包头市包钢四中高一下学期期中数学试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年内蒙古包头市包钢四中高一（下)期中数学试卷一、选择题(每小题只有1个正确答案，每小题5分，共50分）1．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个（）A．棱台 B．棱锥 C．棱柱 D．都不对2．垂直于同一条直线的两条直线一定()A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能3．下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个公共点4．已知向量,且，则实数k的值为（)A．﹣2 B．2 C．8 D．﹣85．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2,则这个平面图形的面积是()A． B．1 C． D．6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥ABC．AC1与DC成45°角 D．A1C1与B1C成60°角7．如图,△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC,此图中直角三角形的个数为(）A．1 B．2 C．3 D．48．设l，m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是(）A．若l⊥α,l∥m，则m⊥α B．若l⊥m,m⊂α,则l⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m9．已知点A（1,3），B（4，﹣1)，则与向量同方向的单位向量为（）A． B． C． D．10．已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是（）A． B． C． D．11．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V,点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则多面体A1B1C1﹣PBQ的体积为（）A． B． C． D．12．圆锥的底面半径为r，高是h，在这个圆锥内部有一个内接正方体,则此正方体的棱长等于（）A． B． C． D．二、填空题（每小题5分，共20分)13．球的表面积扩大为原来的4倍，它的体积扩大为原来的倍．14．向量(3,4）在向量（1，﹣2）上的投影为．15．已知向量=（λ+1，1）,=（λ+2，2），若()⊥（﹣），则λ=．16．若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°，半径为4的扇形,则这个圆锥的表面积是．三、解答题（17题10分，18到22题每题12分，共70分）17．已知向量．（Ⅰ)若与的夹角为,求；（Ⅱ）若，求与的夹角．18．如图，一个组合体的三视图如图：（单位cm）(1）说出该几何体的结构特征；（2)求该组合体的体积（保留π）;(3）求该组合体的全面积．（保留π）．19．如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；(Ⅱ）证明：BD⊥CE．20．正方体ABCD﹣A'B’C’D’的棱长为a，连接A’C’，A’D，A’B，BD，BC’，C’D，得到一个三棱锥A’﹣BC'D．求：（1)求异面直线A’D与C’D′所成的角；（2）三棱锥A’﹣BC'D的体积．21．在边长为2的正三角形ABC中,=2=3,设==．（Ⅰ）用表示；（Ⅱ)求的值．22．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=12，BC=10，AA1=8，过点A1、D1的平面α与棱AB和CD分别交于点E、F,四边形A1EFD1为正方形．(1）在图中请画出这个正方形(注意虚实线,不必写作法），并求AE的长;(2）问平面α右侧部分是什么几何体,并求其体积．

2016—2017学年内蒙古包头市包钢四中高一（下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有1个正确答案,每小题5分,共50分）1．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个（）A．棱台 B．棱锥 C．棱柱 D．都不对【考点】L8:由三视图还原实物图．【分析】根据主视图、左视图、俯视图的形状,将它们相交得到几何体的形状．【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为正方形，下面看是正方形，并且可以想象到连接相应顶点的四条线段就是几何体的四条侧棱,故这个三视图是四棱台．故选A．2．垂直于同一条直线的两条直线一定（)A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．【解答】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行;②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选D3．下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个公共点【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】由公理3知:不共线的三个点确定一个平面，即可判断A；四边形有平面四边形和空间四边形两种，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，即可判断B；在同一平面内，只有一组对边平行的四边形为梯形,即可判断C；由公理3得不同在一条直线上的三个公共点确定一个平面,即可判断D．【解答】解：A．由公理3知：不共线的三个点确定一个平面，故A错；B．四边形有平面四边形和空间四边形两种，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故B错；C．在同一平面内，只有一组对边平行的四边形为梯形，故C对；D．由公理3得不同在一条直线上的三个公共点确定一个平面，故D错．故选C．4．已知向量,且，则实数k的值为（）A．﹣2 B．2 C．8 D．﹣8【考点】9K:平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵，∴﹣2k﹣4=0，解得k=﹣2．故选：A．5．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（）A． B．1 C． D．【考点】LB：平面图形的直观图．【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积,根据平面图形的面积是直观图的2倍，得到结果．【解答】解：∵Rt△O'A’B’是一平面图形的直观图,斜边O’B’=2，∴直角三角形的直角边长是，∴直角三角形的面积是,∴原平面图形的面积是1×2=2故选D．6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,下列几种说法正确的是（）A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥ABC．AC1与DC成45°角 D．A1C1与B1C成60°角【考点】LM：异面直线及其所成的角；L2:棱柱的结构特征．【分析】由题意画出正方体的图形，结合选项进行分析即可．【解答】解：由题意画出如下图形:A．因为AD∥A1D1，所以∠C1A1D1即为异面直线A1C1与AD所成的角，而∠C1A1D1=45°，所以A错；B．因为D1C1∥CD，利平行公理4可以知道：AB∥CD∥C1D1，所以B错；C．因为DC∥AB．所以∠C1AB即为这两异面直线所成的角，而，所以C错；D．因为A1C1∥AC,所以∠B1CA即为异面直线A1C1与B1C所成的角，在正三角形△B1CA中，∠B1CA=60°，所以D正确．故选：D．7．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，此图中直角三角形的个数为（)A．1 B．2 C．3 D．4【考点】LX：直线与平面垂直的性质．【分析】推导出AB⊥BC，PA⊥BC，从而BC⊥平面PAB，由此能求出图中直角三角形的个数．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ABC=90°,PA⊥平面ABC，∴AB⊥BC,PA⊥BC，∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，∴图中直角三角形有△ABC（∠ABC是直角），△PAC(∠PAC是直角）,△PAB（∠PAB是直角），△PBC(∠PBC是直角)，∴图中直角三角形有4个．故选：D．8．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（)A．若l⊥α，l∥m,则m⊥α B．若l⊥m，m⊂α,则l⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α,则l∥m【考点】2K：命题的真假判断与应用；LO:空间中直线与直线之间的位置关系；LP:空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】若l⊥α,l∥m，根据两平行直线中的一条与平面垂直，另一条也垂直平面,得到m⊥α．【解答】解：若l⊥α，l∥m，根据两平行直线中的一条与平面垂直，另一条也垂直平面，所以m⊥α所以选项A正确；若l⊥m，m⊂α，则l⊥α或l与α斜交或l与α平行，所以选项B不正确;若l∥α，m⊂α，则l∥m或l与m是异面直线，所以选项C错误；若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m异面或l∥m相交，所以选项D错误;故选A9．已知点A（1，3)，B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（)A． B． C． D．【考点】96：平行向量与共线向量；95:单位向量．【分析】由条件求得=（3，﹣4），｜｜=5，再根据与向量同方向的单位向量为求得结果．【解答】解:∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4,﹣1）﹣(1,3)=（3，﹣4），|｜==5，则与向量同方向的单位向量为=，故选A．10．已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是（)A． B． C． D．【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】由两个非零向量,满足,可得，展开即可．【解答】解：∵两个非零向量，满足，∴，展开得到．故选B．11．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则多面体A1B1C1﹣PBQ的体积为（)A． B． C． D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据体积公式可知VB﹣A′B′C′=VB﹣ACQP=VB﹣PQC′A′=，故而可得出结论．【解答】解：连结A′B，BC′，则VB﹣A′B′C′==，∴VB﹣ACC′A′=V﹣VB﹣A′B′C′=，∵AP=C1Q，∴S梯形ACQP=S矩形ACC′A′,∴VB﹣ACQP=VB﹣ACC′A′=，∴多面体A1B1C1﹣PBQ的体积为V﹣=．故选B．12．圆锥的底面半径为r,高是h，在这个圆锥内部有一个内接正方体，则此正方体的棱长等于（）A． B． C． D．【考点】L5:旋转体（圆柱、圆锥、圆台)．【分析】设棱长为a，利用三角形相似列比例式解出a．【解答】解:设正方体棱长为a，则由三角形相似得，解得a=．故选C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．球的表面积扩大为原来的4倍,它的体积扩大为原来的8倍．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】我们设出原来球的半径为R，则可以计算出原来球的表面和体积，再根据球的表面积扩大了4倍，我们可以求出扩大后球的半径，进而求出扩大后球的体积,进而得到答案．【解答】解:设原来球的半径为R则原来球的表面积S1=4πR2，体积V1=若球的表面积扩大为原来的4倍，则S2=16πR2则球的半径为2R体积V2==∵V2：V1=8：1故球的体积扩大了8倍故答案为：814．向量（3，4)在向量（1，﹣2）上的投影为﹣．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意,设向量=（3，4），向量=（1，﹣2)，由向量的坐标计算公式可得•与|｜的值，进而由数量积的性质可得向量在向量上的投影，计算可得答案．【解答】解：根据题意,设向量=（3，4），向量=（1，﹣2），则•=3×1+4×（﹣2）=﹣5，｜|==，则向量在向量上的投影==﹣；故答案为:．15．已知向量=(λ+1，1），=（λ+2，2），若（)⊥(﹣）,则λ=﹣3．【考点】9T:数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由向量的坐标加减法运算求出（），(﹣）的坐标,然后由向量垂直的坐标运算列式求出λ的值．【解答】解：由向量=（λ+1,1），=(λ+2，2），得，由（）⊥（﹣），得（2λ+3）×(﹣1）+3×（﹣1）=0，解得：λ=﹣3．故答案为:﹣3．16．若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°，半径为4的扇形，则这个圆锥的表面积是8π．【考点】G8:扇形面积公式．【分析】根据圆锥的侧面展开图是圆心角为180°，半径为4的扇形，利用扇形的面积公式，可得圆锥的表面积【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是圆心角为180°,半径为4的扇形，∴这个圆锥的表面积是=8π故答案为：8π三、解答题（17题10分，18到22题每题12分，共70分）17．已知向量．(Ⅰ）若与的夹角为，求;（Ⅱ）若，求与的夹角．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】(I）先计算，再计算（)2,开方即可得出答案;（II）将展开即可得出，代入夹角公式求出答案．【解答】解：（Ⅰ）∵与的夹角为；∴=1×2×cos=1;∴（）2=+4+4=1+4+16=21，∴|｜=．（Ⅱ）∵（2﹣）•(3+）=6﹣﹣=2﹣=3，∴=﹣1，∴cos＜＞==﹣，又∵0≤cos＜＞≤π∴与的夹角为．18．如图,一个组合体的三视图如图:（单位cm）（1)说出该几何体的结构特征；（2）求该组合体的体积（保留π）；(3）求该组合体的全面积．(保留π)．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】（1）由三视图得到几何体是球与棱柱的组合体;（2)根据图中数据计算体积；（3）分别计算球和长方体的表面积，得到全面积．【解答】解:（1)上面是半径为6cm的球，下面是长16cm，宽12cm，高20cm的长方体．…（2）V==288π+3840（cm3）…（3)S=4π×42+2×16×12+2×16×20+2×12×20=144π+1504（cm2）…答：该组合体的体积为288π+3840cm3．表面积为144π+1504cm2．19．如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中点．（Ⅰ)求证：PC∥平面BDE；(Ⅱ)证明：BD⊥CE．【考点】LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ)连结AC交BD于O，连结OE,推导出PC∥OE，由此能证明PC∥平面BDE．（Ⅱ)推导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明BD⊥CE．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点．又因为E是PA的中点，所以PC∥OE，…因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（Ⅱ）因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．…因为PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．…又因为AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC，…又CE⊂平面PAC，所以BD⊥CE．…20．正方体ABCD﹣A’B'C'D'的棱长为a，连接A’C',A'D，A'B，BD，BC’，C’D，得到一个三棱锥A'﹣BC’D．求：（1）求异面直线A’D与C’D′所成的角；(2）三棱锥A'﹣BC’D的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积;LM:异面直线及其所成的角．【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线A'D与C'D′所成的角．（2）求出平面BC’D的法向量,从而求出点A到平面BC'D的距离，由此能求出三棱锥A'﹣BC’D的体积．【解答】解:（1）∵正方体ABCD﹣A'B’C'D’的棱长为a，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A′（a，0,a），D（0，0，0）,C′(0,a,a），B（a，a,0）,D′（0，0，a），=（﹣a，0，﹣a），=（0，﹣a,0），设异面直