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第二章一元二次方程

2.1.1认识一元二次方程

第1页幼稚园某教室矩形地面墙长8m，宽5m现准备在地面中心铺设一块面积为１８m2地毯，四面未铺地毯条形区域宽度相同,你能求出这个宽度吗？你怎么处理这个问题?数学与生活第2页解：假如设花边宽为xm,那么地毯中央长方形图案长为

m,宽为

m,依据题意,可得方程：你能化简这个方程吗?（8－2x）（5－2x）(8－2x)(5－2x)=18.5xxxx（8－2x）（5－2x）818m2数学化做一做第3页观察下面等式：１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２你还能找到其它五个连续整数，使前三个数平方和等于后两个数平方和吗？假如设五个连续整数中第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：依据题意，可得方程：

，

，

，

．X＋1X＋2X＋3X＋4(X+1)2(X+2)2＋(X＋3)2(X+4)2＝＋X2＋想一想第4页如图，一个长为10m梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面垂直距离为8m．假如梯子顶端下滑1m，那么梯子底端滑动多少米？解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙

m.假如设梯子底端滑动Xm，那么滑动后梯子底端距墙

m;依据题意，可得方程：你能化简这个方程吗?6x＋672＋(x＋6)2＝102xm8m10m7m6m数学化1m做一做第5页上面方程都是只含有

，而且都能够化为形式，这么方程叫做一元二次方程．由上面两个问题，我们能够得到两个方程：把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二次方程普通形式，其中ax２，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．(8-2x)(５-２x)=18;即2x2－

13x＋11=0(x＋6)２＋7２=10２即x2＋12

x－15＝0上述两个方程有什么共同特点？一个未知数x整式方程ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)X２＋（X＋１）２＋（X＋２）２＝即x2－

8x－20＝0（X＋３）２＋（X＋４）２第6页判一判以下方程哪些是一元二次方程?(1)7x2－6x＝0(2)2x2－5xy＋6y＝0(3)2x2－－1＝0(4)＝0(5)x2＋2x－3＝1＋x2－13x－y22解:

(1)、(4)第7页

把以下方程化为一元二次方程形式，并写出它二次项系数、一次项系数和常数项：方程普通形式二次项系数一次项系数常数项3x2＝5x－1(x＋2)(x－1)＝64－7x2＝03x2－5x＋1＝0x2＋x－8＝0－7x2＋0

x＋4＝031－7－5101－84练一练第8页1.关于x方程(k－3)x2＋

2x－1＝0,当k

时，是一元二次方程．≠32.关于x方程(k2－1)x2＋

2(k－1)x＋

2k＋

2＝0,当k

时，是一元二次方程．,当k

时，是一元一次方程．≠±1＝－1想一想:第9页3、写出方程二次项系数、一次相系数和常数项。4、把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程普通形式,并写出它二次项系数、一次项系数和常数项．第10页5、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请依据这一问题列出方程．4尺2尺xx－4x－2数学化随堂练习：第11页练习6．依据题意，列出方程：（１）有一面积为54m2长方形，将它一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形边长是多少？（２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？解：设正方形边长为xm，则原长方形长为(x＋5)m，宽为(x＋2)m，依题意得方程：(x＋5)(x＋2)＝54解：设第一个数为X，则另两个数分别为X+1，X+2,依题意得方程：x(x＋1)＋x(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)＝242即x2＋7x－44＝0即3x2＋6x－240＝0x2＋2x－80＝0第12页在这个问题中，梯子底端滑动距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102，把这个方程化为普通形式为x2+12x-15=0．（1）小明认为底端也滑动了1m，他说法正确吗?为何?（2）底端滑动距离可能是2m吗?可能是3m吗?为何?不正确，因为x=1不满足方程．不正确，因为x=2，3不满足方程．（3）你能猜出滑动距离x(m)大致范围吗?（4）x整数部分是几?十分位部分是几?请同学们自己算一算，注意组内同学交流哦！第13页x00.511.52x2+12x-15-15-8.75-25.2513下面是小亮求解过程：由此，他猜测1＜x＜1.5．第14页深入计算：x1.11.21.31.4x2+12x-15-0.590.842.293.76所以1.1＜x＜1.2，由此他猜测x整数部分是1，十分位部分是1．你结果是怎样呢？第15页用“两边夹”思想解一元二次方程步骤：①在未知数x取值范围内排除一部分取值；②依据题意所列详细情况再次进行排除；③对列出能反应未知数和方程值表格进行再次筛选；④最终得出未知数最小取值范围或详细数据．【规律方法】上述求解是利用了“两边夹”思想第16页五个连续整数，前三个数平方和等于后两个数平方和。你能求出这五个整数分别是多少吗？【跟踪训练】第17页A同学做法：

设五个连续整数中第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1,x+2,x+3,x+4.依据题意，可得方程：x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2即：x2-8x-20=0．x-3-2…1011x2-8x-20130…013所以x=-2或10.所以这五个连续整数依次为-2，

-1，0，1，2；或10，11，12，13，14.第18页B同学做法：

设五个连续整数中中间一个数为x，那么其余四个数依次可表示为x-2,x-1,x+1,x+2.依据题意，可得方程：(x-2)2+(x-1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2即：x2-12x=0．x-10…1112x2-12x130…-110所以x=0或12.所以这五个连续整数依次为-2，-1，0，1，2；或10，11，12，13，14.第19页7.一名跳水运动员进行10米跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5米以前完成要求翻腾动作，而且调整好入水姿势，不然就轻易出现失误。假设运动员起跳后运动时间t(秒)和运动员距水面高度h(米)满足关系：h=10+2.5t-5t2，那么他最多有多长时间完成要求动作?第20页【解析】依据题意，得10+2.5t-5t2=5,即2t2-t-2=0列表：t01232t2-t-2-2-1413所以1＜t＜2,深入列表计算：所以1.2＜t＜1.3,所以他完成动作时间最多不超出1.3秒．t1.11.21.31.42t2-t-2-0.68-0.320.080.52第21页3.学习了估算ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）近似解方法：“两边夹”；4.知