模糊值模糊集的等价生成

模糊值模糊集的等价生成

1l-模糊集的偏序和运算自l.a.zadh引入模糊集的概念以来，模糊集和系统理论迅速发展。为了研究或应用目的，人们介绍了直线模糊集、间隔值模糊集、模糊值模糊集和二型模糊集。这些l-模糊集的引入丰富了模糊系统理论的研究内容。然而，这些特殊的l-模糊集之间的关系尚不清楚。在这项工作中，我们研究了这些l-模糊集之间的关系。定义1.1设L为一个格,X为一个集合,称映射A:X→L为X上一个L-模糊集.X上所有L-模糊集的集合记作FL(X),则(1)当L={(α,β)|α,β∈,α+β≤1}时,称一个L-模糊集为一个直觉模糊集,此时将FL(X)改记为IF(X).IF(X)中的元素IA(x)可记作(μA(x),vA(x)),这时也写IA=(μA,vA).(2)当L={[a-,a+]|0≤a-≤a+≤1}时,称一个L-模糊集为一个区间值模糊集,此时将FL(X)记为FL1(X),FL1(X)中的元素记作ˉA,而ˉA(x)可记作[A-(x),A+(x)],这时也可写ˉA=[A-,A+].(3)上的一个模糊数˜a可记为:˜a={(a-α,a+α,α)|α∈},这时0≤a-α≤a+α≤1且a-α在上单调不减右连续,a+α在上单调不增左连续且˜a的α-截集aα=[a-α,a+α].令L为上所有模糊数的全体,则称L-模糊集为模糊值模糊集.(4)当L=[0,1)={f|f∶→}为映射,则称一个L-模糊集为一个二型模糊集,此时FL(X)改记为FL2(X).对于上述L-模糊集的偏序及格运算简述如下:(Ⅰ)当L={(α,β)|α,β∈,α+β≤1}时,规定(α1,β1)≤(α2,β2)⇔α1≤α2,β1≥β2且∨t∈Τ(αt,βt)=(∨t∈Ταt,∧t∈Τβt);∧t∈Τ(αt,βt)=(∧t∈Ταt,∨t∈Τβt);(α,β)c=(β,α).(Ⅱ)当L={[a-,a+]|0≤a-≤a+≤1}时,规定[a-,a+]≤[b-,b+]⇔a-≤b-,a+≤b+且∨t∈Τ[a-t,a+t]=[∨t∈Τa-t,∨t∈Τa+t];∧t∈Τ[a-ta+t]=[∧t∈Τa-t,∧t∈Τa+t];[a-,a+]c=[1-a+,1-a-].(Ⅲ)当L为上的模糊数集合时,规定˜a≤˜b⇔a-α≤b-α‚a+α≤b+α‚∀α∈且(∨t∈Τ˜at)-α=∨t∈Τ(˜at)-α‚(∨t∈Τ˜at)+α=∨t∈Τ(˜at)+α,(∧t∈Τ˜at)-α=∧t∈Τ(˜at)-α,(∧t∈Τ˜at)+α=∧t∈Τ(˜at)+α.(Ⅳ)当L=时,规定f≤g⇔f(α)≤g(α),∀α∈且(∨t∈Τft)(α)=∨t∈Τft(α);(∧t∈Τft)(α)=∧t∈Τft(α);(fc)(α)=1-f(α)对于所有格L,L-模糊集的偏序和运算规定为:A≤B⇔A(x)≤B(x),(∩At)(x)=∨t∈ΤAt(x);(∩At)(x)=∧t∈ΤAt(x);(Ac)(x)=(A(x))c.2同构同构的fa水平令F:IF(X)→FL1(X)IA=(μA,μA)→|F(IA)=[μA,1-vA];这里F(IA)(x)=[μA(x),1-vA(x)];G:FL(X)→IF(X)A¯=[A-,A+]→|G(A¯)=(A-,1-A+)这里G(A¯)(x)=(A-(x),1-A+(x)),则有定理2.1F,G为一对互逆的映射,即F˚G(A¯)=A¯‚(G˚F)(ΙA)=ΙA,且F为一个同构.证显然F,G为一对互逆的映射.对IAt∈IF(X)(t∈T),令ΙA=∪t∈ΤΙAt,ΙB=∩t∈ΤΙAt,则F(∪t∈ΤΙAt)(x)=[μA(x),1-vA(x)]=[∨t∈ΤμAt(x),1-∧t∈ΤvAt(x)]=[∨t∈ΤμAt(x),∨t∈Τ(1-vAt(x))]=∨t∈Τ[μAt(x),1-vAt(x)]=∨t∈ΤF(ΙAt)(x)=(∪t∈ΤF(ΙAt))(x).因此F(∪t∈ΤΙAt)=∪t∈ΤF(ΙAt).F(∩t∈ΤΙAt)(x)=[μB(x),1-vB(x)]=[∧t∈ΤμAt(x),∧t∈Τ(1-vAt(x))]=∧t∈Τ[μAt(x),1-vAt(x)]=∧t∈ΤF(ΙAt)(x)=∩t∈ΤF(ΙAt)(x).故F(∩t∈ΤΙAt)=∩t∈ΤF(ΙAt);现在设ID∈IF(X),则IDc=(vD,μD),则F(IDc)(x)=[vD(x),1-μD(x)]=[μD(x),1-vD(x)]c=(F(ID)(x))c=F(ID)c(x)因此,F为一个同构.注定理2.1说明,直觉模糊集与区间值模糊集在本质上是一样的.通过上述映射F,G可以将两者的有关结论互相转化.3a为[a,a为[a+[a,a为[a,a为[a+b],a为“a”,a为“b”,a为“b设X为一个集合,Y=X={f|f:→X为映射}.令FL(X)为模糊值模糊集的集合,则有映射H:FL(X)→FL¯1(Y)A˜→|Η(A˜)=[A-‚A+]这里A˜(x)={(Aα-(x),Aα+(x),α,)|α∈},A-(f)=∧α∈Aα-(f(α)),A+(f)=∧α∈Aα+(f(α)).K:FL¯1(Y)→FL(Y)A¯=[A-,A+]→|A˜这里A˜={(Aα-(x),Aα+(x),α,)|α∈},且A-α(x)=∨{A-(f)|f∈Y,f(α)=x};A+α(x)=∨{A+(f)|f∈Y,f(α)=x}.定理3.1(Η˚Κ)(A¯)≥A¯,(Κ˚Η)(A˜)≤A˜.证设(Η˚Κ)(A¯)=B¯,则对g∈Y,有B-(g)=∧α∈Aα-(g(α))=∧α∈∨{A-(f)|f∈Y,f(α)=g(α)}≥A-(g)同理B+(g)=≥A+(g),故(Η˚Κ)(A¯)≥A¯.令(Η˚Κ)(A˜)=B˜‚则Bα-(x)=∨{A-(f)|f∈Y,f(α)=x}=∨{∧α∈Aβ-(f(β))|f∈Y,f(β)=x}≤Aα-(x)同理B+α(x)≤A+α(x),故(Η˚Κ)(A˜)≤A˜.推论1设A˜∈FL(X)且存在y0∈X使A-α(y0)=1,∀α∈,则(Η˚Κ)(A˜)=A˜.4区间值模糊集法设L2=,A≈∈FL2(X)为一个二型模糊集,令A-(x)=∧α∈A≈(x)(α),A+(x)=∨α∈A≈(x)(α)‚则有区间值模糊集A¯(x)=[A-(x),A+(x)].反之,设A¯(x)=[A-(x),A+(x)]为一个区间值模糊集,令A≈(α)={A-(x),α<A-(x)α‚A-(x)≤α≤A+(x)A+(x),α>A+(x)则有一个二型模糊集A≈.于是有映射:M:FL2(X)→FL1(X)N:FL1(X)→FL2(X)A≈→|=[A-,A+]A¯=[A-,A+]→|A≈定理4.1(Μ˚Ν)(A¯)=A¯,即M为满射.5区间值模糊集的研究我们讨论了直觉模糊集,模糊值模糊集,二型模糊集与区间值模糊集的关系.从讨论的过程可以看出:每种L-模糊集都可转化成区间值模糊集.因此,区间值模糊集是一种非常重要的模糊集.对于一个区间值模糊集A¯=[A-‚A+]来说A-,A+分别为X上的Zaden意义下的模糊集.