模糊分析法解足球队排名问题-数学建模

模糊分析法解足球队排名问题摘要：本文解答了93年全国大学生数学建模竞赛B题，运用模糊聚类分析法，讨论了足球队比赛的排名问题。首先，我们将数据进行预处理，求出每队的胜，负，平以及总场数，归一化处理后作为建模的影响因子，然后由相似系数构建模糊相似矩阵，最后构建模糊等价矩阵截取进行排名，并将得到的结果从12支队推广到了N支队的情况。本文中所用的方法经过验证，得到的结果合理，可信。关键词：模糊分析法，相似系数，比赛排名一问题分析根据题目所给的表格，我们能得到的数据是残缺和不整齐对称的，这样就给排名造成了困难。例如在图表中，T1队和T2队打了三场比赛，和T5只打了一场比赛，和T11没打比赛。这样如果只是单纯的利用胜利的场数来进行排名，所得到的结果必定是不完善的，同时也是不准确的。因此为了得到较完善的结果，我们可以先将每个队所参加的比赛中，胜，负和平的场数列表如下，得到每个队实力的大概了解。场数队T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T12

胜10581221367612负5441253188563平463620332624总19151519951717171799接着，我们分析各队在每场比赛中的平均进球数，失球数和进失球数差数，这些数据也有助于我们进一步了解各队的实力。列表如下:表二T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T12进球1.410.81.330.6310.62.050.940.640.880.770.66数232917287失球0.940.660.81.681.441.20.580.82111.551数1744846进失0.470.430.53-1.05-0.44-0.61.470.11-0.35-0.11-0.77-0.33球过表一，二的分析，我们可以确定T7是最好的，T4是最差的，但是对于其他的球队仅以上述数据还是无法得出准确可信的排名。为了得出合理可信的排名，我们还应该考虑，Ti与其余各队的比赛成绩，由于有的对和其余的对没有比赛，其成绩难以确定。为了解决这个难题，我们准备先制定一个规则，为各队定义一组特征数据，同时计算各队之间的模糊相似度。最后综合表一二，即可得出合理的排名出来。二模型假设基本假设参赛各队存在客观的真实实力，这是任何一种排名算法的基础在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比是以它们的真实实力对比为中心的互相独立的正态分布，这条假设保证了我们可以以比赛成绩为依据对球队的真实实力进行排名，每场比赛对于排名的重要性相同，每个进失球对于排名也同样重要。确定各队的特征数据时，仅计算进失球的差数。建模假设根据生活经验可以知道，甲以一场2:1胜乙，易于两场都以2:1胜乙，同理更易于三场都以2:1胜乙。对于这种情况，我们在进行计算时要对数据加权。例如：r甲乙=(2-1)S,r甲乙=[(2-1)+(2-1)]/2*V，r甲乙=[(2-1)+(2-1)+(2-1)]/3*U。我们取U>V>S,且令S=1.0,V=1.2,U=1.4。Ti与Ti自身的特征数据为rii=O。用绝对值减数法确定Ti与Tj之间的模糊程度：x1—c兰Ir-rI;通ij=1ikjk1k=1过估算c=0.038；排名原则：越先聚为一类的队，名次越靠近。三建模及求解根据假设的模型，以及表一二的数据，可以计算出各队的特征数据如下，假设论域为T={T1,T2,T3,T4,T5,T6,T7,T8,T9,T10,T11,T12},于是有:r1={0,0,—0.466,2.334,2,1,—1.&—06,3,0,0,0}r2={0,0,—0.466,0,0.934,1,3,1,—1,1,—1,0,0}r3={0.466,0.466,0,0.934,1,3,1,—1,1,—1,0,0}r4={—2.334,0,—1,1,0,—1,0,0,0,0,0,—0.6}r5={—2,0,—1,1,0,—1,0,0,0,0,0,—0.6}r6={—1,—1,—3,1,1,0,0,0,0,0,0,0}r7={1.8,0,-1,3.6,0,0,0,1.4,2.334,2.334,2,2}r8={0.6,0.1,0.6,0,0,—1.4,0,0,0,2,0}r9={—3,—2,—1,0.6,0,0,—2.334,0,0,1.866,1,1}r10={0,2,1,06,0,0,-2.334,0,-1.866,0,1,2}r11={0,0,0,0,0,0,—2,—2,—1,—1,0,—0.466}X：r12={0,0,0,0,0,06,0,—2,0,—1,—X：10.6660.5440.3510.4730.4960.3390.5140.3060.3460.5110.52610.6410.3970.650.5970.3890.590.3510.3920.5870.67810.2750.4830.5060.1820.4930.1840.2960.5310.51610.6450.5110.0040.4530.5690.3720.6020.57210.7490.3130.620.5740.4220.5770.557X=10.260.5670.5210.3690.4880.54910.4050.3030.2370.1290.17910.5290.6810.6480.699接着，利用绝对值减数法，可以计算乌与Tj的模糊相似程度丫，于是有模糊相似矩阵10.4780.420.47110.5720.62310.8281有前面的表一二分析得，T4为倒数第一名。再根据上面的模糊相似矩阵可以得出T1~T12中与T4的相似系数为：表三T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T120.3510.3970.27510.6450.5110.0040.4530.5690.3720.6020.572为了便于观察，我们将X4j（即j队与4队的相似程度）用Tj来表示，知道T5=0.645是除T4外最大的首先与T4聚成一队的是T5,因此可以得出T5为倒数第二名。同理，再由模糊相似矩阵得首先与T5聚成一队的是T6,则T6为倒数第三名，依次类推则可得出排名如下表：表四名次123456789101112队名T7T3T1T9T10T8T11T12T2T6T5T4根据模型的假设与模糊矩阵的计算，使得我们的排名具有一定的准确性和可信性。四模型的合理性分析及推广讨论上述模型的优点在于：1）它存在反馈机制，并且具有稳定性，保证了排名的公平和令人信服。2）对要比较的两队之间没有必须比赛的要求，即使有部分数据残缺也不影响模型的建立及问题的求解。3）以上所作出的排名算法很容易得到推广，当队数不是12而是N时，可以利用计算机来进行计算。此外，我们的算法还受到一些条件的约束：1）当有二个队的比赛成绩完全一样时，该算法不能排出名次来;2）当根据比赛成绩无法判断哪些队成绩较好或较差时，算法无法排出名次;3）当数据残缺太多时，无法排出名次。参考文献【1】邬学军，数学建模竞赛入门与提高，浙江大学出版社，2012.1【2】姜启源，谢金星，数学模型案例选集，高等教育出版社2006-7-1怎样写作数学建模竞赛论文一如何建立数学模型一建立数学模型的涉骤和方法建立数学模型没有固定的模式，通常它与实际问题的性质、建模的目的等有关。当然，建模的过程也有共性，一般说来大致可以分以下几个步骤：形成问题要建立现实问题的数学模型，首先要对所要解决的问题有一个十分明晰的提法。只有明确问题的背景，尽量弄清对象的特征，掌握有关的数据，确切地了解建立数学模型要达到的目的，才能形成一个比较明晰的“问题”。假设和简化根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的假设和简化。现实问题通常是纷繁复杂的，我们必须紧紧抓住本质的因素（起支配作用的因素），忽略次要的因素。此外，一般地说，一个现实问题不经过假设和简化，很难归结为数学问题。因此，有必要对现实问题作一些简化，有时甚至是理想化3.模型的构建根据所作的假设，分析对象的因果关系，用适当的数学语言刻画对象的内在规律，构建现实问题中各个量之间的数学结构，得到相应的数学模型。这里，有一个应遵循的原则：即尽量采用简单的数学工具。4.检验和评价数学模型能否反映厡来的现实问题，必须经受多种途径的检验。这里包括：（1）.数学结构的正确性，即有没有逻辑上自相矛盾的地方；（2）.适合求解，即是否有多解或无解的情况出现；（3）.数学方法的可行性，即迭代方法是否收敛，以及算法的复杂性等。而更重要和最困难的问题是检验模型是否真正反映厡来的现实问题。模型必须反映现实，但又不等同于现实；模型必须简化，但过分的简化则使模型远离现实，无法解决现实问题。因此，检验模型的合理性和适用性，对于建模的成败是非常重要的。评价模型的根本标准是看它能否准确地反映现实问题和解决现实问题。此外，是否容易求解也是评价模型的一个重要标准。模型的改进模型在不断检验过程中经过不断修正，逐步趋向完善，这是建模必须遵循的重要规律。一旦在检验中发现问题，人们必须重新审视在建模时所作的假设和简化的合理性，检查是否正确刻画对象内在的量之间的相互关系和服从的客观规律。针对发现的问题作出相应的修正。然后，再次重复上述检验、修改的过程，直到获得某种程度的满意模型为止。模型的求解经过检验，能比较好地反映厡来现实问题的数学模型，最后将通过求解得到数学上的结果；再通过“翻译”回到现实问题，得到相应的结论。模型若能获得解的确切表达式固然最好，但现实中多数场合需依靠电子计算机数值求解。电子计算机技术的飞速发展，使数学模型这一有效的工具得以发扬光大。数学建模的过程是一种创造性思维的过程，对于实际工作者来说，除了需要具有想象力、洞察力、判断力这些属于形象思维、逻辑思维范畴的能力外，直觉和灵感往往不可忽视，这就是人们对新事物的敏锐的领悟、理解、推理和判断。它要求人们具有丰富的知识，实惯用不同的思维方式对问题进行艰苦探索和反复思考。这种能力的培养要依靠长期的积累。此外，用数学模型解决现际问题，还应当注意两方面的情况。一方面，对于不同的实际问题，通常会使用不同的数学模型。但是，有的时候，同一数学模型，往往可以用来解释表面上看来毫不相关的实际问题。另一方面，对于同一实际问题要求不同，则构建的数学模型可能完全不同。二写作数学建模竞赛论文应注意的问题：论文格式论文的封面：题目参赛队员：………指导教师：……单位：论文的第一页是摘要，第二页开始是论文的正文，论文要有以下几方面的内容：—一问题的提出——.问题的分析三.模型的假设四.模型的建立五.模型的求解六.模型的检验七.模型的修正八.模型的评估九.附录以上各部分内容应该都是要具备的，但有些步骤可以合并在一起。例如：问题的提出与问题的分析，模型的假设与模型的建立，模型的检验与模型的修正等。下面就每一步以及建模过程中应注意的几个问题作一简要介绍。审题：赛题一般有两道(研究生的竞赛有4道题)，我们可以从中任选一道，这就面临选哪道题合适的问题。因此，首先必需弄清题目的意义。数学建模的题目有时很长，有时很复杂。不易弄懂它的意义，一般要用几个钟头的时间才能弄清楚它的含义。因此我们要求：.深刻理解题意.弄清题目的实际背景正确选择题目，根据自身的特长和优势作出决定。要注意不要被题目的繁长的叙述哧住，碰到长的题目要有耐心，要仔细的分析题目的各部分内容、条件和要求。当选定题目后，接下来就应该是对题目进进一步的分析。下面的几项工作是必需要做的：.在弄清问题的背景下，说清事情的来龙去脉。.列出必要的数据，题目所给的数据往往是不够的，还要寻找题目以外的数据。.列出和题目相关的各种条件和变量，分清各变量之间的主从关系。.给出研究对象的关键信息内容。4.在分析问题的基础上，提出合理的假设模型是在假设的前提下建立起来的。对情景的说明不可能也不必要提供问题的每一个细节。由题目所提供的假设来建立数学模型还是不够的，还要补充一些假设。假设是建立数学模型很关键的一步，关系到模型的成败和优劣。所以应该仔细地分析实际问题，从大量的变量中筛选出最能表现问题本质的变量，并简化它们的关系。这部分内容就应该在论文的问题的假设部分中体现。由于假设不是实际问题直接提供的，它因人而异，所以，在撰写这部分内容时要注意以下几个方面：论文中的假设要以严格、确切的数学语言来表达，使读者不致产生任何曲解。所提出的假设确实是建立数学模型所必需的，与建立数学模型无关的假设只会扰乱读者的思考假设应该是合理的；怎样的假设才是合理的呢？a.假设应合乎生活常识。b.假设不能与已知的科学定律相悖。c.假设必需是对建模有用的。d.尽量使用数学的语言。e.假设不要超出题目要求的范围。假设这一步是数学建模的一个难点，它关系到建模的成败和优劣，数学建模的假设就是要发挥每个人的想象力和创造力，提出适当的、合理的、有创新的见解。如果这一步成功了，那么你的整个建模过程也就成功了一半。5在假设的基础上下一步当然就是模型的建立。在建立模型之前要引进变量及其记号。每个字母所表达的确切含义。经过抽象，确切表达各变量之间的关系，用一定的数学方法，建立起方程式或归纳为其它形式的数学关系式，如图形、表格等。在建模过程中要注意以下几个问题：要用分析和论证的方法，让读者清楚地了解得到建模的过程。上下文之间切忌逻辑推理过程中跃度过大，影响论文的说服力。需要推理和论证的地方，应该有推导过程且应该力求严谨。引用现成定理时，要先验证满足定理的条件。论文中用到的各种数学符号，必须在第一次出现时加以说明。模型的求解把实际问题归结为一定的数学问题后，就要求解或进行分析，数学模型的求解多数是数值求解。在求解时应对计算方法有所说明。使用何种数学软件，给出计算程序(通常以附录形式给出)。有时还用图形或表格形式表出计算结果。有些模型还要作稳定性或灵敏度分折。模型的检验数学模型未必都是正确的，这就需要检验，如何检验检验是否符合生活常识；用己给的数据检验；用分析推理检验。模型的评估模型的优缺点对自已建立的模型要有正确的评价，既要实事求是，不要过分谦虚，也不要过分誇张。模型的推广，模型的适用范围。对所作的模型，可以作多方面的讨论，例如可以就不同的情景，探索模型将如何变化；也可以根据实际情况，改变文章中的某些假设，指出由此引起数学模型的变化。还可以用不同的数值方法进行计算，并比较所得结果。甚至可以拓广思路，考虑由于建模方法的不同选择而引起的变化。论文写作中语言表述应注意的问题。语言是构成论文的基本元素，数学模型论文的语言与其他科学论文的语言一样，要求达意、精炼，不要把一个句子写得太长，使人不甚辛读。语言中应多用客观陈述句，切忌使用你、我、他等代名词和带主观意向的语句。要特别注意以下几点：语言要简炼清晰，不要用含糊不清、莫临两可的语言。不要随意造句。不要用倒装句⑷要通俗易懂如何写论文摘要竞赛论文要求写论文摘要，摘要放在论文写完最后写。摘要不是提纲，摘要应把论文的主要思想方法、结论和模型的特色讲清楚。让人看到论文的新意。摘要是给读者和评阅专家的第一印象，直接影响到能否获奖的重要因素。从98年开始，由于参赛规模的不断扩大，为了节省阅卷时间和质量，规定论文摘要写祥细一些（研究生的也一样）。即评阅论文时，先看摘要，如果看了你论文的摘要，认为这篇文章不值得参加评奖，则就被打掉。因此希望大家要十分重视论文摘要的写作。最后论文要用计算机打印出来，装订好连同电子版上缴，论文一律用A4打印。数学建模竞赛为大学生（研究生）提供了一个表达聪明才智的舞台。你们有这样的机会应该感到高兴。希望大家发扬赶想、赶干，勇于创新，不畏困难的精神。多用形象思维的方法。什么是形象思维，李大潜院士举了两个非常生动有趣的例子：一个是毛主席诗词的“渔家傲”词的最后一句“换起工农千百万，同心干，不周山下红旗乱，用了共工头触不周山的故事。毛主席的原词是：渔家傲反第一次大“围剿”一九三一年春万木霜天红烂漫，天兵怒气冲霄汉。雾满龙冈千嶂暗，齐声唤，前头捉了张辉瓒。二十万军重入赣，风烟滚滚来天半。唤起工农千百万，同心干，不周山下红旗乱。《关于共工头触不周山的故事：“淮南子.天文训”：“昔者共工与颛顼（zhuanxu）争为帝，怒而触不周之山，天柱拆，地维绝。天倾西北，故日月星辰移焉；地不满东南，故水潦尘埃归焉。”》。毛按：诸说不同。我取《淮南子•天文训》，共工是胜利的英雄。你看“怒而触不周之山，天柱拆，地维绝。。”他死了没有呢？没有说。看来是没有死，共工是确实胜利了。》毛主席亲自加了按语，说他用了《维南子.天文训》的典故：“怒而触不周山，天柱折，地维绝”。毛主席写道：“他死了没有呢？没有说。看来是没有死，共工是确实胜利了。”这就完全是一种形象思维。若按形式逻辑，“他死了没有呢？”没有说，就存在两种可能性：一是死，一是活：如果再细分一下，活的当中还可分为未受伤、受轻伤、受重伤、伤重垂危等等情况。这样一来，诗味就完全没有了。而毛主席用形象思维，从“没有死”，至【」“看来没有死”，至【」“确实胜利了”，思维大踏步跳跃前进，为他的诗作提供了依据，也充分表现了对一个英雄的歌颂和崇敬的心情，使诗意得到了升华。李大潜院士说：在文学与诗的境界里，如果滥用逻辑思维，就会失去诗的意境，味同嚼蜡。他举了另一个例子，李商隐（晚唐时期著名诗人，特别专长写爱情诗）的爱情诗是很有名的，他的一首“无题”是这样写的：相见时难别亦难，东风无力百花残。春蚕到老丝方尽，蜡炬成