十八 机械振动基础

理论力学1第四章机械振动基础说话，声带振动振动:物体在平衡位置附近往复运动研究振动的目的：

消除或减小有害振动，充分利用有利振动。听声，耳膜振动利：振动给料机振动筛振动沉拔桩机弊：磨损,减少寿命,影响强度引起噪声,影响劳动条件消耗能量,降低精度2第四章机械振动基础本章只研究单自由度系统和两自由度系统的振动。单自由度系统的振动多自由度系统的振动弹性体的振动按振动系统的自由度无阻尼自由振动有阻尼自由振动自由振动强迫振动自激振动按振动产生原因无阻尼的强迫振动有阻尼的强迫振动34123单自由度系统的自由振动计算固有频率的能量法单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼自由振动第四章机械振动基础5单自由度系统的有阻尼受迫振动6转子的临界转速7隔振4模型：弹簧质量系统（弹簧原长l0,刚性系数k）在重力作用下弹簧变形δst为静变形，该位置为平衡位置。平衡取重物平衡位置O点为坐标原点，x轴铅直向下为正;xOx弹簧力§4-1

单自由度系统的自由振动一、自由振动微分方程5由质点运动微分方程可得—恢复力只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动。（始终指向原点）—无阻尼自由振动微分方程的标准形式xOx§4-1

单自由度系统的自由振动6两个根为代入微分方程得特征方程xOx—二阶齐次线性常系数微分方程方程解表示为C1、C2为积分常数，由初始条件确定§4-1

单自由度系统的自由振动7微分方程的解运动图线无阻尼自由振动是简谐振动txtt+Tx0OAxOx方程解表示为§4-1

单自由度系统的自由振动81、固有频率无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动任意t时刻的运动规律为—周期函数T—周期二、无阻尼自由振动的特点单位：秒(s)无阻尼自由振动经过时间T后又重复原来的运动§4-1

单自由度系统的自由振动9无阻尼自由振动微分方程解为角度周期为2π，有则自由振动的周期为—频率其中每秒振动次数(1/s,Hz赫兹)—圆频率2π秒内振动次数(rad/s,弧度/秒)§4-1

单自由度系统的自由振动10

固有频率是振动理论中的重要概念，它反映了振动系统的动力学特性，计算系统的固有频率是研究系统振动问题的重要课题之一。自由振动的圆频率ωn只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关，而与运动的初始条件无关，它是振动系统的固有特性。—固有圆频率§4-1

单自由度系统的自由振动11若已知无阻尼自由振动系统在重力作用下的静变形，就可求得系统的固有频率。如：我们可以根据车厢下面弹簧的压缩量来估算车厢上下振动的频率。满载车厢的弹簧静变形比空载车厢大，则其振动频率比空载车厢低。§4-1

单自由度系统的自由振动12固有频率的确定方法：方法一:方法二：弹簧质量系统平衡时方法三：已知系统的运动微分方程§4-1

单自由度系统的自由振动13⑵振幅与初位相振幅简谐振动表达式—相对于振动中心点O的最大位移初相位—决定质点运动的起始位置相位角—决定质点在某瞬时t的位置自由振动的振幅A和初相位θ是两个待定常数，它们由运动的初始条件确定。§4-1

单自由度系统的自由振动14简谐振动表达式§4-1

单自由度系统的自由振动15物块在平衡位置时，弹簧变形量例4-1

如图所示，质量为m=0.5kg的物块沿光滑斜面无初速度滑下。当物块下落高度h=0.1m时撞于无质量的弹簧上并与弹簧不再分离。弹簧刚度k=0.8kN/m，倾角β=30°，求此系统振动的固有频率和振幅，并给出物块的运动方程。解:⑴取质量弹簧系统为研究对象Oxh⑵以物块平衡位置O为原点，取x轴如图⑶物块在任意位置x处受力重力mg斜面约束力FN弹性力F§4-1

单自由度系统的自由振动16固有频率与斜面倾角β无关⑷系统振动的固有频率固有频率物块沿x轴的运动微分方程系统的通解Oxh§4-1

单自由度系统的自由振动17取物块刚碰上弹簧作为初始条件，此时t=0，物块坐标即初位移⑸系统振动的振幅、物块的运动方程物块碰上弹簧时初速度§4-1

单自由度系统的自由振动Oxh18得振幅及初相位此物块的运动方程为系统的通解Oxh§4-1

单自由度系统的自由振动19⑴弹簧并联系统平衡—等效弹簧刚度系数三、弹簧的并联与串联设物块在重力mg作用下平移，静变形为δst，两弹簧受力F1和F2弹簧刚度分别为k1、k2§4-1

单自由度系统的自由振动20⑴弹簧并联系统平衡(等效弹簧刚性系数)三、弹簧的并联与串联并联系统固有频率当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度等于两个弹簧刚度的和。（该结论可推广到多弹簧并联的情形）§4-1

单自由度系统的自由振动21⑵弹簧串联两弹簧总静伸长每个弹簧受力均为物块重量系统平衡时,两弹簧静伸长分别为设串联系统等效弹簧刚度为keq，则三、弹簧的并联与串联§4-1

单自由度系统的自由振动22等效弹簧刚度⑵弹簧串联三、弹簧的并联与串联串联系统固有频率当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度的倒数等于两个弹簧刚度倒数的和。（该结论可推广到多弹簧串联的情形）§4-1

单自由度系统的自由振动23扭振系统：圆盘对中心轴转动惯量为JO，刚性固结在扭杆的一端，圆盘相对固定端可转角度φ，扭杆的扭转刚性系数为kt（使圆盘产生单位扭角所需力矩）扭振系统根据刚体转动微分方程建立圆盘转动运动微分方程：四、其它类型的单自由度振动系统（扭振系统、多体系统）—与无阻尼微分方程的标准形式相同§4-1

单自由度系统的自由振动24运动规律速度为在t瞬时物块的动能§4-2

计算固有频率的能量法能量法从机械能守恒定律出发计算较复杂系统的固有频率。xOx无阻尼振动系统自由振动时，物块运动为简谐振动。25对有重力影响的弹性系统，若以平衡位置为零势能点，则重力与弹性力势能之和相当于由平衡位置计算变形的单独弹性力势能。系统势能V为弹簧势能与重力势能的和，选平衡位置为零势能点xOx§4-2

计算固有频率的能量法26xOx当物块处于平衡位置时，其速度最大，物块具有最大动能(势能为0)当物块处于偏离振动中心的最远点时，其位移最大，系统具有最大势能（动能为0）无阻尼自由振动系统是保守系统，其机械能守恒§4-2

计算固有频率的能量法27则系统振动时摆杆的最大角速度⑶计算最大动能和最大势能最大动能例18-5

图示摆振系统，摆杆AO对铰链点O的转动惯量为J，在杆的点A和B各安置一个刚度分别为K1和K2的弹簧，系统在水平位置处于平衡，求系统作微振时的固有频率。⑵设摆杆作自由振动时,其摆角φ变化规律为解:⑴取摆杆为研究对象AOdlB§4-2

计算固有频率的能量法28最大势能=两弹簧最大势能之和⑷应用机械能守恒定律最大动能AOdlB§4-2

计算固有频率的能量法29—振动过程中的阻力粘性阻尼力c：粘性阻尼系数§4-3

单自由度系统的有阻尼自由振动一、阻尼介质阻尼阻尼类型内阻尼干摩擦阻尼粘性阻尼：当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力与速度一次方成正比（较多）设振动质点的速度为v负号表示方向30—振动过程中的阻力振动系统中存在粘性阻尼时,常用阻尼元件c表示一般的机械振动系统都可简化为：由惯性元件（m）

弹性元件（k）

阻尼元件（c）组成的系统m一、阻尼上节研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随时间改变的，振动过程将无限地进行下去。实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。§4-3

单自由度系统的有阻尼自由振动31mxOx物块振动微分方程粘性阻尼力：恢复力：以平衡位置O为坐标原点二、振动微分方程（不计重力）振动过程中作用在物块上的力方向指向平衡位置O方向与速度方向相反§4-3

单自由度系统的有阻尼自由振动32mxOx物块振动微分方程—有阻尼自由振动微分方程的标准形式两个特征根为特征方程设其解为方程通解为二阶齐次常系数线性微分方程§4-3

单自由度系统的有阻尼自由振动331、欠阻尼δ<ωn特征根为共轭复数微分方程的解—有阻尼自由振动的圆频率mxOxA和θ为积分常数，由运动的初始条件确定阻力系数§4-3

单自由度系统的有阻尼自由振动34运动图线衰减振动：振动的振幅随时间不断衰减—衰减振动周期tx§4-3

单自由度系统的有阻尼自由振动35将质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所需时间称为衰减振动周期，记为Td。tx这种振动不符合周期振动定义，不是周期振动，但仍围绕平衡位置往复运动，仍具振动特点。阻尼比：振动系统中反映阻尼特性的重要参数§4-3

单自由度系统的有阻尼自由振动36欠阻尼下，阻尼比有阻尼自由振动周期圆频率频率与无阻尼自由振动T、f和ωn的关系表明：由于阻尼的存在，系统自由振动的周期增大，频率减小。§4-3

单自由度系统的有阻尼自由振动37空气中的振动系统阻尼较小—减缩因数任意两相邻振幅之比为一常数，故衰减振动的振幅呈几何级数减小，很快趋近于零。小阻尼情况下，阻尼对自由振动的频率影响较小，对振幅影响较大，振幅呈几何级数下降。衰减振动运动规律相当于振幅一个周期Td后，系统最大偏离值设在某瞬时ti，振动达到的最大偏离值两相邻振幅之比§4-3

单自由度系统的有阻尼自由振动38—对数减缩率两端取对数阻尼比ζ=0.05时,可算出振动频率只比无阻尼时下降0.125%,而振幅衰减率为0.7301。10个周期后,振幅只有原振幅的4.3%。对数减缩率与阻尼比的关系§4-3

单自由度系统的有阻尼自由振动对数减缩率

是反映阻尼特性的一个参数，与阻尼比ζ之间只差2π倍。392、临界阻尼δ=ωn特征根为两相等实根微分方程的解物体运动随时间的增长而无限趋于平衡位置，运动已不具有振动的特点。C1和C2为积分常数，由运动的初始条件确定mxOx§4-3

单自由度系统的有阻尼自由振动403、过阻尼δ>ωn特征根为两不等实根微分方程的解运动图线（不再具有振动性质）§4-3

单自由度系统的有阻尼自由振动41mm解:求出对数减缩率阻尼比临界阻力系数阻力系数例4-6

图示弹簧质量阻尼系统，物块质量为0.05kg，弹簧刚度k=2000N/m，系统发生自由振动，测得其相邻两个振幅之比，求系统的临界阻力系数和阻力系数各为多少？Ock§4-3

单自由度系统的有阻尼自由振动42m交流电通过电磁铁产生交变的电磁力引起的振动弹性梁上的电动机由于转子偏心在转动时引起的振动受迫振动：在外加激振力作用下的振动§4-4

单自由度系统的无阻尼受迫振动简谐激振力：周期变化的激振力H：激振力力幅；ω：激振力的圆频率φ：激振力初相位43m取平衡位置为原点，向下为正质量为m的物块受恢复力Fk和激振力F作用质点运动微分方程为—无阻尼受迫振动微分方程的标准形式mxxO一、振动微分方程§4-4

单自由度系统的无阻尼受迫振动44—二阶常系数非齐次线性微分方程解由两部分组成齐次方程的通解为b为待定常数设特解为将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：§4-4

单自由度系统的无阻尼受迫振动45无阻尼受迫振动微分方程的全解无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的：第一部分是频率为固有频率的自由振动；第二部分是频率为激振力频率的受迫振动。实际振动系统存在阻尼，自由振动部分会很快衰减掉，我们着重研究第二部分稳态的受迫振动。§4-4

单自由度系统的无阻尼受迫振动46

二、受迫振动的振幅在简谐激振条件下，系统的受迫振动为谐振动，其振动频率等于激振力的频率，振幅的大小与运动初始条件无关，与振动系统的固有频率ωn、激振力的力幅H、激振力频率ω有关。§4-4

单自由度系统的无阻尼受迫振动47⑴若ω→0，激振力为一恒力，不振动，振幅b0为静力H

作用下静变形振幅b与激振力频率ω之间关系⑵

若0<ω<ωnω↗,b↗，当ω

→ωn时，振幅b将趋于无穷大⑶若ω>ωn

b为负值,习惯上把振幅都取为正值,因而取其绝对值,而视受迫振动与激振力反向,相位应加或减180°。ω↗,b↘，当ω

→∞时，振幅b将趋于0§4-4

单自由度系统的无阻尼受迫振动48振幅b与激振力频率ω之间关系无量纲振幅频率曲线振幅频率曲线§4-4

单自由度系统的无阻尼受迫振动49当ω=ωn时，即激振力频率等于系统固有频率时，振幅b在理论上趋向无穷大，这种现象称为共振。设特解为无阻尼受迫振动微分方程无意义三、共振现象§4-4

单自由度系统的无阻尼受迫振动50它的幅值为共振时受迫振动的运动规律为当ω=ωn时，系统共振，受迫振动的振幅随时间无限地增大，其运动图线如图示。ttO实际系统由于存在阻尼，共振振幅不可能达到无限大，但共振时振幅都相当大，往往使机器产生过大的变形，甚至造成破坏，因此如何避免发生共振是工程中一个非常重要的课题。§4-4

单自由度系统的无阻尼受迫振动51m解:设任一瞬时刚杆摆角为φ，建立系统运动微分方程微分方程整理为例4-8

图示无重刚杆AO长为l，一端铰支,另一A水平悬挂在刚度为k的弹簧上，杆中点装一质量为m的小球。若在A处加一激振力F=F0sinωt，其中激振力的频率ω

=1/2ωn，ωn为系统的固有频率。忽略阻尼，求系统的受迫振动规律。kAOl/2l/2§4-4

单自由度系统的无阻尼受迫振动52将ω=1/2ωn代入上式研究受迫振动方程特解mkAOl/2l/2§4-4

单自由度系统的无阻尼受迫振动53解:⑴取电机与偏心块为研究对象⑵作用在系统上的恢复力⑶质点系动量定理的微分形式偏心块坐标例4-9

图示带有偏心块的电动机固定在一根弹性梁上。设电机质量为m1，偏心块质量为m2，偏心距为e，弹性梁的刚性系数为k，求电机以角速度ω匀速旋转时系统的受迫振动规律。设电机轴心在t瞬时相对其平衡位置O的坐标为xOm1m2§4-4

单自由度系统的无阻尼受迫振动54此微分方程为质点受迫振动,激振力项m2eω2sinωt

,即电机旋转时,偏心块的离心惯性力在x轴方向的投影Om1m2激振力力幅m2eω2等于离心惯性力的大小；激振力圆频率等于转子的角速度ω,这种情况引起的激振力的力幅与激振力的频率有关。§4-4

单自由度系统的无阻尼受迫振动55

ω>ωn时,振幅随频率增大而减小,最后趋于m2e/(m1+m2)

ω<ωn时,振幅从零开始,随频率增大而增大；振幅频率曲线ω=ωn时，振幅趋于∞；受迫振动振幅bO§4-4

单自由度系统的无阻尼受迫振动56各力在坐标轴上投影取重物平衡位置O为坐标原点,坐标轴铅直向下运动微分方程§4-5

单自由度系统的有阻尼受迫振动mxOx

图示有阻尼振动系统，物块质量为m，物块上作用有线性恢复力Fk、粘性阻尼力Fc和简谐激振力Fs57运动微分方程§4-5

单自由度系统的有阻尼受迫振动mxOx有阻尼受迫振动微分方程的标准形式，二阶线性常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成：x1：齐次方程的通解小阻尼(n<ωn)情形下58x2：齐次方程特解将x2代入运动微分方程得§4-5

单自由度系统的有阻尼受迫振动mxOx运动微分方程设其形式为ε

—受迫振动的相位落后于激振力的相位角59将右端改写为§4-5

单自由度系统的有阻尼受迫振动对任意瞬时t，必须满足60A和

为积分常数，由初始条件确定联立后可得得微分方程通解有阻尼受迫振动由两部分合成：第一部分是衰减振动；第二部分是受迫振动。§4-5

单自由度系统的有阻尼受迫振动61由于阻尼的存在，第一部分振动随时间增加很快衰减，这段过程称为过渡过程（瞬态过程），过渡过程是很短暂的，过渡过程之后，系统进入稳态过程。§4-5

单自由度系统的有阻尼受迫振动txOtxOtxO62有阻尼存在，简谐激振力下的受迫振动仍为谐振动，振动频率等于激振力频率振幅不仅与激振力力幅有关，还与激振力频率ω以及振动系统参数m、k和阻力系数c有关。运动方程特解§4-5

单自由度系统的有阻尼受迫振动研究稳态过程振幅63无量纲化：横轴表示频率比λ=ω/ωn，纵轴表示振幅比β=b/b0，阻尼的改变用阻尼比ζ=c/cc=n/ωn表示§4-5

单自由度系统的有阻尼受迫振动64不同阻尼条件下受迫振动的振幅频率曲线阻尼对振幅的影响程度与频率有关：⑴当ω<<ωn时，阻尼对振幅影响甚微，可忽略阻尼；§4-5

单自由度系统的有阻尼受迫振动⑵当ω→ωn（即λ→1）时，振幅显著增大，阻尼对振幅影响明显，即阻尼增大。振幅显著下降。65振幅bmax具有最大值，这时频率ω称为共振频率一般情况下ζ<<1，可认为共振频率ω=ωn⑶当ω>>ωn时，阻尼对振幅影响也较小，可忽略阻尼§4-5

单自由度系统的有阻尼受迫振动共振频率下的振幅共振振幅66有阻尼受迫振动的位相总比激振力落后一个相位角ε，ε称为相位差。ε表达了相位差随谐振力频率的变化关系。由微分方程的特解§4-5

单自由度系统的有阻尼受迫振动67相位差总是在0°至180°区间变化，是一单调上升曲线。共振时，ω=ωn

ε=90°，阻尼值不同的曲线都交于这一点。越过共振区后，随着ω的增加，相位差趋近180°这时激振力与位移反相。相频曲线§4-5

单自由度系统的有阻尼受迫振动68解:⑴取系统为研究对象m设刚杆振动摆角为θ,由动量矩定理得例4-10

图示无重刚杆一端铰支，距铰支端l处有一质量为m的质点，2l处有一阻尼系数为c的阻尼器，3l处有一刚度为k的弹簧，并作用一简谐激振力F=F0sinωt。刚杆在水平位置平衡，试列出系统的振动微分方程，并求系统的固有频率ωn以及当激振力频率ω等于ωn时质点的振幅。§4-5

单自由度系统的有阻尼受迫振动⑵受力分析⑶建立系统振动微分方程69ω=ωn时,其摆角θ的振幅质点的振幅§4-5

单自由度系统的有阻尼受迫振动m70工程中的回转机械，如涡轮机、电机等，在运转时经常由于转轴的弹性和转子偏心而发生振动。当转速增至某特定值时，振幅会突然加大，振动异常激烈，当转速超过这个特定值时，振幅又会很快减小。使转子发生激烈振动的这个特定转速称为临界转速。§4-6

转子的临界转速71xyO§4-6

转子的临界转速单圆盘转子垂直装在无质量的弹性转轴上圆盘质量为m，质心为C，A为圆盘与转轴交点，偏心距e=AC。O为z轴与圆盘交点，rA=OA为转轴上点A的挠度（变形）圆盘与转轴以ω匀速转动时，由于惯性力的影响，转轴发生弯曲而偏离轴线z。圆盘惯性力的合力Fg过质心，背离轴心O，大小为Fg=mω2OC。作用在圆盘上的弹性恢复力F指向轴心O，大小为F=krA，k为轴的刚度系数。设转轴安在圆盘中点，当轴弯曲时，圆盘仍绕点O匀速转动。72由达朗伯原理，惯性力Fg与恢复力F相互平衡而点O、A、C应在同一直线上，且有：解出A点挠度xyO§4-6

转子的临界转速73当转动角速度从0逐渐增大时，挠度rA也逐渐增大；§4-6

转子的临界转速当ω=ωn时，rA趋于无穷大实际上由于阻尼和非线性刚度的影响，rA为一很大的有限值。使转轴挠度异常增大的转动角速度称为临界角速度ωcr，它等于系统的固有频率ωn；此时的转速称为临界转速，记为ncr74当ω>ωcr时上式为负值，取rA绝对值；§4-6

转子的临界转速ω再增大时,挠度值rA迅速减小而趋于定值e（偏心距），此时质心位于点A与点O之间。当ω>>ωcr时,rA≈e,这时质心C与轴心点O趋于重合,即圆盘绕质心C转动,这种现象称自动定心现象。75§4-6

转子的临界转速偏心转子转动时，由于惯性力作用，弹性转轴将发生弯曲而绕原几何轴线转动，称“弓状回转”。轴承压力的方向周期性变化。当转子角速度接近临界角速度、转轴的变形和惯性力都急剧增大，轴承承受很大动压力，