湖北省武汉市高二数学下学期期中试卷(含解析)

#/20湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学一、选择题：共12题1•复数x"id：I』沁•：】」「在复平面内对应的点所在的象限是第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】本题主要考查复数的概念.因为复数z二汕「1，、八mm：二>.二卩丨：：-驾m.=-2sin(6x36F-144。)+2cos(6X360°-144巧=2"口14护+2cos144°i,所以复数'在复平面内对应的点为(匕山】4「3山：；「.因为汕“汀」—•「「：】，所以该点位于第四象限•故选D.(x-W)12.设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数'-V；的图象，且’"则这个正态总体的期望与标准差分别是A.10与4B.10与2C.4与10D.2与10【答案】B【解析】本题主要考查正态密度函数的定义•根据定义可知，总体的均值，即期望门—⑷方差丄即.故选B.为总体的期望和标准差./(x)=也£-3.函数-的大致图象是【答案】Bf(x)=]nx--jc2【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用•函数丄,其定义域为.■11—尤(1—x)(l+尤〕(a+8),-f(X)二匚一龙二「—二1,由fg>°得o<x<i;由''1--°得…「一"在上单调递增，在'L'「宀上单调递•尢—1f代用)=冷＜0」心=ln—#减.时’‘a取到极大值•又-函数-的图象在轴的下方•故选B.4．袋中有大小相同的红球6个,白球5个,从袋中每次不放回地任意取出1个球,直到取出的球是白球为止，设所需要的取球次数为:，则随机变量：的所有可能值为A.1,2,…，6B.1,2,…，7C.1,2,…，11D.1,2,3,…【答案】B【解析】本题主要考查随机变量的含义•根据题意，如果第一次取出的是白球，则此时:为1.因为一共有6个红球，如果前6次取出的都是红球，则第7次一定是白球，因此:最大为7,因此：的所有可能值为1,2,…,7.故选B.1/=—G5•设点P在曲线--上，点Q在曲线•’m上,则"叨最小值为=丨InVc.1一山：D.山：一111■'"l【答案】B1工【解析】本题主要考查指数函数、对数函数以及导数的应用.函数-与函数1工v_lny-ne曲线y=in2尤互为反函数，因此曲线-关于直线'•••对称，所以要使最小，则点p'「Q关于直线、—'对称•设Qz门,点q到直线、—'的距离为勺IPQI=2d=2■-——凋兀-y\=⑵工-ln2x|则''，令1X-1‘曲）=x-]n2x（尤A0）9（X）」尢—疋八JX>1时厲（X）A0.当UV尤V1时*（x）,所页心亠所以故选B.sinXcosx6•若复数八】•：]i,贝y“的值为

【答案】B解析】本题主要考查复数的基本运sinxcosxsinx(l-i)cosx(l+i)算.<+门區一孑+口-lj(i+i)=sinx(l-i；+cos-I-i)sinx+cosxcosx-sinx7•已知'门堤定义在(0,+^)上的非负可导函数,且满足，对任意正数订、,岩F,则汁的大小关系为A.好(口)〈盯⑷b.吋⑷二bf®)好⑷玉时31D.吋⑷>时⑷【答案】A㈤【解㈤【解析】本题主要考查导数的应用•设，则>0，所以在‘宀上单b即时b即时(a)<吋⑷，又f伍):>0,调递增，因为所以卜'门：，所以"':所以吋何V时(a}V吋他)<W),故选a.备注】要根据所给的式子的结构构造合适的函数,利用函数的单调性求解.

8.若,且(…)—宀幻』+毁/+a3x+兔,贝严等于【答案】B由【解析】本题主要考查二项式定理和复数的运算因为由【解析】本题主要考查二项式定理和复数的运算因为9．已知随机变量的概率分布如下:则P(：=10)等于A.3【答案】C

【解析】本题主要考查随机变量;的分布和概率求和•表格中前9个变量对应的概率组成一—1——m的概率之和为1,所以:，即pG=1o)=m的概率之和为1,所以:，即pG=1o)=f⑴Tf(15)lun10.设f(x)为可导函数，且=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(D)处的切线的斜率是A.2B.-A.2B.-1C.—2D.【答案】Cljm世上理-型J-lim何1-加)7(1)=1【解析】•「厂f'(1)=T,・・・f'(1)=2=k.11.甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止,设每次投篮甲投中的概率为0.4,乙投中的概率为0.6,而且每次不受其它次投篮结果的影响,甲投篮的次数为：,若甲先投，则P(f=町=A.0启“一1X0.4B.0.24“一】x0.76C.0.76D.0.76^一1x0.24【答案】B【解析】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率因为甲先投，所以：表示”甲第次投中，而甲与乙前'丨次没有投中”，或者”甲第#次未投中，而乙第#次投中”•根据相互独立事件同时发生的概率得到：—0匸.<C.-I■0.I-'•U.L'"工匸J>O./U.故选B下结论:其中正确结论的序号为A.①③B.①④C.②④D.②③【答案】D【解析】本题主要考查函数的零点与方程根的关系.f优)=3J-9工+6=3(x-l)(x-2),:*当尤<I或尤>2时』(x)>0'r[l<X<2lbJ7UXo,所以函数f(策)的增区间为5'-1「减区间为，所以函数的极大值是''''J°」函数的极小值是J川\因为：「：：•「：「,且Uh；—口⑴一门「_•：[，.・.

a<Kb<2<ctf(V>0且f(2)<0,所以2*口血=2所以abc<0所以川故选必二、填空题：共4题13.29【答案】'【解析】本题主要考查定积分的性质及其计；|尤+2|dx+_店+2|故算.3_-z\x+2|dx；|尤+2|dx+_店+2|故算.已知复数可=2+i可"+顼口E叽花是实数,则冏十丛【答案】字【解析】本题主要考查复数的基本运算•「；；—：；“—I因为幻”幻是实数「口+6二出二_6川幻+勺=_4+4b+纫=仮层

已知煮工“-r,若存在1,厂*使得H」成立,则实数抚的取值范围是•址使得「成址使得「成【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用.存在'，V-厂立,等价于心)讪丸⑵吨因为问■■-f"+咒孑=<!+诃当I时,：、“递减，当「]时递增，所以当'=]1时」取得最小值1当亠」•时,“门取得最大值,W""'''"'-■'"',故实数"的取值范围是若函数「1「X-心•心的图象关于直线对称，则川门的最大值是【答案】16【解析】本题主要考查函数的性质,考查学生的化归与转化能力.因为函数的图象关于直线对称，所以厂为偶函数f\x-2)=[l-(x-2/][(x-2)2-FaU-2)+b]='-+：：i_"l，--'l_-lf_J：?,此式如果展开，-的系数为显的系数为UM'「2因为门丄'为偶函数，所以；：」u-cn:I■''；故x=&b=15,所以代咒)=(1-,)(/+8工+1巧/&)=-4x3-24x2-28x+8,令t得「二°,分解可得-+・「_—：：:所以

x=-2或x=-2=-厉■2,所以当兀J5-2d2-2<x<J5-2时」’「"i,当ij1「•、门-■'时」’「"；“，所以，□’在卄，和处取得最大值，代入可得''上i的最大值是16.三、解答题：共6题3217•已知复数'-，若'匚是实数，求实数答案】由题得.£1+5^0I1-H03217•已知复数'-，若'匚是实数，求实数答案】由题得.£1+5^0I1-H0(-(10-£i2)+(2ti-5)=0<=>◎工-5a1a=-5nga=3【解析】本题主要考查复数的基本运算.根据◎+Zn-■_z-++—(10—+(2d—5)|i^^是实数，列出方程组I。+"0fa-5i巴U1^I-(10_a)+(2d-S)=0(u=-5或口=3,即解得a=3.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.(I)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；仃I)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(III)设随机变量E为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求E的分布列.【答案】(I)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E,那么AAiP(E)」E川.A1即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是仃I)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,那么P(E)」八山.所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)=1-P(E)=：U.(Ill)随机变量E可能取的值为1,2.事件“2=2”是指有两人同时参加A岗位服务，则3所以P(E=1)=1-P(E=2)=*,E的分布列是E12p31斗4解析】无已知函数f(x)=ax2+l(a〉0),g(x)=x3+bx.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间［k,2］上的最大值为28,求k的取值范围.【答案】(I)f'(x)=2ax,g'(x)=3x2+b.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，所以f(1)=g(1),且f'(1)=g'(1),即a+1=1+b,且2a=3+b,解得a=3,b=3.(II)记h(x)=f(x)+g(x),当a=3,b=-9时，h(x)=x3+3x2-9x+1,h'(x)=3x2+6x-9.令h'(x)=0,得x=-3,x=1.12h(x)与h'(x)在(-8,2］上的变化情况如下:由此可知:当kW-3时,函数h(x)在区间［k,2］上的最大值为h(-3)=28;当-3〈k〈2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.因此,k的取值范围是(-R,-3].【解析】本题主要考查切线、单调性、极值以及最值问题,难度中等,意在考查考生的运算能力和逻辑思维能力.(1)曲线在某点处的切线的斜率就是该点处的导数;(2)本题中函数的极大值同时也是最大值,由此来确定字母k的取值范围.20．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(I)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nWN)的函数解析式；仃I)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝)，整理得下表：丨1需求臺Z141>17出1U2()频数1()20IS1615131()以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元)，求X的分布列、数学期望及方差;若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.【答案】(I)当日需求量n216时，利润y=80.当日需求量n<16时，利润y=10n-80.所以y关于n的函数解析式为[10n-80Pn<16；80fn>16z、y=(nWN).仃I)(i)X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.X的分布列为A7()SOfJ{).10.2{).7X的数学期望为EX=60X0.1+70X0.2+80X0.7=76.X的方差为DX=(60-76)2X0.1+(70-76)2X0.2+(80-76)2X0.7=44.(ii)答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元)，那么Y的分布列为5575/J{).102{).54的数学期望为EY=55X0.1+65X0.2+75X0.16+85X0.54=76.4.的方差为DY=(55-76.4)2X0.1+(65-76.4)2X0.2+(75-76.4)2X0.16+(85-76.4)2X0.54=112.04.由以上的计算结果可以看出,DX〈DY,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外，虽然EX<EY,但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元)，那么Y的分布列为556575fJ{].1{].?Or16f).MY的数学期望为EY=55X0.1+65X0.2+75X0.16+85X0.54=76.4.由以上的计算结果可以看出,EX〈EY,即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.【解析】本题主要考查函数解析式、随机变量的概率、分布列和方差,意在考查考生的运算求解能力・（1）根据日需求量分类求出函数解析式.（II）（i）根据当天的需求量，写出相应的利润，列出分布列，求出数学期望和方差.（II）（ii）比较两种情况的方差或数学期望即可.【备注】本题中的利润与需求量之间的对应关系是由（I）中的函数关系确定出来的，它们之间的关系是线性对应关系,所以它们相对应值的概率一致,抓住一致性就可以顺利解答问题.21.已知MABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB,AC于点P,Q,设IIIIAP=xAB,AQ=yAC记》=f〔疋）（1）求函数'一：：门的表达式；⑵设.:儿门「■気’厶⑺二丨0」|.若对任意，总存在「W，使得，1（；，|：小匕'成立,求实数a的取值范围.【答案】（1）•・•过点M的直线分别交两边AB,AC于P,Q,.•・0VxW1,0VyW1,Illi又•J"二x*匸」'■丿二厂:八，1J_又•••P,M,Q三点共线，・•・口+卜=1,TOC\o"1-5"\h\zy=f(x)=」「；1.0<x<1o<<]io<-^―<i0<y<1^X-l$WxWl,x1••・y=f(x)="】，xw2,i].x141⑵•••f(x)=4】」+心1在[3,1]内是减函数,••・[f(x)]=f(1)=M,[f(x)]=fO=1,minmax即函数f(x)的值域为[°,1],Vg'(x)=3x2+3a2^0,••・g(x)在[0,1]内是增函数，•[g(x)]=g(0)=2a,[g(x)]x=g(1)=3a2+2a+1,minmax•g(x)的值域为[2a,3a2+2a+1],由题设得[,1][2a,3a2+2a+l],i2a<|TOC\o"1-5"\h\zI3ct^十2a十1A1——则.，解得a的取值范围是(-伞-引U[0/].【解析】本题主要考查平面向量基本定理,三点共线的条件和函数的性质.Ill111⑴先求出Im八L'+,然后利用P,M,Q三点共线得到匕+门=1，变形得[0<x<1JC[0<<1io<-——<114VTi':|0<y<1^X-1-到函数解析式y=f(x)=L、1,再利用即求出°WxWl，即函x数的定义域，从而得到函数'■':「:的表达式为:y=f(x)="],xe[,i],1TOC\o"1-5"\h\zX14⑵先将y=f(x)的表达式变形得到(x)=°】=打门1,易知函数y=f(x)在[,1]内是减11—M—函数，・：[f(x)]=f(l)」，[f(x)]a=f()=1,即f(x)的值域为[勺1].对函数minm32孕丄】:■九丄’2讥通过求导,可得到站"在'：「上是增函数,求出其值域为1—+2d+1^1[2a,3a2+2a+1].根据题意可知，[°,1][2a,3a2+2a+1],,解得a的取值范围是Y,-]U[0,匕].22.已知函数儿亠1心一山⑴当时，求证(2)在区间(1,e)上fW＞兀恒成立,求实数a的取值范围;⑶当」上时，求证J'「；门•「；"■1；.「工■:小+：)：■>;厂“*)111【答案】⑴令g(x)二｛[f(x)-1]-a(1-'、)｝Xit=lnx-1+人(x>0),11x-1匚一2—厂••.g'(x)=-'-=-1(x>0),在(0,1)内为负，在(1,+8)内为正，••・g(x)在(0,1)内单调递减，在(1,+s)内单调递增，••・[g(x)]mi=g(1)=0,111xW(0,+8),g(x)二｛[f(x)—1]—a(1—"=lnxT+」'20,又Va>0,...f(x)—12a(1—X).(2)令h(x)=f(x)—x=alnx+1—x(1WxWe)，则h'(x)='：—1=—(1VxVe),1°当a>e时，xw(1,e),h(x)>0・・.h(x)在(1,e)内是增函数，UxW(1,e),h(x)>h(1)=0.a>e符合；2°当1VaWe时h'(x)在(1,a)内为正，在(a,e)内为负，••・h(x)在(1,a)内递增，在(a,e)内递减，1<u<eJh(l)=0>0,I机可=a+1-e>0xw(1,e),f(x)>xIIe—1WaWe;3°当aWl时h'(x)在(l,e)内为负，所