清华版矩阵位移法课件

第九章矩阵位移法第九章矩阵位移法1§9-1概述

矩阵位移法是以结构位移为基本未知量，借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。

理论基础：位移法分析工具：矩阵计算手段：计算机

矩阵位移法的基本步骤是：（1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析。§9-1概述矩阵位移法是以结构位移为基2基本思想:化整为零

------结构离散化将结构拆成杆件,杆件称作单元.单元的连接点称作结点.单元分析

对单元和结点编码.634512135642e单元杆端力集零为整------整体分析单元杆端力结点外力单元杆端位移结点外力单元杆端位移(杆端位移=结点位移)结点外力结点位移基本未知量:结点位移基本思想:化整为零------结构离散化3§9-2单元刚度矩阵（局部坐标系）E,A,I12l

e1.一般单元1212§9-2单元刚度矩阵（局部坐标系）E,A,I12l4单元刚度方程：即由方程。加约束：发生位移：

12e单元刚度方程：即由方程。加约束：发生位移5eee单元刚度方程的矩阵表示形式：可记为：eee局部座标系的单元刚度矩阵eee单元刚度方程的矩阵表示形式：可记为：eee局部座标系的62.单元刚度矩阵的性质（1）单元刚度系数的意义e—代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第i个杆端力分量。（2）单元刚度矩阵是对称矩阵，即。（3）一般单元的刚度矩阵是奇异矩阵。ee2.单元刚度矩阵的性质（1）单元刚度系数的意义e—代表单元杆73.特殊单元e例：12e某一个或几个位移已知为零，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。3.特殊单元e例：12e某一个或几个位移已知为零，其刚度方程8eeeeeeeeeeeeeeee9

exyX1Y1X2Y2§9-3单元刚度矩阵（整体坐标系）1.单元座标转换矩阵eeeeeeeeeeeeeeeeexyX1Y1X2Y2§9-3单元刚度矩阵（整体坐标系10eeeee单元坐标转换矩阵ïïïþïïïýüïïïîïïïíìúúúúúúúûùêêêêêêêëé--=ïïïþïïïýüïïïîïïïíì2221112221111000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosMYXMYXMYXMYXaaaaaaaa[T]-1=[T]Teeeeⓔⓔeeeee单元坐标转换矩阵ïïïþïïïýüïïïîïïïí11eee整体座标系中(a)eee{F}=[k]{}(b)e{F}

=[T]T[T]{}ee(d)k[T]{F}=e[T]{}(c)eke[k]=[T]T

ke[T]e(e)[k]e的性质与ek一样。2.整体座标系中的单元刚度矩阵（a）式两边前乘[T]T比较式(b)和(d)：局部座标系中eee整体座标系中(a)eee{F}=[k]{}(12例1.试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵[k]。设和杆的杆长和截面尺寸相同。1l=5ml=5m2xyl=5m，b

h=0.5m1m,A=0.5m2,I=m4,124解:局部座标系中的单元刚度矩阵ke12k=

k

例1.试求图示刚架中各单元在整体座标系中1l=5ml13单元2：=90，单元座标转换矩阵为[k]=[T]T

k[T](2)整体座标系中的单元刚度矩阵e[k]单元1：=0，[T]=[I]k1=1[k]单元2：=90，单元座标转换矩阵为[k]=[T14清华版矩阵位移法课件15§9-4连续梁的整体刚度矩阵按传统位移法i1i212

14i1

12i1

10i1i212

22i1

22i2

2(4i1+4i2)

2i1i212

302i2

34i2

3每个结点位移对{F}的单独贡献§9-4连续梁的整体刚度矩阵按传统位移法i1i212116F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2

1

2

3={F}=[K]{}

根据每个结点位移对附加约束上的约束力{F}的贡献大小进行叠加而计算所得。传统位移法F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i2171.单元集成法的力学模型和基本概念分别考虑每个单元的贡献，整刚由单元直接集成i1i212

1

2

3F3{F}1=[F11F211]TF11F21F31令i2=0，则F31=0[k]=4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i1

1

2（a）（b）1.单元集成法的力学模型和基本概念分别考虑每个单元的贡献，整18F11F21F31=4i12i14i12i100000

1

2

31[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i100000单元1的贡献矩阵记为：称为：[K]=24i12i14i12i100000同理得到单元2的贡献矩阵F11F21F31=4i12i14i12i1000001191[K]{}{F}=12[K]{}{F}=2i1i2121212[K]=（[K]+[K]）=12ee[k][K][K]ee{F}={F}+{F}=（[K]+[K]）{}12{F}=[K]{}整体刚度矩阵为：求整刚矩阵步骤：得整体刚度方程：1[K]{}{F}=12[K]{}{F}20[k]=4i12i14i12i11[K]=14i12i14i12i100000[k]=4i22i24i22i22[K]=24i22i24i22i2000001214i12i14i12i1000002i22i24i2[K]=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i2[k]=4i12i14i12i11[K]=14i12212.按照单元定位向量由[k]求

e[K]e(1)整体分析总码。(2)单元分析局部码。连续梁121231(1)(2)2(1)(2)位移统一编码，总码确定中的元素在中的位置。[k]

e[K]e位移单独编码局部码2.按照单元定位向量由[k]求e[K]e(1)整体分析22单元12对应关系局部码总码单元定位向量e(1)1(2)21=(1)2(2)32=由单元的结点位移总码组成的向量单元定位向量:总码、局部码之间的对应关系。也称为“单元换码向量”。单元12对应关系局部码总码单元定位向量e(1)1(2)23（3）单刚[k]

e[K]e和单元贡献中元素的对应关系单元

单元

[k]=4i12i14i12i11(1)(2)(1)(2)1=[K]=11230000000004i12i12i14i1123[k]=4i22i24i22i22(1)(2)(1)(2)2=[K]=20000000004i22i24i22i2123123（3）单刚[k]e[K]e和单元贡献中元素的对应关系单元243.单元集成法的实施（定位累加）（1）将[K]置零，得[K]=[0]；（2）将[k]

的元素在[K]中按{

}

定位并进行累加，得[K]=[K]

；（3）将[k]

的元素在[K]中按{

}

定位并进行累加，得[K]=[K]

+[K]

；按此作法

对所有单元循环一遍，最后即得整体刚度矩阵[K]。3.单元集成法的实施（定位累加）（1）将[K]置零25[K]123123000000000[k]110000000004i12i12i14i1123123[k]224i12i14i12i1000002i22i24i24i1+4i2123123[K]123123000000000[k]11000002612i1i2i331230

1

2

3

0=0（1）结点位移分量总码1=2=3=例.求连续梁的整体刚度矩阵。（2）单元定位向量12i1i2i3312301230=0（1）结点位27（3）单元集成过程[k]=4i12i14i12i111221[k]=4i22i24i22i222332[k]=4i32i34i32i330330[K]=1231230000000004i12i12i12i22i24i24i14i2+4i34i1+4i2（3）单元集成过程[k]=4i12i14i12i1112284.整体刚度矩阵[K]的性质（1）整体刚度系数的意义:Kij表示

j=1(其余

=0)时产生的结点力Fi（2）[K]是对称矩阵（3）对几何不变体系，[K]是可逆矩阵，如连续梁i1i2

1

2

3F1F2F3{F}=[K]{}{

}=[K]-1{F}4.整体刚度矩阵[K]的性质（1）整体刚度系数的意义:29（4）[K]是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁

1

2

3F1F2F3123n

nFn

n+1Fn+10000000000000000000000000000000000004i12i12i12i22i24i2+4i34i1+4i24in2i32in（4）[K]是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁123F1F301、用矩阵位移法计算连续梁时无需对单元刚度矩阵作坐标变换。（）

2、组装结构整体刚度矩阵之前，必须对单元刚度矩阵进行坐标转换。（）3、结构整体刚度矩阵与结点位移编号方式无关。（）4、如单元定位向量中的第i个元素为0，说明单元第i个杆端位移分量对应刚性支座。（）1、用矩阵位移法计算连续梁时无需对单元刚度矩阵作坐标变换。（315、单元定位向量是有单元（）组成的向量。A.局部坐标杆端位移编码B.所在结点编号C.所在结点位移总码D.整体坐标杆端位移分量编码6、图示单元变形情况所产生的六个杆端力组成了单元刚度矩阵的第（）元素.A．3列B.6行C.1列D.6列1245635、单元定位向量是有单元（）组成的向量。12456332§9-5刚架的整体刚度矩阵

（2）各单元已形成了整体座标系下的单元刚度矩阵；（1）各

经由e[k]e{}进行累加集成[K]。与连续梁相比：(1)各单元考虑轴向变形；(2)每个刚结点有三个位移；(3)要采用整体座标；(4)要处理非刚结点的特殊情况。思路要点：

§9-5刚架的整体刚度矩阵（1）各经由331.结点位移分量的统一编码——总码ABCxy123004000结点位移总码{}=[1

2

3

4]T规定：对于已知为零的结点位移分量，其总码均编为零。=[uA

vA

A

C]T整体结构结点位移向量：结点力向量为：=[XA

YA

MA

MC]T{F}=[F1

F2

F3

F4]T①②1.结点位移分量的统一编码——总码ABCxy12300434x(1)(2)(3)(5)(6)x(2)(3)(5)(6)单元结点位移分量局部码2、单元定位向量①②ABCxy12300400结点位移总码②①0(4)(1)(4)x(1)(2)(3)(5)(6)x(2)(3)(5)(6)35单元

单元

局部码

总码局部码

总码（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）4（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）0

单元单元局部码总码局部码总码（1）1（1）361[k]=0000000000000000000000000000000000001112131415162122232425263132333435364142434445465152535455566162636465661230041230042[k]123000123000111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566=3、单元集成过程1[k]=0000000000000000000000000371234[K]=1234000000000000000011121321222331323361626366162636111213212223313233[K]求单元常数{}[T]单元刚度矩阵程序设计框图1234[K]=1234000000000000000011384、铰结点的处理1122刚结点：变形连续，截面1和截面2具有相同的结点位移。铰结点：部分变形连续，截面1和截面2具有相同的结点线位移；而其角位移不相等。4、铰结点的处理1122刚结点：变形连续，截面1和截面2具有39123ABDxy000123456C1C2457000123结点位移分量总码结点C1[456]结点C2[457]单元定位向量123ABDxy000123456C1C24570001234000000000000000000000000000000000000000000000000001[k]=1234561234562[k]=1230001230003[k]=457000457000[K]=1234567123456700000000000000000000000000000041§9-6等效结点荷载{F}=[K]{}……………(1)结构体系刚度方程：1、位移法基本方程[K]{}+{FP}={0}…………...………(2){F}+{FP}={0}…………....(3)将(1)式代入(2)式：基本体系在荷载单独作用下产生的结点约束力。基本体系在结点位移单独作用下产生的结点约束力。§9-6等效结点荷载{F}=[K]{}……………(422、等效结点荷载的概念结点结束力——{FP}结点结束力——{FP}等效结点荷载{P}原荷载{P}=–{FP}………解决了计算等效结点荷载的问题等效原则是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力2、等效结点荷载的概念结点结束力——{FP}结点结束力——433、按单元集成法求整体结构的等效结点荷载{P}(1)局部座标单元的等效结点荷载{P}exee{P}ee3、按单元集成法求整体结构的等效(1)局部座标单元的等效结点44(2)整体座标单元的等效结点荷载{P}eee(3)

结构的等效结点荷载{P}xy(2)整体座标单元的等效结点荷载{P}eee(3)结构的等451112xy12348kN4.8kN/mABC5m2.5m2.5m单元1:单元2:121112xy12348kN4.8kN/mABC5m2.5m246112121210-10+4+0-5222112121210-10+4+0-522247[K]求单元常数{}[T]{P}原始数据、局部码、总码解方程[K]{}={P}求出结点位移{}开始单元刚度矩阵ke单元固端力e结束§9-7计算步骤和算例[K]{}={F}{FP}+=程序设计框图求杆端力eeee[K]求单元常数{}[T]{P}原始数据、局部码、总码解48例.求图示刚架的内力。设各杆为矩形截面，横梁b2×h2=0.5m×1.26m，立柱b1×h1=0.5m×1m。（1）原始数据、局部码