0924高二数学人教版两条直线平行垂直判定

两条直线平行和垂直的判定年 级：高二主讲人：范方兵学 科：数学（人教A版）学 校：北京市第二中学开公开课参加各类比赛备亮点找素材尽在高中数学公开课优质课融合课资源QQ群865257936两条直线平行和垂直的判定年 级：高二主讲人：范方兵学

科：数学（人教A版）学 校：北京市第二中学知识回顾直线倾斜角确定直线位置的几何要素斜率点坐标方向向量形数数数、形几何问题代数问题数形结合化归转化探究新知问题1

我们知道，平面中的两条直线有两种位置关系：相交、平行.

当两条直线l1与l2平行时，它们的斜率k1与k2满足什么关系？探究新知问题1

我们知道，平面中的两条直线有两种

位置关系：相交、平行.当两条直线l1与l2平行时，它们的斜率k1与k2满足什么关系？若没有特别说明，

说“两条直线l1，l2”时，指两条不重合的直线.探究新知l2α2xy

l1α1Ol1∥l2tanα1=tanα2α1=α2k1=k2探究新知l2α2xy

l1α1Ol1∥l2tanα1=tanα2α1=α2k1=k2l1∥l2⇒k1=k2探究新知l2α2xy

l1α1Ol1∥l2tanα1=tanα2α1=α2k1=k2数形l1∥l2⇒k1=k2探究新知l1∥l2tanα1=tanα2α1=α2k1=k2数形l2α2xy

l1α1O探究新知l1∥l2tanα1=tanα2α1=α2k1=k2k1=k2

⇒l1∥l2数形l2α2xy

l1α1O探究新知设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a=(1，k1)，b=(1，k2)，于是l2xy

l1α1

O

α2探究新知l2xy

l1α1

O

α2设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a=(1，k1)，b=(1，k2)，于是l1//l2

⇔a//b⇔1×k1-

1×k2=0⇔k1=k2.探究新知于是，对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2

⇔

k1=k2形

数探究新知l2l1O显然，当α1=α2=90o时，直线l1与直线l2的斜率不存在，此时l1∥l2．yx探究新知O若直线l1，l2重合，此时仍然有k1=k2．yxACBα探究新知O若直线l1，l2重合，此时仍然有k1=k2．用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论．yxACBα探究新知若直线l1，l2重合，此时仍然有k1=k2．用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论．OyxACBαA，B，C三点共线⇔k

=kAB

AC⇔kAB=kBC⇔kAC=kBC探究新知例已知A(2，3)，B(–4，0)，P(–3，1)，Q(–1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论．探究新知例已知A(2，3)，B(–4，0)，P(–3，1)，Q(–1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论．分析：画出两条直线；判断两条直线的位置关系；判断两条直线斜率是否存在；判断斜率是否相等．QPBAxyO探究新知例已知A(2，3)，B(–4，0)，P(–3，1)，Q(–1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论．QPBAxyO解：如图，直线BA的斜率kBA=

ଷି଴

=ଵ，ଶି

ିସ

ଶ直线PQ的斜率kPQ=

ଶିଵ

=ଵ．ିଵି(ିଷ)

ଶ因为kBA=kPQ，所以直线AB∥PQ．探究新知例已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，–1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．探究新知BxyDCAO例已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，–1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．探究新知DCBxyAO例已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，–1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．分析：直观感知操作确认思辨论证度量计算探究新知DCBxyAO例已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，–1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．分析：直观感知操作确认思辨论证度量计算用代数方法研究几何问题探究新知DCBxyAO例已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，–1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．解：如图，AB边所在直线的斜率kAB=

–

ଵ，CDଶଵଶCD边所在直线的斜率k

=

–

，探究新知DCBxyAO例已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，–1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．解：BCଶBC边所在直线的斜率k

=

ଷ，ଷDA边所在直线的斜率kDA=ଶ．探究新知DCBAxyO例已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，–1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．解：因为kAB=kCD，kBC=kDA，所以AB∥CD，BC∥DA．因此四边形ABCD是平行四边形．探究新知平行斜率相等相交斜率不等平

面

内两

条

直

线探究新知平行斜率相等相交 垂直斜率不等平

面

内两

条

直

线探究新知平行斜率相等相交 垂直斜率不等问题2：当直线l1，l2垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？平

面

内两

条

直

线探究新知l2l1α2α1xyO探究新知l2l1α2α1xyOl1⊥l2

⇔α2=

α1+90o，k2=tanα2=tan(α1+90o)，k1=tanα1.探究新知l2l1α2α1xyOOyxα2l2α1l1l1⊥l2

⇔α2=

α1+90o，k2=tanα2=tan(α1+90o)，k1=tanα1.探究新知l2l1α2α1xyOOyxα2l2α1l1l1⊥l2

⇔α2=

α1+90o，k2=tanα2=tan(α1+90o)，k1=tanα1.还有什么方法？探究新知设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a=(1，k1)，b=(1，k2)，于是探究新知设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a=(1，k1)，b=(1，k2)，于是

l1⊥l2

⇔a⊥b⇔a·b=0⇔1×1+k1k2=0⇔k1k2=–1.探究新知设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a=(1，k1)，b=(1，k2)，于是

l1⊥l2

⇔a⊥b⇔a·b=0⇔1×1+k1k2=0⇔k1k2=–1.也就是说，l1⊥l2

⇔

k1k2=–1.探究新知设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a=(1，k1)，b=(1，k2)，于是

l1⊥l2

⇔a⊥b⇔a·b=0⇔1×1+k1k2=0⇔k1k2=–1.也就是说，l1⊥l2

⇔

k1k2=–1.形

数探究新知l2O当直线l1或l2的倾斜角为90o时，若l1⊥l2

，则另一条直线的倾斜角为0o.反之亦然.yl1x探究新知例已知A(–6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，–6)，试判断直线AB与PQ的位置关系．探究新知QAx例已知A(–6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，–6)，试判断直线AB与PQ的位置关系．yBPO探究新知例已知A(–6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，–6)，试判断直线AB与PQ的位置关系．ABଷ解：直线AB的斜率k

=

ଶ，PQଶ直线PQ的斜率k

=

–

ଷ．AB

PQଷ

ଶ因为k

k

=ଶ×

−

ଷ

=–1，所以直线AB⊥PQ．QPBAxyO探究新知例已知A(5，–1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断∆ABC的形状．探究新知例已知A(5，–1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断∆ABC的形状．分析：如图，猜想AB⊥BC，∆ABC是直角三角形．CBAxyO探究新知解：边AB所在直线的斜率k

=

–

ଵ，AB边BC所在直线的斜率kBC=2．由kABkBC=–1，得AB⊥BC，即∠ABC=90o．所以△ABC是直角三角形．例已知A(5，–1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断∆ABC的形状．CBAxଶyO探究新知追问1：已知点A(5，–1)，C(2，3)，点B在x轴上，且∠ABC为直角，求点B的坐标．探究新知追问1：已知点A(5，–1)，C(2，3)，点B在x轴上，且∠ABC为直角，求点B的坐标．分析：CAxyO探究新知追问1：已知点A(5，–1)，C(2，3)，点B在x轴上，且∠ABC为直角，求点B的坐标．分析：设B(x，0)计算kAB，kBCkABkBC=-1构造方程CAxyO探究新知则kAB

BC௫ିହ

௫ିହ

ଶି௫

ଶି௫=

଴ି(ିଵ)=

ଵ

，

k

=

ଷି଴=

ଷ

.追问1：已知点A(5，–1)，C(2，3)，点B在x轴上，且∠ABC为直角，求点B的坐标．分析：设B(x，0).探究新知则kAB

BC௫ିହ

௫ିହ

ଶି௫

ଶି௫=

଴ି(ିଵ)=

ଵ

，

k

=

ଷି଴=

ଷ

.追问1：已知点A(5，–1)，C(2，3)，点B在x轴上，且∠ABC为直角，求点B的坐标．分析：设B(x，0).x可以等于2或5吗？探究新知BAxOC

CBAxy

yOx=2或x=5时，∠ABC均不为直角.追问1：已知点A(5，–1)，C(2，3)，点B在x轴上，且∠ABC为直角，求点B的坐标．分析：探究新知=

ଵ

×

ଷ分析：当x„2且x„5时，kABkBC௫ିହ

ଶି௫=

–1.整理，得x2-7x+7=0.解得x=଻ି

ଶଵ或଻ା

ଶଵ.ଶ

ଶ追问1：已知点A(5，–1)，C(2，3)，点B在x轴上，且∠ABC为直角，求点B的坐标．探究新知CBAxOCABxy

yO综上，点B的坐标为(଻ି ଶଵ

，0)或(଻ା

ଶଵ

，0).ଶ

ଶ追问1：已知点A(5，–1)，C(2，3)，点B在x轴上，且∠ABC为直角，求点B的坐标．分析：