第一部分知识梳理第四章第四节

第一部分教材知识梳理第四章

三角形第四节相似三角形中招考点清单考点一 线段的比与成比例线段1.

线段的比两条线段的比是两条线段的①长度

之比.【温馨提示】(1)两条线段的长度单位须统一.(2)线段的比是一个不带单位的正数.CD

n前项，CD是比的后项.如AB∶CD=m∶n或

AB

m

，其中AB是比的2.

成比例线段在四条线段中,如果其中两条线段的比②

等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段.如：四条线段a、b、c、d中,若例线段.【温馨提示】a、b、c、d的顺序依次为比例的1、2、3、4项,不能交换.b

da

c

,那么a、b、c、d是成比例线段.简称比.考点二 比例的基本性质性质1:

a

c

③

ad=bc

(bd≠0).b

d性质2：a

cb

d

b

da

b

c

.d性质3:

a

c

=…＝

m

(b+d+…+n≠0)b

d

na

c

...

m

ab

d

...

n

b考点三 相似三角形（高频考点）【考情总结】近7年考查6次，仅2014年和

2009年未考查，2012年考查2次，如何灵活选择方法判定三角形相似此考点一般作为解决问

题的重要手段，不单独设题，其中2013年在反比例函数与一次函数综合题考查中涉及到了相似三角形的性质.以前从没这样考查过，这种情况比较特殊，要引起注意.1.

相似三角形的概念对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做④相似比

.2

相似三角形的性质及判定（1）相似三角形的⑤

对应角相等；对应边成比例；性 （2）相似三角形的对应高的比，对应中线质 的比与对应角平分线的比都⑥

等于

相似比；（3）相似三角形的周长比等于⑦

,面积比等于⑧

相似比相似比的平方⑨

两角分别相等的两三角形相似；两边成比例且⑩

夹角相等的两三角判

形相似；定

（3）三边11

对应成比例的两三角形相似；（4）两直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边对应成比例，那么这两直角三角形相似判定似的有一对等角，找三角有两边对应形相成比例，找思路直角三角形，找3.

判定三角形相似的思路及常见基本图形有平行截线——用平行线的性质，找等角另一对等角等腰三角形，找该角的两边对应成比例夹角相等第三边也对应成比例有一对直角一对锐角相等斜边、直角边对应成比例顶角相等一对底角相等底和腰对应成比例几种基本图形.应边16

成比例（2）相似多边形的周长比等于17

相似比,面积比等于18

相似比的平方.考点四 相似多边形及其性质定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别12

相等，边13

成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边1形4

对应边

的比叫做相似比.性质：（1）相似多边形的对应角15

相等

，对常考类型剖析类型一 相似三角形的性质的有关计算例1

(’14包头)如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC,A.

12EF∥AB.若AD=2BD,则

CF

的值为（

A

）BFC.

14B.

13D.

23【解析】∵DE∥BC，EF∥AB，AD=2BD,∴

AD

AE

=2,

AE

BF

=2,∴

CF

1

.BD

EC

EC

CF

BF

2【方法指导】相似三角形相关计算的方法：通常找平行线，得到成比例线段，并结合比例的基本性质，把得到的比例进行适当的变形使问题得以解决;证明线段成比例也可以通过证明相似三角形，利用相似三角形的性质来求解.12拓展题1

如图，将三角形纸片的一角折叠，使点B落在AC边上的F处，折痕为DE.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点E、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BE的长是2或7

.EC

AC【解析】由题意得EF＝BE，设EF＝x，则EC＝4-x，当△EFC∽△ABC时，

EF

A,B

x

3所以

，解得x＝2；当△FEC∽

△ABC4

x

3EF

，

AB时,

x，解

得3

x＝EC

BC

4

x

412

，所以BE＝2或

12

.7

7类型二 相似三角形的证明例2

如图，在△ABC中，AC⊥BC,D是BC延长线上的一点，E是AC上的一点，连接ED，∠A=∠D.求证：△ABC∽△DEC;若AC＝3，AE＝1，BC=4,求DE的长.（1）【思路分析】在△ABC中，已知

AC⊥BC和∠A=∠D，即可根据两角对应相等，两三角形相似得证.证明：∵AC⊥BD,∴∠ACB=∠DCE=90°，又∵∠A=∠D,∴△ABC∽△DEC;（2）【思路分析】根据AC、BC已知，可∵AC⊥BC,AC=3,BC=4，∴AB=5，又∵EC=AC-AE，∴EC=2，∴∴DE=2.5.DE

EC求得AB的长，再根据

AB

BC

即可求解.解：∵△ABC∽△DEC，∴

AB

BC

,DE

EC5DE

2

4

，【方法指导】解决相似三角形的有关证明题时，应掌握三角形相似的判定及证明思路,具体详见本节考点三.拓展题2（’14贵阳）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD,则点