典型例题：数学归纳法

#数学归纳法考点1数学归纳法题型：对数学归纳法的两个步骤的认识［例1］已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设「二(k>2且为偶数)时命题为真，则还需证明=1时命题成立=2时命题成立=22时命题成立=2(2)时命题成立［解析］因「是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因的下一个偶数是2,故选B试一试：1用数学归纳法证明1+a+a2+.•.+an二工(a01,neN*)，在验1-a证n=1时，左边计算所得的式子是1+a1+a+a21+a+a2+a4解析］n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，左边是1+a，故选B2用数学归纳法证明不等式，+，+...+，>13的过程n+1n+2 n+n24中，由推导到1时，不等式左边增加的式子是［解析］求f(k+1)-f(k)即可当率=时，左边11 + + k+2k+k

n=1时，左边二，+，+…+1,k+2k+3 (k+1)+(k+1)故左边增加的式子是，+，一，，即 1 2k+12k+2k+1 (2k+1)(2k+2)考点2数学归纳法的应用题型1:用数学归纳法证明数学命题(恒等式、不等式、整除性问题等)［例2］用数学归纳法证明不等式4n+.2233+…+\；n(n+1)<1(n+1)22［解析］(1)当n=1时，左=四，右=2,不等式成立(2)假设当n=时等式成立，即x1・2+J.2•3+—\-、：k(k+1)<—(k+1)22贝(+%：T3+—+、:k(k+1)+；(k+1)(k+2)<1(k+1)2+(k+1)(k+2)21/7 不—八.了—t-(k+2)2 .■―：—、、/1—(k+1)+(k+2)•一一(k+1)2+,,'(k+1)(k+2)- =((k+1)(k+2)- <02 2 2・•・ +v-2^3+—+\.k(k+1)+式k+1)(k+2)<U［(k+1)+1］22,当n=1时，不等式也成立综合(1)(2)，等式对所有正整数都成立试一试:3用数学归纳法证明等式:111112n-1 2111112n-1 2n11 H \-——

n+2 2n［解析］(1)当n=1时,左=1一1=1=右，等式成立22(2)假设当n=时等式成立，即

+ 1 +2k11+ 1 +2k112k-12k11

+

k+1k+2H F2k———+(―2k-12k 2k+1)=,当n=1时，等式也成立，综合(1)(2),等式对所有正整数都成立4数歹I」｛a｝中，a=5,a= a： (neN*)，用数学归纳法证明:n 1 2n+1 2(a-1)na>2(neN*)n解析］1当"1时,［二2>2不等式成立(2)假设当n=时等式成立，即a>2(keN*)，k则o_a2 (a-2)2、a—2 k -2 k >0，・・a>2k+1 2(a-1) 2(a-1) k+1kk...当n=1时，不等式也成立综合(1)(2),不等式对所有正整数都成立例3.证明：n3+5n(neN*)能被6整除试一试：证明：*2n-1+y2n-1能被"y整除x^-ny4n xy题型2用“归纳——猜想——证明”解决数学问题［例4］是否存在常数a、b、c,使等式1・22+2・32+--+〃（〃+1）2="（；；1）（cm2+bn+C）对一切正整数n都成立证明你的结论【解题思路】从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个未知数，先取"1,2,3,列方程组求得，然后用数学归纳法对一切neN*，等式都成立q+/?+c=24［解析］把"1,2,3代入得方程组40+2〃+c=44,解得,〈6=119a+3b+c=70 c=10猜想:等式1.22+2.32+...+〃（〃+1）2="3（3俏+11〃+10）对一切都成立下面用数学归纳法证明：（1）当"1时，由上面的探求可知等式成立（2）假设"时等式成立，即1-22+2-32+...+^+1）2=^±12（3^2+1R+10）则L22+2T2+…+左（左+1）2+（左+1）（左+2）2二^±11（3左2+11左+10）+（4+1）（左+2）21=空：1）Ok+5）（左+2）+（左+1）（左+2）2=出+1）（左+2）4（3左+5）+12（左+2）］

(k+1)(k+2)12[3(k+1)2+11((k+1)(k+2)12所以当n=1时，等式也成立，综合(1)(2),对nEN*等式都成立试一试：已知数列 」…，计算SSS，由此推测计昊的公式,, ,, , ,,1X22X33X14nx(n+1) 123 n基础巩固训练1用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n.1•3…••(2n+1)(neN*)，从“到1”左端需乘的代数式是()2(2k+1)”上解析］左端需乘的代数式是k+1k+1(2k+1)(2k+2)=2(2k+1)，选Bk+12用数学归纳法证明：111…+，＜n,(nen*,n〉1)时，在第23 2n-1二步证明从口=到口=1成立时，左边增加的项数是()2k2k-12k-12k+1解析］项数为(2k+1-1)-(2k-1),选An条对角线，则凸n1边形有对角线数fn1为()nnnnnn-2。［解析］CP(n)=成立，则它对口=1也成立，现已知P(n)对口=4不成立，则下列结论中正确的是()尸(〃)neN*P(n)>4且〃金n*成立P(n)<neN*P(n)<4不成立［解析］D5设/(〃)=〃+/⑴+”2)+...+/(〃_1),用数学归纳法证明“〃+/⑴+/⑵+.•.+/(〃-1)=硝〃)”时，第一步要证的等式是［解析］2+/⑴=2/(2)6若存在正整数加,使得/5)=(2"7)3〃+95，N*)能被加整除，则m~［解析］36［/⑴=36f(2)=36x6f(3)=36x10，猜想:加=36］7求证：12+22+…+俏=他±幽±&6［证明］1当"1时，左端=1,右端=，(1+1)(2+1)_1，左端二右