福建省漳州市2023-2024学年高三上学期第一次教学质量检测数学试题（含答案）

第第页福建省漳州市2023-2024学年高三上学期第一次教学质量检测数学试题（含答案）准考证号________________姓名________

（在此卷上答题无效）

漳州市2023-2024学年高三上学期第一次教学质量检测

数学试题

本试卷共6页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

考生注意：

1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设全集，若集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（）

A．B．C．D．

2．已知复数z满足（i为虚数单位），则（）

A．1B．C．2D．

3．已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系是（）

A．B．C．D．

4．已知向量，，若，则（）

A．2B．C．D．

5．已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）

A．B．2C．D．

6．已知，则（）

A．B．C．D．

7．如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是矩形，，，若，，且底面ABCD与其余各面所成角的正切值均为，则该五面体的体积是（）

A．225B．250C．325D．375

8．已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则k的最大值是（）

A．B．C．2eD．4e

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9．将100个数据整理并绘制成频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（）

A．

B．该组数据的平均数的估计值大于众数的估计值

C．该组数据的第90百分位数约为109.2

D．在该组数据中随机选取一个数据记为n，已知，则的概率为

10．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A．

B．的图象关于直线对称

C．将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于原点对称

D．若在上有且仅有一个零点，则

11．已知正项等比数列的前n项积为，且，则下列结论正确的是（）

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

12．已知定义在R上的函数，其导函数的定义域也为R．若，且为奇函数，则（）

A．B．C．D．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．的展开式中的常数项是________．

14．有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占40%，乙工厂生产的占60%．已知甲、乙两工厂生产的该型号产品的次品率分别为3%，2%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是________．

15．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是________．

16．一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为1，下底面半径为6，母线与底面所成的角为．在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体的棱长的最大值是________．

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

如图，正方体的棱长为2，E为棱的中点．

（1）证明：平面ACE；

（2）若F是棱上一点，且二面角的余弦值为，求BF．

18．（本小题满分12分）

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求A；

（2）若D为边BC上一点，且，，证明：为直角三角形．

19．（本小题满分12分）

已知数列，满足，，记为的前n项和．

（1）若为等比数列，其公比，求；

（2）若为等差数列，其公差，证明：．

20．（本小题满分12分）

甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用局n胜制（当一选手先赢下n局比赛时，该选手获胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为．

（1）若，，比赛结束时的局数为X，求X的分布列与数学期望；

（2）若比对甲更有利，求p的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆的左焦点为，且过点．

（1）求C的方程；

（2）不过原点O的直线l与C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列．

（ⅰ）求l的斜率；

（ⅱ）求的面积的取值范围．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，，求实数a的取值范围．

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数学参考答案及评分细则

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

12345678

ADBCBDCB

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9101112

BCABDABDACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．1514．0.02415．16．4

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）

【解析】解法一：

（1）证明：连接BD交AC于点G，连接EG，1分

则G为DB中点，又E为中点，所以，2分

又平面ACE，平面ACE，所以平面ACE．4分

（2）如图，以A为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，5分

所以，．

设平面ACE的法向量为，

则，

令，则，，

所以取．6分

设，

则．

设平面ACF的法向量为，

则，令，则，，

所以取．7分

因为二面角的余弦值为，

所以，9分

解得，即．10分

解法二：

（1）如图，以A为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，1分

所以，．

设平面ACE的法向量为，

则，

令，则，，

所以取．3分

又，

所以，所以．5分

又平面ACE，所以平面ACE．6分

（2）设，则．

设平面ACF的法向量为，

则，令，则，，

所以取．7分

又平面ACE的法向量为，

且二面角的余弦值为，

所以，9分

解得，即．10分

18．（12分）

【解析】解法一：

（1）因为，

所以，2分

因为，所以，即．3分

又，所以．4分

又，所以，所以．5分

（2）因为，

所以

．

即，所以，所以．9分

因此，10分

又，所以，11分

所以，所以为直角三角形．12分

解法二：

（1）同解法一；5分

（2）因为，所以，

所以，

又，，

所以，

即．9分

又，10分

所以，

即，所以，

所以，所以．

因此，11分

所以，所以为直角三角形．12分

19．（12分）

【解析】解法一：

（1）因为为等比数列，，，

所以，所以．1分

又，所以是以为首项，为公比的等比数列，3分

所以．5分

（2）因为为等差数列，，，

所以，所以．7分

因为，即，

所以，9分

所以当时，

．

又符合上式，

所以．10分

所以

11分

．12分

解法二：

（1）同解法一；5分

（2）因为为等差数列，，，

所以，所以．7分

因为，即，

所以，9分

所以数列为常数列．

因此，

所以．10分

所以

11分

．12分

20．（12分）

【解析】解法一：

（1）依题意得，X所有可能取值为2，3．1分

，2分

，3分

所以X的分布列为

X23

p

4分

所以X的数学期望．5分

（2）若采用3局2胜制，甲最终获胜的概率为：

，7分

若采用5局3胜制，甲最终获胜的概率为：

，9分

若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，则，

即

，

解得．12分

解法二：

（1）同解法一；5分

（2）采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用表示3局比赛中甲获胜的局数，则，

甲最终获胜的概率为：

，7分

采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用表示5局比赛中甲获胜的局数，则，

甲最终获胜的概率为：

，9分

若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，则，

即

，

解得．12分

21．（12分）

【解析】（1）由题知，椭圆C的右焦点为，且过点，

所以，所以．2分

又，所以，3分

所以C的方程为．4分

（2）（ⅰ）由题知，直线l的斜率存在，且不为0．设，，，

则，所以，5分

所以，，6分

且，即．

因为直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列．

所以，即，

所以，且．7分

因为，所以，所以．8分

（Ⅱ）由（ⅰ）知，，所以，且．9分

设点O到直线PQ的距离为d，所以．

因为，所以，，

所以

，

又，且．所以

即的面积的取值范围．12分

22．（12分）

【解析】（1）依题意，得．1分

当时，，所以在