试题内容上趋于稳定，没有“偏难怪”题，除了25题中的新定义“关联点”之外，其他题都较为常规，较好的体现了“稳中求变”的命题主导思想。特点四、从试卷中最直观反应出的是阅读量的减小，去年中考第25题占了一整页纸，阅读占了很大比重，今年题型仍然新颖，但阅读量明显减少。特点五、计算量大幅下降，去年计算题19题、20题是几何计算题，有一定的难度，计算量普遍大，但今年的19题、20题不论解题难度还是计算难度都骤降。特点六、填空第12题考察循环规律，与前2年的递进规律类型有所不同，当然如果重视观察能力和精确作图能力，也可以很容易发现四次变化后回到A1。特点八、延续了去年和前年的改革方向，增加对圆的考察，例如选择题第8题、解答题第20题。解答题第25题都涉及圆的知识。特点九、考察学生对于知识点的深入理解能力逐渐加大。解答题第23题第三小问，重点考察直线与抛物线位置关系的深入理解，难度较大。三、重难易错题目点评：1.易错题目易错题号错误原因8易被圆的对称性误导，从而误认为函数图象为对称图像12前2年均为递进规律，形成思维定势，不太容易抓住本质规律(循环规律)17分式方程应用题忘记检验2.难题难题题号不得分原因22没看懂题，不理解图2的作用是什么23利用对称来进行数形结合练得比较少，抓不住第(3)问的关键24对重要全等模型“手拉手”不熟悉，很难发现如何构造三角形全等；倒角证明三角形全等也是本题的难点25题目没读懂，没有理解“新定义”的关键是到原点的距离要小于半径的2倍总体来看，2021年并没有出现一点儿都无从下手的题目，体现了很好的梯度，让学生上手容易拿全难，有比较好的区分度，这是北京中考命题的一大特点，相信2021年也会是这种形式。77.（4分）（2021•北京）某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示:2021年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分。下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。1.（4分）（2021•北京）在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划Q021-2021）》中，北京市提出了共计约3960亿元的投资计划，将3960用科学记数法表示应为（）A.39.6x102B.3.96x103C.3.96x104D.0.396x1042.（4分）⑵川北京）行的倒数是（)C._3A.4B.334D.一里_33.（4分）（2021•北京）在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为（）B.25D.里54.（4分）（2021•北京）如图，直线a,b被直线c所截，allb,Z1=Z2,若/3=40°,Z4等于（）A.40°B.50°C.70°5.（4分）（2021•北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB丄BC,CD丄BC,点E在BC上，并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=20m,CE=10m,CD=20m,则河的宽度AB等于（）VA.60mB.40mC.30mD.20mF列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（时间（小时）5678人数1015205则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（)A.6.2小时B.6.4小时C.6.5小时D.7小时8.（4分）（2021•北京）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2.设弦AP的长为x,△APO的面积为y,则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）AQBAQB二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.（4分）（2021•北京）分解因式：ab2-4ab+4a=10.（4分）（2021•北京）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0,1）的抛物线的解析式，y=11.（4分）（2021•北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点.若AB=5,AD=12，贝V四边形ABOM的周长为.12.（4分）（2021•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=-x-1，双曲线y4，在1上取一点xA],过A1作x轴的垂线交双曲线于点B],过B1作y轴的垂线交1于点A2,请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交1于点A3，…,这样依次得到1上的点A1,A2,A3，…,An,…记点An的横坐标为an,若a1=2，则a2=,a2021=；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不可能取的值.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.（5分）（2021•北京）已知：如图，D是AC上一点，AB=DA,DEIIAB,ZB=ZDAE.求证：BC=AE.（5分）（2021•北京）计算：（1-】一3）0+1-I龙I-2cos45°+」）-1.43丫〉瓦-2（5分）（2021•北京）解不等式组：空〉裁.（5分）（2021・北京）已知x2-4x-1=0,求代数式（2x-3）2-（x+y）（x-y）-y2的值.（5分）（2021•北京）列方程或方程组解应用题：某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积.18.（5分）（2021•北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.（5分）（2021•北京）如图，在ABCD中，F是AD的中点,CE^BC，连接DE，CF.（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，ZB=60°，求DE的长.20.（5分）（2021•北京）如图AB是OO的直径，PA，PC与OO分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D,DE丄PO交PO的延长线于点E.A(1)求证：ZEPD=ZEDO；A3(2)若PC=6,tanZPDA#，求OE的长.■■*■■*■■*■■*2121.（5分）（2021•北京）第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分.第玄届至第九届园博会笫九届园博会偿物花园区各花园面积分布蜿计图园匿哇地面駅和术面面穎统计圏笫九届园博会偿物花园区各花园面积分布蜿计图（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，牡丹园面积为平方千米；（2）第九届园博会会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八界园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系.根据小娜的发现，请估计，将于2021年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）.第七届至第十届园博会游客量和停车位数量统计表：（万人次）（万人次）（个）第七届0.86约3000第八届2.38.2约4000第九届8（预计）20（预计）约10500第十届1.9（预计）7.4（预计）约日接待游客量单日最多接待游客量停车位数量22.（5分）（2021•北京）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1,在边长为a（a>2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当ZAFQ=ZBGM=ZGHN=ZDEP=45°时，求正方形MNPQ的面积.小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W,可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为;（2）求正方形MNPQ的面积.（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ.若仏rPq=，，则AD的长为.

图⑴'込图⑴'込圍(3五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23.(7分)(2021•北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2(mHO)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.求点A,B的坐标；设直线1与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线1的解析式；若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线1的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式.24.(7分)(2021•北京)在厶ABC中，AB=AC,ZBAC=a(0°<a<60°),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.如图1,直接写出ZABD的大小(用含a的式子表示)；如图2，ZBCE=150°,ZABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；在(2)的条件下，连接DE,若ZDEC=45°,求a的值.图2图225.(8分)(2021•北京)对于平面直角坐标系xOy中的点P和OC,给出如下的定义：若OC上存在两个点A、B,使得上APB=60°,则称P为OC的关联点.已知点D(寺言)‘E(0,-2),F(W3,0).当OO的半径为1时，在点D、E、F中，OO的关联点是.过点F作直线1交y轴正半轴于点G,使/GFO=30°,若直线1上的点P(m,n)是00的关联点，求m的取值范围；若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围.2021年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共32分，每小题4分。下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。1.BTOC\o"1-5"\h\zDCCBA7.B8.A解答：解：作OC丄AP,如图，则AC誌AP=*,在R/AOC中，OA=1,OC=］：°*_勰乙口所以所以y与x的函数关系的图象为A.二、填空题（本题共16分，每小题4分）

3112.—,-;0、.（23解戸°解：当a】=2时，B］的纵坐标为寺B1的纵坐标和A2的纵坐标相同，则A2的横坐标为a2=-吕,a2的横坐标和b2的横坐标相同,b2的纵坐标和a3的纵坐标相同,则B?的纵坐标为ba2的横坐标和b2的横坐标相同,b2的纵坐标和a3的纵坐标相同,A3的横坐标和B3的横坐标相同，则B3的纵坐标为b3=-3,B3的纵坐标和A4的纵坐标相同，则A4的横坐标为a4=2,a4的横坐标和b4的横坐标相同，则b4的纵坐标为•••警671,12021=a3=-7?点A1不能在y轴上（此时找不到B1），即xh0,点A］不能在x轴上（此时A2,在y轴上，找不到B2），即y=-x-1工0,解得：xh-1；综上可得a】不可取0、-1.故答案为：-弓、-g；0、-1.三、解答题(本题共30分，每小题5分)13.解答：证明：TDEIIAB，•••ZCAB=ZADE，•••在厶ABC和厶DAE中，Vcab=Zade<AB=DA，iZB=ZDAE•••△ABQ△DAE(ASA)，•••BC=AE.5.-1<x<-|12

17.解答：解：设每人每小时的绿化面积x平方米，由题意，得6k(64-2)k'解得：x=2.5.经检验，x=2.5是原方程的解，且符合题意.答：每人每小时的绿化面积2.5平方米.18.解答：解：(1)根据题意得：△=4-4(2k-4)=20-8k>0,解得：kVp；由k为正整数，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解为x=-1±戈-2k，•••方程的解为整数，•••5-2k为完全平方数，则k的值为2.四、解答题(本题共20分，每小题5分)19.解答：(1)证明：在qABCD中，ADIIBC,且AD=BC.•••F是AD的中点，-DF诗AD-又:ce^bc，•DF=CE,且DFIICE，•四边形CEDF是平行四边形；(2)解：如图，过点D作DH丄BE于点H.在qABCD中，•••/B=60°，•ZDCE=60°.•••AB=4,CD=AB=4,CH=2,DH=2.3.根据勾股定理知(2.3)2+1=-；^-在qCEDF中，CE=DF)根据勾股定理知(2.3)2+1=-；^-•在RtADHE中,2020.2020.解答：(1)证明：PA,PC与OO分别相切于点A,C,•••ZAPO=ZEPD且PA丄AO,•••ZPAO=90°,•:ZAOP=ZEOD,ZPAO=ZE=90°,ZAPO=ZEDO,ZEPD=ZEDO；解：连接OC,PA=PC=6,vtanZPDA^^,4•在RtAPAD中，AD=8,PD=10,CD=4,vtanZPDA^^,4•在RtAOCD中，OC=OA=3,OD=5,vZEPD=ZODE,△OED-△DEP,PD_DE」02,"OD_OE_5在RtAOED中，OE2+DE2=52,OE=；5-21.解答：解：（1）v月季园面积为0.04平方千米，月季园所占比例为20%,则牡丹园的面积为：15%x=0.03（平方千米）；ZUjij（2）植物花园的总面积为：0.04-20%=0.2（平方千米），则第九届园博会会园区陆地面积为：0.2x18=3.6（平方千米），第七、八界园博会的水面面积之和=1+0.5=1.5（平方千米），则水面面积为1.5平方千米，如图：第女届至第九届园博会园蛋喘地面积和术面面积统计圉22.解答:•••S22.解答:•••S正方MNPQ=SAare+sadwh+sagct+sasbf=4S△ARE=4xgx12=2.由图标可得，停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系，比值约为500,则第十届园博会大约需要设置的停车位数量约为：500x7.4=3.7x103..故答案为：0.03；3.7x103.解：(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a,则斜边上的高为ga,每个等腰直角三角形的面积为：寺a•寺冷aT四个等腰直角三角形的面积和为T四个等腰直角三角形的面积和为a2,正方形ABCD的面积为a2,则拼成的新正方形面积为：4x2a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等4•••这个新正方形的边长为a.故填空答案为：a.(3)如答图1所示，分别延长RD,QF,PE交FA,EC,DB的延长线于点S,T,W.由题意易得：△RSF,△QEF,△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长.不妨设等边三角形边长为a,则SF=AC=a.如答图2所示，过点R作RM丄SF于点M,则MF今SF斗，

価Vs在RtARMF中，RM=MF・tan30°=ax=a,36•••s^RSF=2a・a=；a2.△RSF:过点A作AN丄SD于点N,设AD=AS=x,则AN=AD・sin30°=x，SD=2ND=2ADcos30°=l'3x,1ADS=寺D・AN冷•二3x・£x=^X2.t三个等腰三角形厶RSF,△QEF,△PDW的面积和=3S^RSF=3^|a2^1a2，正△ABC的面积为£^2,…T抛物线的对称轴为直线x=1,•抛物线在2VxV3这一段与在-1VxV0这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在-2<xT抛物线的对称轴为直线x=1,•抛物线在2VxV3这一段与在-1VxV0这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方，在-1VxV0这一段位于直线l的下=3x：x2，得x2^-，解得x=^或x=((不合题意，舍去)x/，即AD的长为2.33故填空答案为：善五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23.解答：解：(1)当x=0时，y=-2,A(0,-2),抛物线的对称轴为直线x=-=1,B(1,0)；-2),(2)易得A点关于对称轴直线x=1的对称点A-2),则直线1经过A、B,设直线l的解析式为y=kx+b(kHO),解得k+b=O'k=-2b=2'解得所以，直线l的解析式为y=-2x+2；方，•••抛物线与直线1的交点的横坐标为-1,当x=-1时，y=-2(-1)+2=4,所以，抛物线过点(-1,4),当x=-1时，m+2m-2=4,解得m=2，•抛物线的解析式为y=2x2-4x-2.24.解答：解：(1)AB=AC，zA=a,zABC=ZACB二!(180°-zA)=90°-丄a,22zABD=ZABC-zDBC,zDBC=60°,即zABD=30°-a；(2)△ABE是等边三角形，证明：连接AD,CD,ED,•线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD,则BC=BD,zDBC=60°,zABE=60°,zABD=60°-zDBE=zEBC=30°-1a,且厶BCD为等边三角形,2在厶ABD与厶ACD中rAB=ACAD二ADlBD=CD△ABD竺△ACD,zBAD=zCAD」zBAC丄,22zBCE=150°,zBEC=180°-(30°-la)-150°=la=zBAD,22在厶ABD和厶EBC中rZBEC=ZBADZEBC=ZABD、BC=BD△ABD竺△EBC,

/.AB=BE,•••△ABE是等边三角形;(3)vzBCD=60°,ZBCE=150°,ZDCE=150°-60°=90°,vzDEC=45°,△DEC为等腰直角三角形，DC=CE=BC,vZBCE=150°,ZEBC=2(180°-150°)=15°,2vzEBC=30°-la=15°,2•a=30•a=30°.25.25.解答：解：（1）①如图1所示，过点E作OO的切线设切点为R,vOO的半径为1,•RO=1,vEO=2,ZOER=30°,根据切线长定理得出OO的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°,E点是OO的关联点，vD（丄，丄），E（0,-2）,F（2•込,0）,22OF>EO,DOVEO,D点一定是OO的关联点，而在OO上不可能找到两点与点F的连线的夹角等于60°,故在点D、E、F中，OO的关联点是D,E；故答案为：D,E；②由题意可知，若P要刚好是OC的关联点，需要点P到OC的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°,由图2可知ZAPB=60°,则ZCPB=30°,连接BC,连接BC,贝yPC=BC

sinZCPB=2BC=2r,•若P点为OC的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0<d<2r；由上述证明可知，考虑临界点位置的P点,如图3,点P到原点的距离OP=2x1=2,过点O作1轴的垂线OH,垂足为H,tanZOGF===3,ULrZZOGF=60°,OH=OGsin60°=/^；sinZOPH_器=jOP2•••ZOPH=60°,可得点P1与点G重合，过点P2作P2M丄x轴于点M,可得ZP2OM=30°,_OM=OP2cos30°='3,从而若点兰为00的关联点，则P点必在线段P1P2上,OWmW3；(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；考虑临界情况，如图4，即恰好E、F点为OK的关联时，则KF=2KN=$EF=2,此时，r=1,故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r>1.图13343343343342021年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及参考解答2010年5月16日8:30〜10:30.一、填空题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中）小题号12345答案1一2669335422X3—X+1202151201012010与X2一X+二一②20102010由①得：x=1,x=01211由②得：x2一X+=0，所以X+X=1,XX=TOC\o"1-5"\h\z100534341005所以X3+X3=(X+X)CX+X)2一3xX)=1x11-334335669335343434334335669335所以X3+X3+X3+X3二1+0+1234113.如右图,AB与©O切于点A.3.如右图,AB与©O切于点A.连接B与©O内一点D的线段交圆于点C.并且AB=6,DC=CB=3,OD=2，则©O的半径等于.答：\/22.BAF即3(DE.+”6)=62=由相交弦定理可得DE•DC=DF•DG,所以18=r2-4.解得r=、、:22.:所以DE=6.解：延长交圆于F,G(如左图).FG是©O的直径.设©O的半径为r,由切割线定理，有BC-BE=BA2,交圆于'E,延长OD即6x3二(r-2)(r+2),4.满足方程f(x)+(x—2)f(1)+3f(0)=x3+2(x眾)的函数f(x)=答：f(x)=x3-x+1.解：取x=1解：取x=1和x=0代入方程，得f(1)+(1-2)f(1)+3f(0)=13+2f(0)+(0-2)f(1)+3f(0)=03+2，进而得]f(0)=1.于是f(x)=x3+2-(x-2)f(1)-3f(0)=x3-x+1.经检验，所求的函数〔f⑴=1满足方程.5•若一个自然数比它的数字和恰好大2007,这样的自然数叫做“好数”，则所有“好数”的和等于—.答:20215.解：设f(n)=n-S(n),其中S(n)是自然数n的数字和.则函数f(n)是非严格的增函数.f(2009)<f(2010)=f(2011)=•••=f(2019)=2007<f(2020)所以满足条件的所有自然数只有10个：2021，2021，2021，2021，2021，2021，2021，2021，2021，2021.其和为2021+2021+2021+2021+2021+2021+2021+2021+2021+2021=20215.二、(满分15分)如图，四个阴影三角形的面积都等于1求证：CB=CB,AC=AC,BA=BA；212212212求证：S=S=S；TOC\o"1-5"\h\zAB1B2C2BC1C2A2CA1A2b2/A.求S的值./A.E'AABC/E'A\

解答:⑴设BC八，连接ab1则S—九.AAB!解答:⑴设BC八，连接ab1则S—九.AAB!B22=2p,nAC—CA.221ACAB、所以——亠—1—k.CABC221S.cAAB仔—k,nSSAAB2C2AA2B2C2由S—1+k—SAAB2C!AAB2C所以CB—BC.122连接B]C2,ca2，则B1C2//CA2,—九,S—2九.AB1B2C2设CA1—n,同法可得SABCAja2b21因此，得CB—CB,AC—AC,212212(2)由上所证，CB—BC.易知S122&BC\B,所以S—S.同理由ba2=b1a2可证得BC1C2A2CA1A2B21因此S—S—S.AB1B2C2BC1C2A2CA1A2b2(3)由S—S—S.AB1B2C2BC1C2A2CA1A2b2ABBC艮卩2九—2^—2p,.••九—q—p,bC—cA—aB.111BA—BA.212.也就是1+SABB2CBCc2A2S—S.AB1B2C2BC1C2A2—1+S,CA1A2B2CA这样由'AAA2b2二SAA这样由'AAA2b2二SAAB1B1解得九-占ACABrn,:/k2—九一1—0.Sk1ACB2B1=-J5+1.(负根舍去！).所以S—S—S=-J5+1.AB1B2C2BC1C2A2CA1A2B2因此S—4+3点+1)—7+3再.AABC三、（满分15分）能否将2021写成k个互不相等的质数的平方和？如果能，请确定出所有的k值，并对相应的k值各写出一个例子；如果不能，请简述理由.解：（1）设p为质数，若2021能写成k个质数的平方和，则当k—10时，取i最小的10个互不相等的质数的平方和，则4+9+25+49+121+169+289+361+529+841=2397>2021,因此k<9.（2）因为只有一个偶质数2,其余质数都是奇数，而奇数的平方仍是奇数,并且被8除余1.所以若k—2,4,6,8时，则2021=工p2，则p都是奇数.ii若2010=p2+p2+.・•+p2，左边2021被8除余2.当k=4时，右边被8除余12k4；当k=6时，右边被8除余6；当k=8时，右边被8除余0；这3种情况等式都不能成立.当k=2时，由于质数中只有32被3除余0,而其余所有质数的平方都被3除余1.因此，两个不同质数的平方之和被3除余1或余2,而2021被3除余0.所以，2021不能表为2个互不相等的质数的平方和.因此，当k二2,4,6,8时，2021都不能表示为2个、4个、6个、8个质数的平方之和.（3）对k二1,3,7,9时，k=1时，2021显然不是一个质数的平方.k=3时，若2021=p2+p2+p2.其中必有一个偶质数的平方，两个奇质数的123平方.左边被8除余2，右边被8除余6，等式不能成立.k=5时，若2021=p2+p2+p2+p2+p2.其中必有一个偶质数的平方，4个奇12345质数的平方.左边被8除余2，右边被8除余0，等式不能成立.k=9时，若2021