冀教版九年级数学上册 （解直角三角形）教育教学课件

26.3解直角三角形

ACBcba(1)三边之间的关系:a2+b2=_____；(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？c290°知识回顾

定义：一般地，直角三角形中，除直角外，还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.BACcab对边邻边斜边获取新知直角三角形中，未知的5个元素之间的关系①三边之间的关系BCAcba已知任意两边可求出第三边直角三角形中，未知的5个元素之间的关系②两个锐角之间的关系BCAcba已知一个锐角可求出另一个锐角直角三角形中，未知的5个元素之间的关系③边角之间的关系BCAcba关系式中有一角、两边三个量，已知任意两个量，可求第三个量直角三角形中，未知的5个元素之间的关系②两个锐角之间的关系BCAcba根据以上关系，若知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其他三个元素.①三边之间的关系③边角之间的关系:例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=34°，AC=6.解这个直角三角形.（结果精确到0.01）（sin34°≈0.60,cos34°≈0.56,tan34°≈0.67)ACB34°6尝试独立解决，再一起交流（1）欲求的未知元素有哪些？∠B、BC、AB（2）如何求∠B?利用∠A+∠B=90°例题讲解ACB34°6（3）如何求BC？所求的BC与已知的AC的比构成tanA,用tanA=BC:AC来求.（4）如何求AB?所求的AB与已知的AC的比构成cosA,用cosA=AC:AB来求.把所求的线段和已知的线段放到一个比例式中，确定是哪个角的哪个三角函数sin34°≈0.60,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67ACB34°6解：∠B=90°-∠A=90°-34°=56°.在Rt△ABC中∴BC=AC·tanA=6×tan34°≈6×0.6745=4.047想一想：求AB时，用勾股定理好不好？指明是哪个直角三角形指明是哪个三角函数导公式、计算不好，会增大结果的误差，应尽可能用原题中的数据.例2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=15，BC=8.解这个直角三角形.（角度精确到1”）ACB815（1）欲求的未知元素有哪些？∠A、∠B、AB（2）如何求∠A?已知的BC和AC的比构成tanA,用tanA=BC:AC来求.sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53ACB815（3）如何求∠B?（4）如何求AB?利用勾股定理.利用∠A+∠B=90°.例2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=15，BC=8.解这个直角三角形.（角度精确到1”）ACB8解：在Rt△ABC中∴∠A=28°想一想：求AB时，用sinA好不好？由边长可导出角度不好，会增大结果的误差，应尽可能用原题中的数据.sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.5315∴∠B=90°-∠A=90°-28°=62°.在Rt△ABC中，由勾股定理得1、数形结合有利于分析问题；2、选择关系式时，尽量使用原始数据，以防“累积误差”和“一错再错”；3、解直角三角形时，应求出所有未知元素。注意事项：解直角三角形的原则：（1）有角先求角，无角先求边（2）有斜用弦,无斜用切；宁乘毋除,取原避中。ABC550﹖例3

如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.DABC解：过点

A作

AD⊥BC于D.在△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°=.在△ABD中，∠B=30°，∴BD=∴BC=CD+BD=+┐CABDABCE求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适当的辅助线，将其转换为直角三角形来解.提示D归纳总结┐┐┐1.在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=3，AC=3,则∠B的度数为()A.90°B.60°C.45°D.30°C随堂演练2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=3，则BC的长为（）A.3sin35°B.2cos35°C.3cos35°D.3tan35°C3.在△ACB中，∠C=90°，AB=4,AC=3,欲求∠A的值，最适宜的做法是()A.计算tanA的值求出B.计算sinA的值求出C.计算cosA的值求出D.先根据sinB求出∠B，再利用90°-∠B求出C4.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：（1）a=，c=.（2）b=15，∠B=60°.解：（1）∵a=，c=，∴∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°.（2）∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=30°.∵b=15，∴.图②当△ABC为锐角三角形时，如图②，BC=BD+CD=12+5=17.图①解：∵cos∠B=，∴∠B=45°，当△ABC为钝角三角形时，如图①，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5∴BC=BD-CD=12-5=7；∴BC的长为7或17.当三角形的形状不确定时，一定要注意分类讨论.5.在△ABC中，AB=，AC=13，cos∠B=，求BC的长.解直角三角形依据解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素勾股定理两锐角互余锐角的三角函数课堂小结随堂演练1.下列说法不正确的是(

)A．矩形是平行四边形B．矩形不一定是平行四边形C．有一个角是直角的平行四边形是矩形D．平行四边形具有的性质矩形都具有B解直角三角形依据解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素勾股定理两锐角互余锐角的三角函数课堂小结解直角三角形依据勾股定理两锐角互余锐角的三角函数解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素解直角三角形的应用第1课时

在直角三角形中,除直角外,由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系:(必有一边)ACBabc知识回顾问题：（课本117页“做一做”）小明在距旗杆4.5m的点D处，仰视旗杆顶端A,仰角为50°；俯视旗杆的底部B,俯角为18°.求旗杆的高.（结果精确到0.1m）.小明ADB视线视线水平线4.5OC地平线解读:仰角、俯角是指视线与水平线的夹角.如：∠AOC是仰角.∠BOC是俯角.情景导入已知：如图，OD、AB均与BD垂直，垂足分别为点D、B,OC//BD,BD=4.5m，∠AOC=50°；∠BOC=18°.求AB的长度.（结果精确到0.1m）.先将实际问题转化为数学问题ADB4.5OC获取新知一起探究解：由题意可得，OC=BD=4.5在Rt△OCB中在Rt△AOC中∴AB=AC+BC=1.44+5.36=6.8东西北南O(1)正东，正南，正西，正北(2)西北方向:_________西南方向:__________

东南方向:__________东北方向:__________射线OAABCDOBOCOD45°射线OE射线OF射线OG射线OHEGFH45°45°45°认识方位角O北南西东(3)南偏西25°25°北偏西70°南偏东60°ABC射线OA射线OB射线OC70°60°认识方位角例1

如图所示，一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航线.在A处看见小岛C在船北偏东60°方向上，40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30°方向上.已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围是多暗礁的危险区.如果这艘渔船继续向东航线，有没有进入危险区的可能.BCA北30°60°解读：方位角：视线与正南（或正北）方向的夹角.思考：如何判断渔船有没有可能进入危险区？例题讲解BCA北30°60°分析：只需要计算垂线段CD的长度即可.CD即渔船与小岛的最近距离，当CD≥10时，没有危险；当CD＜10时，有危险.DBCA北30°60°DEF转化为数学问题：如图，AB的长为

海里，∠EAC=60°,∠FBC=30°,求CD的长.20BCA北30°60°DEF方法一：解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D.则∠CBD=60°,设BD=x在Rt△BCD中∴CD=BD·tan∠CBD=√3x在Rt△ACD中，解得，x=10∴渔船不会进入危险区.两个直角三角形△BCD与△ACD各用一次三角函数20BCA北30°60°DEF方法二：解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D.则∠CBD=60°,设CD=x在Rt△BCD中在Rt△ACD中，∴渔船不会进入危险区.两个直角三角形△BCD与△ACD各用一次三角函数20BCA北30°60°DEF方法三：解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D.则∠CBD=90°-30°=60°,∵∠1=90°-60°=30°∴∠2=∠1=30°∴BC=AB=20在Rt△BCD中∴渔船不会进入危险区.把已知数值导入Rt△CBD中，不再用设未知数1220BCA北30°60°DEF20BCA北30°60°DEF1220思考：用三角函数求边长，什么情况下需要设未知数、列方程？什么情况下不需要设未知数，可以直接求？方法一、二中已知边AB不是直角三角形的边长，需设未知数.方法三中导出BC=20，BC是直角三角形的边长，可直接计算，不设未知数.用三角函数求边长时的注意事项1.当给出的已知边长恰为直角三角形的边长时，可直接计算；2.当给出的已知边长不是直角三角形的边长时，可设未知数；3.当图形中出现两个直角三角形时，一般会用两次三角函数.1.如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为______m.（精确到0.1m,参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）9.5随堂演练2.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=____米.1003.如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为____海里(结果取整数)．(参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)114.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.ABCD40m54°45°ABCD40m54°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m.在Rt△ACD中，∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2答：旗杆的高度为15.2m.

5.如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：≈1.732,

≈1.414)．200km200kmC解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°