最优控制与滤波作业

#变分学=2极值曲线。1.求泛函J[x(t)]=fI(x2一x2)dt，的x(0)=1,x=2极值曲线。0其中A=01,B=10xu0001,x=1,u=1x2u22.已知线性系统的状态方程x=Ax+Bu给定x(°)=12xi⑵=0，求啲，使性能指标J=2f02IMId为最小。3.受控系统的状态方程、初始条件和目标集分别为*=—x、+xx(0=0?12ix2(t)+x2t)=t酢1x=ux(0=01f2ff221t试写出使J=2ftfu2dt为最小的必要条件，其末端时间是可变的。20f已知受控系统x=u,x(0)=1，试求u(t)和f使系统在tf时刻转移到坐标原点x(t)=0，且使J=12+Jtfu2dt为最小。ff0已知线性二阶系统的微分方程及初始条件为t=x2x(0)=1121x=ux(0)=122求最优控制U(t)，使4．5．a)J=J1u2dtx(1)=x(1)=00，12b)J=f1u2dt，x(1)=001c)J=ftfU2dtx(t)=c(t)=-t2c)0，1fff

d)e)x(t)=02fJ=JtfU2dtx(t)=d)e)x(t)=02f01fff为最小。注：其中a),b)求最优解，c),d),e)只需写出必要条件。•最小值原理1x(0=--1441。控制约束为x(0=--241・设受控系统为\=X2，X2=X3，X3=U，试写出在约束|U(t)*1条件下,系统由初始条件X1(0)=X2(0)=X3(0)=0转移到目标集：X1(tf)=tf,X2(tf)=X3^f)，且使性能指标J=!1x(0=--1441。控制约束为x(0=--24=+1<，试确定将|u(t<，试确定将|u(t)|2.考虑二阶系统124x=u2系统在时刻tf转移到零状态，且使性能指标J=『tfu2dt最小的最优控制，其f0中tf未定。•最优时间x=一x一u1.已知受控系统x1=_2x一2u，试求满足约束条件|u(t)|<1,将系统由任意给22定的初态(勺,MJ转移到坐标原点的时间最优控制u(x1，x2)。•LQ1.已知一阶受控系统x=u，x(t0)=x0。性能指标函数取为：

1T1J=2JT(u2+x2dt+2X2(T)，试求使性能指标J为最小的最优控制律t0u*(t)。2.一阶受控系统x=x+u,x(t0)=x0。性能指标函数取为：-TJ=2J7(U2+2X2)dt，试求使J为最小的最优控制律U^(t)Ot03．设线性系统及二次型性能指标分别为s3．设线性系统及二次型性能指标分别为sX=x—;]u，J=2广(ru2+x2)dt，试求XU2o12最优控制律。4．设线性系统的状态方程为：x(t)=4．设线性系统的状态方程为：x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)，初始条件为:x(t0)=x0，试求最优控制u*(t)，使性能指标：.1“2Q(t)M(t).x(t)Mt(t)R(t)1J_u(t)取极小值，并证明Riccatti方程及终端条件分别为：J=-XT(t)Fx(t)+-JtfrXT(t)UT(t)1ff2t0dtIP(t)=-P(t)A(t)-At(t)P(t)+KT(t)R(t)K(t)-Q(t)|P(t)=F，f式中K(t)=R-—(t)[Bt(t)P(t)+MT(t)1;F(t)MO对称,R(t)>0对称,Q(t)-M(t)R-—(t)MT(t)M0对称.5.设系统x@+1)=Ax(氐)+Bu(氐)为，其中A=:—,B=-,x(0)=—:[-111[11[11J=2刀[xj(k)+U2(k)],x(3)自由，求使J最小的最优控制序列；k=0J=2艺[x2(k)+U2(k)]+2xt⑶X(3)时，求使J最小的最优控制序列;k=0183)J=2'[X2(kHU2(k)]最小的最优控制律。3)k=0

•滤波1.分析如下系统x(k+1)=x(k),y(k)=x(k)+v(k)其中x为标量，)，k=0,1…｝为1维零均值高斯白噪声序列，其协方差矩阵R(k)(k=O,1，…)大于零且有界。假设x(O)为零均值高斯随机向量且独立于｛咻)，k=O,1…｝,且其方差矩阵P(0)=Ex2(0)是任意大的正数，即P(0)T8。试利用Kalman滤波公式证明：x=y(1)，p⑴=R(1)。Ix=x+®<kIx=x+®<k+1kk2.设标量系统］y=x+Vkkk，其中模型噪声亿｝和量测噪声匚｝为互不相关的零均值高斯白噪声序列，即=0，Ewv=0，Ewk=0，EvkEvv=R5kjkkj5kjkj1,k=j0,k工j，Eww=Q5,kjkkj,已知初始状态x0的统计特性为