最小二乘法数据拟合

《数值计算方法》课程设计题目：用最小二乘法实现数据拟合专业：数学与应用数学班级：2013级2班姓名：目录：一、摘要错误！未定义书签。二、应用计算方法的基本原理错误！未定义书签。1•最小二乘法线性拟合错误！未定义书签。算法描述错误！未定义书签。1.2误差估计错误！未定义书签。2.最小二乘法非线性拟合错误！未定义书签。三、例题的计算结果错误！未定义书签。四、总结及心得体会错误！未定义书签。五、参考文献错误！未定义书签。六、附录程序错误！未定义书签。—、摘要本文主要依据最小二乘法对任意一组数据进行线性拟合和非线性拟合。因为在实际生活中，常常需要从一组测量数据中找出一定规律的数学表达式，从而得出一些有利的结论，所以分析数据是必不可少，最小二乘法的曲线拟合是数据转化的重要的方式之一。用最小二乘法拟合数据大概分为两类：线性拟合和非线性拟合。一般先测量数据在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点同哪类曲线图形接近,然后选用相近的线性或非线性的曲线去拟合数据，非线性的曲线再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，进而用matlab编写程序求出拟合函数表达式。关键字：线性拟合，最小二乘法，matlab软件，M文件二、应用计算方法的基本原理1.最小二乘法线性拟合1.1.算法描述在科学实验中，常常需要从一组测量数据中找出实验规律的数学表达式，用最小二乘法拟合数据是常用的数学方法。最小二乘法拟合就是在一类曲线①中求一曲线(PCO,使之被拟合曲线f(x)在节点□,•••,&的误差平方和<p(%i)]2最小。设定数据组(%u7i)(i=1,2,…，n),(PqM,010),…，(pm(x)为已知的一组[a,可上线性无关的函数，选取近视函数为：<P(x)=aoPoO)+5010)+…+(pm(%)(1)k^On=gbzi-血)]k^On=gbzi-血)]2屮i^l工5少一<pUi)]2=》◎汛2)i=1其中，>0(i=1,2,-,71)为权系数；H为0000,01(%)，•••,%!(%)的线性组合的全体，特别的可取<p(x)=xk(k=0ll,-,m)o必-工讪上(恋)k=0由于gj)为已知，故可令：必-工讪上(恋)k=01=1①(為,"…，®“)=》5少一<pUi)]2=》◎1=1(3)曰日即可将上述数据拟合问题归结为求多元函数的极值问题。要使得①(a。,a.…，偽“)取极小值，则a。,…，偽“必须满足条件:訂=o(j=0乙…，m)Udj(j=0丄…，m)(j=0丄…，m)n=啊(匕)(/=0,1,…小)1^1n=啊(匕)(/=0,1,…小)1^1m「n工阪》5%(兀)Q(兀)k^OL^l⑷令n@k,⑺)=》3%g<pja)1=1

（y®）=》3以竹（兀）逾別嘲示成瓯舸步式:.（y®）=》3以竹（兀）逾別嘲示成瓯舸步式:.l=t（po,（pQ

@1,00）（甲1，01）…@皿加）•••••••••Wm40）@加0）・・•«0'■■■^n.O"o)・①0)■由处（x）伙=0丄…，n）线性无关可导出（5）中的系数矩阵非奇异，即方程组（4）的解存在唯一，即a。卫1,…gm存在且唯一，可求得拟合函数:<pU)=QoOo(x)+ai(pi(x)+・・・+am(pm(%)1.2.误差估计在最小二乘法数据拟合曲线算法中，一般取2-范数作为总体误差，即最小二乘法数据拟合曲线算法中误差—8=l|e||2=2.最小二乘法非线性拟合71=1£分=工［）勺_8=l|e||2=2.最小二乘法非线性拟合71=1一些实际问题中的数据分布需要用非线性的函数屮（兀）去拟合，一般先测量数据在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点同哪类曲线图形接近，然后选用相近的曲线拟合方程，再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表示的吓拟合8=l|e||2=解出后再还原为原变量所表示的吓拟合8=l|e||2=可銀作为总体误差，即:工分=足少-血）］2i=l三、例题计算结果1.最小二乘法线性拟合1.1.设从某一实验中测的两个变量X和y的一组数据如下所示:■112345689X134568910xxy1054211234求该数据的拟合多项式及其误差。解：首先利用matlab画出数据分布趋势图（详细见程序1）,如下图：宙Figure1由上图观察可知，可建立的拟合函数丫=Qo+5%+^2*利用matlab求得拟合函数:y=13.4597-3.6053%+0.2676%2误差：5=||e||2=1.0056拟合图像如下：hSFigure1o2.最小二乘法非线性拟合2.1.求下列数据的拟合函数：X0.10.20.30.40.50.60.70.80.91y2.744.505.355.655.906.106.266.396.506.59首先利用matlab画出数据分布趋势图（详细见程序1）,如下图:由上图观察可知，可建立的拟合函^y=a+-则等式两边同时乘以兀得xy=b+ax利用matlab求得拟合函数中b=-0.5119a=7.0367故拟合函数为：y=7.0367-更竺X拟合图像如下：aaFigure1nx四、总结及心得体会最小二乘法是指使因变量估计值与实测值间的相对误差平方和为最小。通过此次课程设计，能够运用最小二乘法原理來拟合数据间的线性和非线性关系,并求出数学表达式。但求解过程中也存在舍入误差和数据在运算中形成的矩阵奇异，从而所得结果可能不准确。五、参考文献[1].杜廷松.数值分析及实验[M].北京：科学出版社，2012.[2].熊庆如.MATLAB基础与应用[M].北京：机械工业出版社，2014.六、附录程序M文件：%将转置后的矩阵%将转置后的矩阵b内元素的(k-l)fundion[a,w]=ff(x,y,m)n=length(x);d=0;t二zeros(1,m+1);

b二zeros(n,m+1);fork=l：m+lb(:,k)=x•「(k-1);%计算出x的长度%将上赋为1行m+1列的零矩阵%将1)赋为n行m+1列的零矩阵%计算出x%计算出x在所求拟合函数的值%计算出衣=||e||^%计算出误差6=11e||2end幕赋为矩阵的第k列的元素S二b'*b:%利用矩阵b计算出s=^=Qxl+kt二b'*y';%利用矩阵b,计算出t=Xi=oy^a二(inv(s)*t)'利用sXXk=oak=上计算出系数af二zeros(1,n);%将f赋为1行n列的零矩阵fori=0:1:me=a(i+l)*(x.'i);f二e+f;endfori=l:ng=(f(i)-y(i))*2;d=g+d:endw二sqrt(d);命令行：程序1：»x=[l345678910];»y=[1054211234];>>plot(x,y/o')»m二2;>>[a,w]=ff(x,y,m)a二13.4597-3.60530.2676w二1.0056程序2：»x=0.1:0.1: