湖南省株洲市高三下学期教学质量统一检测（二）数学试卷

湖南省株洲市2021届高三下学期数学教学质量统一检测试卷（二）一、单选题（共8题；共40分）1.已知集合A={x||x|≤2,x∈N}，集合B={x|x2+x-A.

{2}

B.

{-3,2}

C.

{-3,1}

D.

2.已知向量a，b满足|a|=1，b=(-2,1)，且|a-b|=2A.

1

B.

0

C.

1

D.

2年11月23日，中共中央政治局审议通过《关于打赢脱贫攻坚战的决定》，在脱贫攻坚战的过程中，某单位从7名申请人中挑选5名工作人员到甲､乙两个贫困村做志愿者，要求甲村安排2名，乙村安排3名，则不同的安排方法共有（

）A.

270种

B.

240种

C.

210种

D.

180种4.在△ABC中，内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若23acosC-3bA.

π6

B.

π4

C.

π3

D.

2π5.如图为学生做手工时画的椭圆C1、C2、C3(其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为A.

e1=e2<e3

B.

e2=6.为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)的关系为P=P0e-kt.如果在前5个小时消除了A.

7小时

B.

10小时

C.

15小时

D.

18小时7.若函数f(x)=(emx-n)A.

m>0,0<n<1

B.

m>0,n>1

C.

m<0,0<n<1

D.

m<0,n>18.高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布N(50,100)；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布N(60,16)，若住同一地方的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（

）A.

①、②

B.

②、①

C.

①、①

D.

②、②二、多选题（共4题；共20分）9.从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（

A.

2个球都是红球的概率为16

B.

2个球中恰有1个红球的概率为12

C.

至少有1个红球的概率为56

D.

2个球不都是红球的概率为10.若正实数a，b满足a>b且lna⋅lnb>0A.

loga2>logb2

B.

a⋅lna>b⋅11.已知点P(5π48,12)、Q(π6,32)、R(π4,1)、A.

2

B.

4

C.

8

D.

1212.如图所示，在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1，(包含边界)内的动点，且A1A.

A1F与BE是异面直线

B.

A1F不可能与D1E平行

C.

DF不可能与平面AD1E垂直三、填空题（共4题；共20分）13.已知函数f(x)=(x-1)ex，则f(x)在点14.已知数列{an}为等比数列，若数列{10n-an}15.已知A，B(不与原点O重合)分别为直线x+y=0与x-y=0上的两点，C(0,2)，M为动点，且|OA|=|OB|,|CM|=1，记三角形△AOM,△BOM的面积分别为S16.粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为4cm的正四棱锥，则这个粽子的表面积为________cm2.四、解答题（共6题；共70分）17.如图所示，在四边形ABCD中，tan∠（1）求∠DAC的大小；（2）若DC=2，求△ADC周长的最大值18.已知复数Zn=an+bni(an,bn∈R)，满足（1）求|Z2|（2）求Z10019.如图①，在直角梯形ABCD中，AD//BC,AD⊥DC,BC=2AD=2DC，四边形ABEF是正方形：现将正方形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥（1）证明：直线DC与直线E1M（2）求直线BM与平面CE1M20.已知点A(x1,y1) D(x2,y2)(其中x1<x2)（1）当点B的坐标为(2,0)，且a=6时，求直线AD的方程；（2）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：21.某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的性能指数在[50,70)的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在[70,90)的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在[90,110]的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件，，（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.参考公式：对于一组数据(u1,υ1),(u（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用xi，和年销售量yi(i=1,2,3,4,5)数据做了初步处理，得到的散点图（如图i=1i=1i=1i=1表中ui=lnxi，υ根据散点图判断，y=a⋅xb可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用（i）建立y关于x的回归方程；（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润营销费用，取e4.159=6422.已知函数f(x)=ln(x+1)+a(x2+x)+2（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个极值点x1,x2，且x1答案解析部分湖南省株洲市2021届高三下学期数学教学质量统一检测试卷（二）一、单选题（共8题；共40分）1.已知集合A={x||x|≤2,x∈N}，集合B={x|x2+x-A.

{2}

B.

{-3,2}

C.

{-3,1}

D.

【答案】A【考点】交集及其运算【解析】【解答】集合A={x||x|≤2,x∈N}={0,1,2}，集合所以A∩故答案为：A.

【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．2.已知向量a，b满足|a|=1，b=(-2,1)，且|a-b|=2A.

1

B.

0

C.

1

D.

2【答案】C【考点】向量的模，平面向量数量积的运算【解析】【解答】因为b=(-2,1)，所以|将|a-b|=2两边同时平方可得：即a2+b2所以1+5-2a⋅b=4故答案为：C

【分析】通过向量的模的运算法则，转化求解向量的数量积即可．年11月23日，中共中央政治局审议通过《关于打赢脱贫攻坚战的决定》，在脱贫攻坚战的过程中，某单位从7名申请人中挑选5名工作人员到甲､乙两个贫困村做志愿者，要求甲村安排2名，乙村安排3名，则不同的安排方法共有（

）A.

270种

B.

240种

C.

210种

D.

180种【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】甲村安排2名，乙村安排3名，则不同的安排方法共有C故答案为：C

【分析】根据组合和分步计数原理可得答案。4.在△ABC中，内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若23acosC-3bA.

π6

B.

π4

C.

π3

D.

2π【答案】A【考点】两角和与差的正弦公式【解析】【解答】因为23acos所以23sin所以23sin因为A,C∈(0,π)所以sinA≠0,cos所以C=故答案为：A

【分析】利用两角和的正弦公式可得答案。5.如图为学生做手工时画的椭圆C1、C2、C3(其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为A.

e1=e2<e3

B.

e2=【答案】D【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】由图知椭圆C1的半长轴和半短轴分别为：a=2,b=1.5

，椭圆C2的半长轴和半短轴分别为：a=4,b=2椭圆C3的半长轴和半短轴分别为：a=6,b=3所以e1=e2=

e3=所以e2=故答案为：D

【分析】由图形可知，椭圆C1、C2、C3的长半轴长，短半轴长，分别计算离心率，即可求得结论．6.为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)的关系为P=P0e-kt.如果在前5个小时消除了A.

7小时

B.

10小时

C.

15小时

D.

18小时【答案】B【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】【解答】因为前5个小时消除了10%的污染物，所以P=(1-0.1)解得k=-ln所以P=P0设污染物减少19%所用的时间为t，则(1-0.19)所以t5=2解得t=10，故答案为：B

【分析】由已知t=5h时，P=（110%）P0=90%P0，从而求出k的值，根据题意污染物减少19%即(1-0.19)P0=0.81P7.若函数f(x)=(emx-n)A.

m>0,0<n<1

B.

m>0,n>1

C.

m<0,0<n<1

D.

m<0,n>1【答案】B【考点】函数的图象【解析】【解答】令f(x)=0得emx=n，即mx=ln解得x=1m由图象知x=1m当m>0时，n>1，当m<0时，0<n<1，故排除AD，当m<0时，易知y=emx当x→+∞时，y→0，故答案为：B

【分析】通过函数值为0，求出x的表达式，判断m，n的范围，排除选项AD，通过m<0，利用函数的单调性，结合x与y的关系，判断排除选项C，即可．8.高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布N(50,100)；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布N(60,16)，若住同一地方的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（

）A.

①、②

B.

②、①

C.

①、①

D.

②、②【答案】B【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】对于甲，若有70分钟可走，走第一条线路赶到的概率为P(X≤70)=Φ(70走第二条线路赶到的概率为P(X≤70)=Φ(∵Φ(2)<Φ(2.5)，所以甲应走线路②对于乙，若有64分钟可走，走第一条线路的概率为P(X≤64)=Φ(走第二条线路赶到的概率为P(X≤64)=Φ(∵Φ(1.4)>Φ(1)，所以乙应走线路故答案为：B.

【分析】分别比较甲、乙走路线①，②的概率大小，由此可得出结论。二、多选题（共4题；共20分）9.从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（

A.

2个球都是红球的概率为16

B.

2个球中恰有1个红球的概率为12

C.

至少有1个红球的概率为56

D.

2个球不都是红球的概率为【答案】A,B【考点】相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】对于A选项，2个球都是红球的概率为13×12=对于B选项，2个球中恰有1个红球的概率为13×(1-对于C选项，至少有1个红球的概率为1-(1-1对于D选项，2个球不都是红球的概率为1-13×1故答案为：AB.

【分析】设从甲袋中摸出一个红球为事件A，从乙袋中摸出一个红球为事件分别根据概率公式计算即可．10.若正实数a，b满足a>b且lna⋅lnb>0A.

loga2>logb2

B.

a⋅lna>b⋅【答案】C,D【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】由lna⋅lnb>0有0<b<a<1或对于A，当0<b<a<1或a>b>1都有loga2<logb对于B，比如当a=12,b=1故a⋅lna>b⋅对于C，因为ab+1-a-b=(a-1)(b-1)>0，所以ab+1>a+b对于D，因为lna⋅lnb>0，所以log故答案为：CD．

【分析】判断a，b的大小，利用特殊值判断选项即可．11.已知点P(5π48,12)、Q(π6,32)、R(π4,1)、A.

2

B.

4

C.

8

D.

12【答案】B,C【考点】正弦函数的图象【解析】【解答】对于A选项，当ω=2时，f(x)=sin2xf(5π48)=sin5π24≠12，f(π此时，Q、R、S三点在函数f(x)的图象上，A选项不合乎题意；对于B选项，当ω=4时，f(x)=sin4xf(5π48)=sin5π12≠12，f(π此时，Q、S两点在函数f(x)的图象上，B选项合乎题意；对于C选项，当ω=8时，f(x)=sin8xf(5π48)=sin5π6=12，f(π此时，P、S两点在函数f(x)的图象上，C选项合乎题意；对于D选项，当ω=12时，f(x)=sin12xf(5π48)=sin5π4≠12，f(π此时，S点在函数f(x)的图象上，D选项不合乎题意.故答案为：BC.

【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，从而得出结论．12.如图所示，在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1，(包含边界)内的动点，且A1A.

A1F与BE是异面直线

B.

A1F不可能与D1E平行

C.

DF不可能与平面AD1E垂直【答案】A,C,D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线的判定，空间中直线与直线之间的位置关系【解析】【解答】取BB1，B1C1的中点N，则A1N又A1N⊂面A1MN，MN⊂面A1MN，A1N∩MN=N，D1E⊂面AD1E又A1F//平面D1AE，A1F⊂平面对于A：因为MN//BC1，所以点F一定不在BC1上，所以A对于B：当点F与点N重合时，A1F//D对于C：因为点F的轨迹是线段MN，又正方体中DB1⊥面AD1E，若DF则DB1//DF，这显然不可能，所以DF不可能与平面A对于D：因为MN//AD1，AD1⊂面ABD1，MN⊄面AB所以点F到面ABD1的距离是定值，所以三棱锥F-AB故答案为：ACD．

【分析】取BB1，B1C1的中点N，M，连接A1M,A1N,MN，BC1，对于A：因为MN//BC1，所以点F一定不在对于C：因为点F的轨迹是线段MN，又正方体中DB1⊥面AD1E，若DF则DB1//DF，这显然不可能，所以DF不可能与平面AD1E垂直；对于D：因为MN//AD1，AD1⊂面ABD1，MN⊄面ABD1三、填空题（共4题；共20分）13.已知函数f(x)=(x-1)ex，则f(x)在点【答案】exye=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】因为f'(x)=xex，所以f'(1)=e，所以f(x)在点(1,0)处的切线方程为y-故答案为：exye=0

【分析】求导得f'(x)=xex，即可得出f(x)在点14.已知数列{an}为等比数列，若数列{10n-an}【答案】an=-【考点】等比数列的通项公式【解析】【解答】取an=-10n，则an+1a所以，数列{10n-an}故答案为：an=-

【分析】直接利用等比数列的通项公式求出首项和公差，进一步确定数列的通项公式.15.已知A，B(不与原点O重合)分别为直线x+y=0与x-y=0上的两点，C(0,2)，M为动点，且|OA|=|OB|,|CM|=1，记三角形△AOM,△BOM的面积分别为S【答案】[2【考点】两角和与差的正弦公式【解析】【解答】依题意得点M在以C为圆心半径为1的圆上，如图所示：依题意得S1=12|OA|⋅|OM|sin所以λ=S1当直线OM与圆C相切时，sin∠COM=|CM||OC|=12所以∠AOM=45°+30°=75°此时λ或∠AOM=45°-30°此时λ所以λ故答案为：[2

【分析】依题意得点M在以C为圆心半径为1的圆上，依题意得S1=12|OA|⋅|OM|sin∠AOM，S2=12|OB|⋅|OM|sin∠BOM，16.粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为4cm的正四棱锥，则这个粽子的表面积为________cm2.【答案】16+163；【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】正四棱锥的表面积为S=4×12如下图所示：

设正四棱锥P-ABCD底面ABCD的中心为点E，则PE⊥底面ABCDAE=12AC=22AB=2VP-设正四棱锥P-ABCD的内切球球心为O，球O的半径为r由V=13所以，r=3VP-ABCD故答案为：16+163；3

【分析】由三角形面积公式求出侧面积，再由正方形面积公式求得底面积，则表面积可求；求出正四棱锥的高，再由等体积法求内切球的半径，作比得答案．四、解答题（共6题；共70分）17.如图所示，在四边形ABCD中，tan∠（1）求∠DAC的大小；（2）若DC=2，求△ADC周长的最大值【答案】（1）解：因为∠DAC=∠BAD-∠BAC，且所以tan∠DAC==tan∠=-3因为∠DAC∈所以∠DAC=π

（2）解：由正弦定理得DCsin∠DAC所以AD=43所以△ADC的周长为2+AD+AC=2+4=2+43=2+43=2+4sin(因为0<∠ACD<所以π6<所以12<所以△ADC的周长的最大值为2+4【考点】两角和与差的正切公式，正弦定理【解析】【分析】（1）利用两角和差的正切公式即可求出∠DAC

的大小；

（2）由正弦定理可得AD=433sin∠ACD,AC=2+AD+AC=2+433(sin∠ACD+sin∠ADC)=2+4sin(∠ACD+π6)

，

18.已知复数Zn=an+bni(an,bn∈R)，满足（1）求|Z2|（2）求Z100【答案】（1）解：由题意知，Z2=a2|Z2

（2）解：a1=1,a2∵Zn=a又Zn+1=an+1则{an}是以1为首项，1∵b1=0,b故Z100=100+2i【考点】复数求模【解析】【分析】（1）由题意知，

Z2=a2+b2i

，

Z1=1,Z2=Z1+1+2i=2+2i，再根据模长公式得出|Z2|

的值；

（2）由Zn=an-b19.如图①，在直角梯形ABCD中，AD//BC,AD⊥DC,BC=2AD=2DC，四边形ABEF是正方形：现将正方形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥（1）证明：直线DC与直线E1M（2）求直线BM与平面CE1M【答案】（1）证明：建立如图所示空间直角坐标系：设AD=1，则D(2,1,0),C(2,0,0),E1所以DM=(-所以DM=12CE1因为DM,CE1所以DM//CE1所以C,D,M,E1在直角梯形ABCD中，因为AD//BC，设CD∩AB=P则P∈CD,P所以P∈平面CDME1，P∈又因为平面CDME1∩平面所以P∈M所以直线DC与直线E1M

（2）解：由（1）知BM=(1,1,22设平面CE1M的一个法向量为则{n⋅CE1=0令x=1，得n=(1,0,2设直线BM与平面CE1M所成的角为所以sinθ=|cos故直线BM与平面CE1M【考点】用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，设AD=1，求出D，C，E1，M的坐标，

得出DM=12CE1

，则

DM//CE1

，所以

C,D,M,E1

四点共面，再由平面

CDME1

∩

平面

BAME1=ME1，可得直线DC与直线

E20.已知点A(x1,y1) D(x2,y2)(其中x1<x2)（1）当点B的坐标为(2,0)，且a=6时，求直线AD的方程；（2）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：【答案】（1）解：由题知点B的坐标为(2,0)，因为|BC|=6，所以点C(8,0)，故点A(2,y1)，因为点A，点D在曲线上，满足曲线方程，故y1=8×2=4故点A(2,4)，D(8,8)，所以直线AD的方程为y-4=

（2）解：设直线AD方程为y=kx+m，联立{y2因为直线与曲线相交于两点，所以Δ=(2km-根据韦达定理有{x1所以|AD|=1+k原点O到直线AD的距离d=|m|1+所以S1=S2=故S1S由题知y1y又因为x1<x2代入曲线方程有y1<所以m>0，所以0<km<2，故S1S【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）由B的坐标，可得A的坐标，又|BC|=6

，可得D的坐标D(8,8)

，运用直线的斜率公式，即可得到所求直线方程；

（2）设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），运用三角形的面积公式可得S1=12|AD|⋅d=a2|m|21.某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的性能指数在[50,70)的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在[70,90)的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在[90,110]的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件，，（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.参考公式：对于一组数据(u1,υ1),(u（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用xi，和年销