概率论与数理统计复习文档要点总结

#/10概率论与数理统计》复习资料一、复习提纲注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。5、理解随机变量的概念，了解（0—1）分布、二项分布、泊松分布的分布律。6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。7、掌握指数分布（参数九）、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。9、会求分布中的待定参数。10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。15、较熟练地求协方差与相关系数.16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握%2分布（及性质）、t分布、F分布及其分位点概念。19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。会求双正态总体均值与方差的置信区间。二、各章知识要点第一章随机事件与概率1•事件的关系AuBAoBABA—BA0QAB=Q2.运算规则（1）AoB=BoAAB=BA(AuB)uC二Au(BuC)(AB)C二A(BC)(AuB)C二(AC)u(BC)(AB)uC二(AuC)(BuC)AuB二ABAB二AuB3.概率P(A)满足的三条公理及性质：0<P(A)<1(2)P(0)二1对互不相容的事件A,A，…,A，有P(Ua)=1LP(A)(n可以取g)12nkkk=1k=1P(Q)=0(5)P(A)=1-P(A)(6)P(A-B)=P(A)-P(AB)，若AuB，则P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)<P(B)(7)P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)(8)P(AuBuC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率6．条件概率(1)定义：若P(B)>0，则P(A1B)=篇)(2)乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)若B,B，…B为完备事件组，P(B)>0，则有12ni(3)全概率公式：P(A)=工P(B)P(A1B)iii=1(4)Bayes公式：P(B1A)—P(BP(A1B/knP(B)P(A1B)iii=17•事件的独立性：A,B独立oP(AB)=P(A)P(B)(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1.离散随机变量：取有限或可列个值，P(X=x)=p满足(1)p>0，(2)iii工p=1ii(3)对任意DuR,P(XeD)二工pii:xieD连续随机变量：具有概率密度函数f(x)，满足(1)f(x)>0,卜f(x)dx=1；-g(2)P(a<X<b)=Jbf(x)dx；(3)对任意a&R，P(X=a)=0a3．几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布B(1,p)P(X=1)=p，P(X=0)=q=1—pppq二项式分布B(n,p)P(X=k)=Ckpkqn—k,k=0,1,2,…n，nnpnpqPoisson分布P(九)九kP(X=k)=e-^—,k=0,1,2,…k!九九均匀分布U(a,b)1f(x)=,a<x<b，b—aa+b2(b一a)212指数分布E(九)f(x)=九e—人,x>01九1九2正态分布N(2)1(x—f(x)=-e2o212兀GG24.分布函数F(x)=P(X<x)，具有以下性质F(—g)=0,F(+g)=1；(2)单调非降；(3)右连续；P(a<X<b)=F(b)—F(a)，特别P(X>a)=1—F(a)；对离散随机变量，F(x)=工p；ii:xi<x(6)对连续随机变量，F(x)=Jxf(t)dt为连续函数，且在f(x)连续点上，—gF'(x)=f(x)正态分布的概率计算以①(x)记标准正态分布N(0,1)的分布函数，则有(1)①(0)=0.5；(2)①(—x)=1—①(x)；(3)若X〜N(2)，则F(x)=①()；

(4)以u记标准正态分布N(0,1)的上侧«分位数，则P(X>u)=a=1-①(u)aaa随机变量的函数Y二g(X)(1)离散时，求Y的值，将相同的概率相加；(2)X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则f(y)二f(g-1(y))I(g-1(y))'I，若不单调，先求分布函数，再求导。YX第四章随机变量的数字特征1．期望⑴离散时E(X)二工xp，E(g(X))二工g(x)p；iiiiii⑵连续时E(X)=xf(x)dx，E(g(X))=g(x)f(x)dx；⑶二维时E(g(X,Y))⑶二维时E(g(X,Y))=Yg(x,y)p，ijiji,jE(g(X,Y))=g(x,y)f(x,y)dxdy—g—g(4)E(C)二C；(5)E(CX)二CE(X)；E(X+Y)二E(X)+E(Y)；X,Y独立时，E(XY)二E(X)E(Y)2．方差方差D(X)二E(X—E(X))2二E(X2)-(EX)2，标准差q(X)=耳D(X)；D(C)二0,D(X+C)二D(X)；D(CX)二C2D(X)；X,Y独立时，D(X+Y)二D(X)+D(Y)3．协方差Cov(X,Y)二E[(X-E(X))(Y-E(Y))]二E(XY)-E(X)E(Y)；Cov(X,Y)二Cov(Y,X),Cov(aX,bY)二abCov(X,Y)；Cov(X+X,Y)=Cov(X,Y)+Cov(X,Y)；1212Cov(X,Y)二0时，称X,Y不相关，独立n不相关，反之不成立，但正态时等价；D(X+Y)二D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.相关系数p=COV(X,Y)；有|p|<1,|p|=1o%,b,P(Y=aX+b)=1XYXYXY5.k阶原点矩v=E(Xk),k阶中心矩卩=E(X-E(X))kkk第五章大数定律与中心极限定理Chebyshev不等式P{lX-E(X)l>e}<或P{lX-E(X)l<e}>1-D(X)82e2大数定律中心极限定理(1)设随机变量X,X，…,X独立同分布E(X)=比D(X)=◎2,则12nii工X〜N(np,nc2)，或1£X〜N(卩,°)1i近似n1i近似ni=1i=1£X-np或4:〜N(0,1)，a.nc近似(2)设m是n次独立重复试验中A发生的次数，P(A)=p，则对任意x，有则X~N(np,npq)近似limP{m"<x}=0(x)或理解为若X~B(n,p),ns..npq则X~N(np,npq)近似第六章样本及抽样分布1.总体、样本简单随机样本：即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法)样本数字特征：TOC\o"1-5"\h\z1VC2样本均值X=—2Lx(E(X)=卩，D(X)=一)；nini=1样本方差S2=丄工(X-X)2(E(S2)=C2)样本标准差n-1ii=1s=二£(X-X)2n-1：'i=1样本k阶原点矩v=1工Xk，样本k阶中心矩R=1为(X-X)k

kniknii=1i=1统计量：样本的函数且不包含任何未知数三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义)(1)I2分布’2=X2+X2+…+X2-’2(n)，其中X,X，…,X独立同分布12n12n于标准正态分布N(0,1)，若X~I2(n),Y~I2(n)且独立，则12X+Y〜12(n+n)；12

X(2)t分布t=〜t(n)，其中X〜N(0,1),Y〜x2(n)且独立;JY/nF分布F=i〜F(n,n)，其中X〜x2(n),Y〜x2(n)且独立，有下Y/n12122F(n,n)=1-F(n,n)=1-a12F214．正态总体的抽样分布(1)X〜(1)X〜N(pq2/n)；(2)2(X—A)2〜x2(n);C2ii=15)—_〜x2(n5)—_〜x2(n—1)且与X独立;C2(4)t=〜t(n—1)；Sgn(X—Y)—(卩—卩)Jt=12,.SJonn12〜t(n+n—2),S2=■n+n12oL12(n—1)S2+(n—1)S21+32-12-n+n—212S2/C2F=—・〜F(n—1,n—1)S2/C21222第七章参数估计1．矩估计：(1)根据参数个数求总体的矩；(2)令总体的矩等于样本的矩；(3)解方程求出矩估计2．极大似然估计：(1)写出极大似然函数；(2)求对数极大似然函数(3)求导数或偏导数；(4)令导数或偏导数为0，解出极大似然估计(如无解回到(1)直接求最大值，一般为min{x}或max{x})ii3．估计量的评选原则(1)无偏性：若E(0)=0，则为无偏；(2)有效性：两个无偏估计中方差小的有效；4．参数的区间估计(正态)参数条件估计函数置信区间C2已知x—Au=产c/pn[X+u―—]aJn2c2未知X—At—]ls/鶯'n[X+1(n—1)卓]av'n2b2卩未知(n-1)s2X2=-———b2[(n-1)s2(n-1)s2]X2(n-1)'X2(n-1)ao-122三、概率论部分必须要掌握的内容以及题型1．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。如对于事件A,B,A或B，已知P(A),P(B),P(AB),P(AuB)，P(AIB),P(BIA)以及换为A或B之中的几个，求另外几个。例：事件A与B相互独立，且P(A)=0.5,P(B)=0.6,求：P(AB),P(A~B),P(AuB)例：若P(A)=0.4,P(B)=0.7,P(AB)=0.3,求：P(A—B),P(AuB),P(AIB),P(AIB),P(AIB)课本上P19,例5；P26，第14,24题。2．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。若已知导致事件A发生(或者是能与事件A同时发生)的几个互斥的事件Bi，

i=1,2,…,n,…的概率P(B.),以及B.发生的条件下事件A发生的条件概率P(AIB：),

求事件A发生的概率P(A)以及A发生的条件下事件B.发生的条件概率P(B.IA)。例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：(1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。课本上P26,第24题3．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。(1)已知一维离散型随机变量X的分布律P(X=x.)=p.,i=1,2,^,n,^确定参数求概率P(a<X<b)求分布函数F(x)求期望E(X),方差D(X)求函数Y=g(X)的分布律及期望E[g(X)]课本上P39,例1；P50,例1；P59,第33题；P114,第6、8题；例：随机变量X的分布律为.X1234pk2k3k4k确定参数k求概率P(0<X<3),P{1<X<3}求分布函数F(x)求期望E(X),方差D(X)求函数Y=(X-3)2的分布律及期望E(X-3)2(2)已知一维连续型随机变量X的密度函数f(x)确定参数求概率P(a<X<b)求分布函数F(x)求期望E(X),方差D(X)求函数Y=g(X)的密度函数及期望E[g(X)]P43,例1；P51,例2；P53,例5；P59，第36、37题；P114,第9题；例：已知随机变量X的概率密度为f(x)=FX20:X：2,0其他确定参数k求概率P{1<X<3}求分布函数F(x)求期望E(X),方差D(X)求函数Y=^X的密度及期望E(、達)⑶已知二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律P(X=x,Y=y.)=p..,i=1,2,…,m,…;ijijj=1,2,…,n,…确定参数求概率P{(X,Y)eG}求边缘分布律P(X=x.)=p.,.=1,2,…,m,…；P(Y=y.)=p.,j=1,2,…,n,…求条件分布律P(X=x.lY=y.),.=1,2,…,m,…和P(Y=y.lX=x.),.=1,2,…,n,…求期望E(X),E(Y),，方差D(X),D(Y)''求协方差cov(X,Y)，相关系数p，判断是否不相关XY求函数Z=g(X,Y)的分布律及期望E[g(X,Y)]课本P65,例1；P88，第36题；P115，第14题；P116,第22题；例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为5012300.050.10.150.210.030.050.050.0720.020.050.10.13求概率P(X<Y),P(X=Y)求边缘分布律P(X=k)k=0,1,2和P(Y=k)k=0,1,2,3求条件分布律P(X=klY=2)k=0,1,2和P(Y=klX=1)k=0,1,2,3求期望E(X),E(Y),方差D(X),D(Y)求协方差cov(X,Y)，相关系数p，判断是否不相关XY求Z=X+Y,W=max{X,Y},V=min{X,Y}的分布律(4)已知二维连续型随机变量X的联合密度函数fx,y)确定参数求概率P{(X,Y)eG}求边缘密度f(x),f(y)，判断X,Y是否相互独立XY求条件密度f(x|y)，f(y|x)X|YY|X求期望E(X),E(Y),方差D(X),D(Y)求协方差cov(X,Y)，相关系数p%，判断是否不相关求函数Z=g(X,Y)的密度函数及期望E[g(X,Y)]课本上P63,例2；P66，例2，P72,例4；P84，第3题；P85,第7题；P87,第22题；P117，第31题；厂例：已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=<cx0yx2其它V1,确定常数c的值；求概率P(X<Y)求边缘密度f(x),f(y)，判断X,Y是否相互独立XY求条件密度f(x