2022年新高考天津数学高考真题

2022年新高考天津数学高考真题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设全集{-2,-1,0,1,2},集合/={0,1,2},贝1」/口（1；方）=（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{0,-1,1,2}

2.“x为整数”是“2x+I为整数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.函数/（x）=EH的图像为（）

贝（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

5,化简(21og43+lo&3)(log32+log92)的值为()

A.1B.2C.4D.6

6.已知抛物线/=4后,斗鸟分别是双曲线W-4=1S〉O力〉0）的左、右焦点，抛物

a~b~

线的准线过双曲线的左焦点耳，与双曲线的渐近线交于点若4/个则双曲线

试卷第1页，共4页

的标准方程为（）

2

xr2iB.x2-^-=\

A.---y=1

1016

x2

c.入卜D.---y2=1

4

7.如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三

8.已知〃x）=；sin2x,关于该函数有下列四个说法:

①/（x）的最小正周期为2兀；

②Ax）在[-蓊]上单调递增;

③当J,]时，/（X）的取值范围为-半，半；

o344

④f（x）的图象可由g（x）=1sin（2x+：）的图象向左平移9个单位长度得到.

243

以上四个说法中，正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

9.为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单

位：kPa）的分组区间为[12,13）,[13,14）,[14,15）,口5,16）,[16,17],将其按从左到右的顺序

分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方

图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效

的人数为（）

试卷第2页，共4页

D.18

二、填空题

10.已知i是虚数单位，化简1l-二3i2的结果为

1+21-----------

11.(4+1，的展开式中的常数项为.

12.若直线/、+，〃=0(〃?>0)与圆(》_1)2+&-1)2=3相交所得的弦长为〃?，则加=

13.设aeR,对任意实数x,iB/(x)=min{|x|-2,x2-ar+3a-5}.若至少有3

个零点，则实数。的取值范围为.

三、双空题

14.52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到4的概率为

;已知第一次抽到的是4则第二次抽取/的概率为

15.在“8C中，CA=a,CB=h,。是4C中点，CB=2BE，试用2花表示万方为

，若而J_瓦，则NNCB的最大值为

四、解答题

16.在中，角/、B、C的对边分别为a,b,c.己知a==2c,cos/=—1.

4

⑴求c的值；

(2)求sin8的值；

(3)求sin(24-B)的值.

试卷第3页，共4页

17.直三棱柱Z2C-481G中，AA.=AB^AC=2,AAXVAB,ACVAB,。为4片的中

点，E为/4的中点，产为8的中点.

⑴求证：EF〃平面4BC；

(2)求直线BE与平面CCQ所成角的正弦值；

(3)求平面4。与平面CCQ所成二面角的余弦值.

18.设｛叫是等差数列，｛"｝是等比数列，且％=仇=%-4=%-4=1.

⑴求｛叫与也｝的通项公式；

⑵设｛%｝的前n项和为S“，求证：(\+i+%)b,=S„+lb„+t-S„b„；

⑶求才4+I-(T)Z]d.

k=l

22BFJj

19.椭圆r会+v｝=1(。>6>°)的右焦点为F、右顶点为4上顶点为瓦且满足77=V

(1)求椭圆的离心率e；

(2)直线/与椭圆有唯一公共点与>轴相交于N(N异于M).记。为坐标原点，若

\OM\=\ON\,且AOMN的面积为百，求椭圆的标准方程.

20.已知a,6eR,函数/(X)=e*-asinx,g(x)=分五

⑴求函数y=/(x)在(OJ(O))处的切线方程；

(2)若y=/(x)和y=g(x)有公共点，

(i)当〃=0时，求b的取值范围；

(ii)求证：a2+l)2>e.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】先求出再根据交集的定义可求

【详解】0,5={-2,0,1},故zn&8）={O,l},

故选：A.

2.A

【分析】由当x为整数时，2x+l必为整数；当2x+l为整数时，x比一定为整数；即可选出

答案.

【详解】当x为整数时，2x+l必为整数；

当2x+l为整数时，x比一定为整数，

例如当2x+l=2时，x=~.

2

所以"x为整数”是"2x+l为整数”的充分不必要条件.

故选：A.

3.D

【分析】分析函数/（》）的定义域、奇偶性、单调性及其在（-与0）上的函数值符号，结合排

除法可得出合适的选项.

【详解】函数/（》）=七二的定义域为{巾#0},

且上力山一小），

-XX

函数/（X）为奇函数，A选项错误；

又当x<0时，/（x）=l——^<0.C选项错误；

当x>l时，/（x）=H=三1=尤-工函数单调递增，故B选项错误；

XXX

故选：D.

4.C

【分析】利用幕函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出。、6、c的大小关系.

答案第1页，共14页

【详解】因为2°，>（；）>0=log,1>log2,故a>b>c.

故答案为：C.

5.B

【分析】根据对数的性质可求代数式的值.

【详解】原式=(2x；log23+1log23)(log,2+1log,2)

43

=31Og23X21O8l2=2,

故选：B

6.C

【分析】由已知可得出。的值，求出点A的坐标，分析可得|/用=|月由此可得出关于

“、6、。的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.

【详解】抛物线/=4氐的准线方程为》=-石，贝隈=石，则片卜石,0)、居(右,0),

X——C

不妨设点A为第二象限内的点，联立be,即点"J，

x=-c

因为g1即且,则△桃/为等腰直角三角形,

且M用=闺用，即如=2c,可得2=2,

所以，卜=石，解得6=2,因此，双曲线的标准方程为-片=1.

c2=a2+b2c=4

故选：C.

7.D

【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.

【详解】该几何体由直三棱柱/尸O-8HC及直三棱柱OGC-4E8组成，作，C3于此

如图，

因为CH=BH=3,ZCHB=120°,所以CA/=8M=—,HM=-,

22

因为重叠后的底面为正方形，所以48=8C=36,

答案第2页，共14页

在直棱柱中，4B1平面BHC,则

由Z8C8C=5可得MW_L平面ADCB,

设重叠后的EG与FH交点为/,

则%皿=；x3百x3GxT=§,%。-丽=Jx3ex|x3^=?

o127

则该几何体的体积为嗅2VAFD_BHC-么皿=2x亍-彳=27.

故选：D.

8.A

【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假.

【详解】因为〃x)=gsin2x,所以/(x)的最小正周期为7=等=兀，①不正确；

令f=2xe,而好gsinf在一会上递增，所以/")在［-苦］上单调递增，②正

确；因为f=2xe,sin/e--^,1,所以/(x)e-日，③不正确；

由于g(x)=〈sin(2x+?)=：sin2|x+^|,所以/(x)的图象可由g(x)=工皿2》+勺的图象

242\o/24

向右平移2个单位长度得到，④不正确.

O

故选：A.

答案第3页，共14页

9.B

【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数,

从而可以求得结果.

【详解】志愿者的总人数为ex2；50,

(0.24+0.16)x1

所以第三组人数为50x0.36=18,

有疗效的人数为18-6=12.

故选：B.

10.l-5i##-5i+l

【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出.

ll-3i_(ll_3i)0_2i)=ll-6-25i

【详解】l+2i―(l+2i)(l-2i)—5-'

故答案为：l-5i.

11.15

【分析】由题意结合二项式定理可得(4+^的展开式的通项为［“=《•・3、工三，令

等=0,代入即可得解.

【详解】由题意(6+l)的展开式的通项为配」=4(五厂(1)=G3.x芋，

令^^=0即r=l,则G-3'=C；・3=15,

所以的展开式中的常数项为15.

故答案为：15.

【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

12.2

【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于加的等式，即可解得加的值.

答案第4页，共14页

【详解】圆(x-iy+(y-l)2=3的圆心坐标为(1,1),半径为6,

o)的距离为卜;制m

圆心至1J直线x-y+机=0(m>

727F

由勾股定理可得因为m>0,解得加=2.

故答案为：2.

13.a>10

【分析】设g(x)=x2-ax+3”5,A(x)=|x|-2,分析可知函数g(x)至少有一个零点,可

得出A20,求出。的取值范围，然后对实数。的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出

关于实数。的不等式，综合可求得实数。的取值范围.

【详解】设g(x)=x?-ax+3a-5,//(x)=|x|-2,由|x|-2=0可得x=±2.

要使得函数/(x)至少有3个零点，则函数g(x)至少有一个零点，则△=a2_]2a+20N0,

解得QW2或4210.

①当a=2时，g(x)=x2-2x+l,作出函数g(x)、〃(x)的图象如下图所示：

②当a<2时，设函数g(x)的两个零点分别为X1、x2(x,<x2),

要使得函数/(x)至少有3个零点，则匕4-2,

所以，2,解得

g(-2)=4+5a-5>0

③当a=10时，g(x)=x2-10x+25,作出函数g(x)、〃(x)的图象如下图所示:

答案第5页，共14页

由图可知，函数/(x)的零点个数为3,合乎题意；

④当a>10时，设函数g(x)的两个零点分别为七、x4(x3<x4),

要使得函数/(x)至少有3个零点，则当之2,

色>2

可得彳2,解得。>4,此时a>10.

g(2)=4+d-5>0

综上所述，实数”的取值范围是［10,”).

故答案为：［10,+8).

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

11

14.

22117

【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到/的概率，再由条件概率的公式即可

求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率.

【详解】由题意，设第一次抽到/的事件为8,第二次抽到/的事件为C,

1

则P（8C）=Wxa=-L,P（8）=3=',P（C|8）=^^=¥=L

'752512215213v7P（B）J_17

13

1

故答案为：--；

22117

31-71

15.—br——a

226

答案第6页，共14页

【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出示，以旧,可为基底，表示出

国，金，由N8LQE可得犷+/=4。£，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以点£为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0),8(l,0),C(3,0),/(x,y),由可

得点A的轨迹为以例(TO)为圆心，以r=2为半径的圆，方程为(X+1)2+/=4,即可根据

几何性质可知，当且仅当C4与。"相切时，NC最大，即求出.

【详解】方法一:

=47234加霜=书一22当曾=立

~丁2-2，当且仅当同=追网时取等

3b+a耶4琲|4冲-5

TT

号，而0<44。8<兀，所以乙4C5W(0,7].

6

3—1一TT

故答案为：—b——a；—.

226

方法二：如图所示，建立坐标系：

E(0,0),%0),C(3,0),/(3),无=(-岑,-9,存=(I,-历,

DE1AB^>(g^)(x-1)+三=0=(x+1)?+_/=4,所以点A的轨迹是以历(-1,0)为圆心,

以,・=2为半径的圆，当且仅当。与。“相切时，NC最大，此时

答案第7页，共14页

sinC=—=-=-,ZC=-

CM426

3—1-•IT

故答案为：—ft--tz；—.

226

16.(l)c=l

0、.Vio

(2)sinB=---

4

(3)sin(2J-B)=

【分析】(1)根据余弦定理/=/+。2—2历cosN以及8=2c解方程组即可求出;

(2)由(1)可求出6=2,再根据正弦定理即可解出;

(3)先根据二倍角公式求出sin24cos24,再根据两角差的正弦公式即可求出.

(1)

因为/=/+H-2bccos%,BP6=ft2+c2+^bc,而b=2c,代入得6=4(?+，+c?,解得:

c=l.

(2)

由(1)可求出6=2,而0</<兀，所以sin/=Jl-cos2Z=巫,又，一=工,所以

4sinAsinB

9叵

.bsin4*V10.

sinBn=--------=-----7=^—=-----

V64

(3)

因为cosH=-：,所以(兀，故0<8<g,又sin/=Jl-cos〜=巫,所以

4224

217

sin2A=2sinJcosA=2x,cos2/i=2cosA—\=2x-----1=—,而

168

sinB=,所以cosB=>/l-sin2B=，

44

故sin(2J-5)=sin24cosB-cos2AsinB=

17.(1)证明见解析

⑶噜

答案第8页，共14页

【分析】(1)以点4为坐标原点，44、4与、4G所在直线分别为x、y、z轴建立空间

直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；

(2)利用空间向量法可求得直线8E与平面CG。夹角的正弦值；

(3)利用空间向量法可求得平面4co与平面cctD夹角的余弦值.

(1)

证明：在直三棱柱/8C-44G中，平面/£G，且则

以点4为坐标原点，9、44、4G所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间

则4(2,0,0)、8(2,2,0)、42,0,2)、4(0,0,0)、与(0,0,2)、C,(0,0,2),。(0,1,0)、

^(1,0,0),尸[，；，】)，则访

易知平面/8C的一个法向量为京=(1,0,0),则丽福=0，故而

•••EFU平面/8C,故EF〃平面4BC.

(2)

解：束=(2,0,0),QD=(O,l,-2),丽=(1,2,0),

设平面CCQ的法向量为£=(占,如zj,贝”人黑=2%：°

M-2Z]=0

一/、-EB'U4

取必=2,可得“=(0,2,1),cos<£S,M>=i=™=-.

答案第9页，共14页

4

因此，直线8E与平面CG。夹角的正弦值为

(3)

解：布=(2,0,2),而二(0,1,0),

设平面4。的法向量为工=(%,%,22),贝小［空2%+：~20,

的4。=%=。

-、—u-v1V10

取匕=1,可得v=(l,0,T),则c°s<"，"=丽"及正=一记

因此，平面4s与平面cq。夹角的余弦值为典.

10

18.(l)a„=2n-\,b„=2"-'

(2)证明见解析

(6»-2)4"+,+8

zx

【分析】(1)利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；

(2)由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；

(3)先求得［/*-(-1)2"47］怎_1+%"「(-1产//&,进而由并项求和可得

北=£八4"1,再结合错位相减法可得解.

A=1

(1)

设公差为d,也｝公比为g,则%=i+(〃-i)4也=小，

[1+d-q=1

由%一①=%-4=1可得%+2]_/=]="=«=2（d=q=0舍去）,

所以。，=2〃-1也=2"，

(2)

证明：因为%=2%,产0,所以要证(\+1+an+l)b„=S/也Z-S也,

即证（S,川+。，川即=S„+,-26,-S„b„,即证4+/=2S„+,-S“,

即证。用=S,,+「S„,

答案第10页，共14页

而-=s向-s”显然成立,所以⑸-次=S„+l-b„+i-S„-bn；

(3)

因为［%*-(T严。2/-1］怎-1+［。2川-(T)*a］1

=(4k-l+4k-3)x22k-2+［4k+\-(4k-\)］x22k-'=2k-4k,

2〃〃

所以-(T)ZM=ZK4-(-1产&T)砥T+(―㈠产&期］

*=1k=\

这2人4%,

k=l

设北=£2八4"

A=l

所以7；=2X4+4X42+6X43+--+2〃X4",

则47；=2X42+4X43+6X4"+-一+2〃X4”+I,

2x(14+,

作差得-37；=2(4+42+43+4"+…+4”)-2〃-4向=^~-2nx4"

_(2-6»)4,,+'-8

=-----------,

3

所以7刨芋当

所以知—1)%M=(6〃-21+8

hi9

19.(1"=半

⑵片+片=1

62

【分析】（1）根据已知条件可得出关于。、6的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值

（2）由（1）可知椭圆的方程为乂2+3y=/,设直线/的方程为v=h+,”，将直线/的方程

与椭圆方程联立，由△=（）可得出3/=/（1+3公），求出点"的坐标，利用三角形的面积

公式以及已知条件可求得/的值，即可得出椭圆的方程.

（1）

a曰=>4Q2=392+叫

=>a2=3b2,

答案第11页，共14页

2

离心率为c=£1_V6

a

(2)

解：由(1)可知椭圆的方程为』+3/=〃2,

易知直线/的斜率存在，设直线/的方程为歹=奴+，〃，

y=kx+m

联立得(1+3/)/+6析?x+(3〃/—/)=o,

x2+3y2=a2

由』=36公加2一4(1+3左2乂3加2_。2)=0=>3加2“2(]+3左2),①

3kmm

%=kx+m=

3F+1M1+3公

机2(9公+1)

由|0例|=|。叫可得病

(3/+])?②

由邑丽=G可得;|〃?|,JJ=百，③

2111+3A:

联立①②③可得公=!，机2=4,4=6,故椭圆的标准方程为.+^=1.

362

20.⑴歹=(1一。卜+1

⑵⑴be［反+句;(ii)证明见解析

【分析】(1)求出/'(0)可求切线方程；

(2)(i)当a=0时，曲线y=/(x)和y=g(x)有公共点即为s(f)=e"-从"20在［0,+8)上

有零点，求导后分类讨论结合零点存在定理可求6e［疝,+8).

(ii)曲线y=/(x)和1=租丫)有公共点即asinx°+W元—e*=0,利用点到直线的距离得到

扬+从2/,「‘，利用导数可证Y—",从而可得不等式成立.

'sinx0+x0sin^x+x

(1)

/'(%)=e"-acosx,故/'(0)=1-。,而/(。)=1,

曲线/㈤在点(0J(0))处的切线方程为尸(1-。)(％-0)+1即0=(1-。)%+1.

(2)

答案第12页，共14页

(i)当。=0时,

因为曲线V=/(x)和=g(x)有公共点，故e'=有解，

设t=6,故x=『，故e"=从在［O，'1<0)上有解，

设s(f)=J-",f2