高三数学复习不等式第二节省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

第二节一元二次不等式及其解法第1页三年19考高考指数:★★★★1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2.经过函数图象了解一元二次不等式与对应二次函数、一元二次方程关系；3.会解一元二次不等式，对给定一元二次不等式，会设计求解程序框图.第2页1.以考查一元二次不等式解法为主，兼顾二次方程判别式、根存在性及二次函数图象与性质等知识；2.以集合为载体，考查一元二次不等式解法及集合运算；3.以函数、数列、解析几何为载体，以二次不等式解法为伎俩，考查求参数范围问题；4.以选择题、填空题为主，有时穿插于解答题中考查，难度中等.第3页1.一元二次不等式与对应二次函数及一元二次方程关系如表第4页判别式>0=0<0二次函数（a>0）图像一元二次方程（a>0）根（a>0）解集（a>

0）解集或有两相异实数根（x1<

x2）有两相等实数根R没有实数根yxOx1x2yxOx1=x2xOy第5页【即时应用】(1)不等式x2-3x+2＜0解集为________.(2)设二次不等式ax2+bx+1＞0解集为{x|-1＜x＜},则ab值为________.(3)函数y=定义域是________.【解析】(1)原不等式等价于(x-1)(x-2)＜0,即1＜x＜2.(2)由题意可知a＜0,且-1,是方程ax2+bx+1=0两个根.故

解得∴ab=6.第6页(3)由x2+x-12≥0,即(x+4)(x-3)≥0,得x≤-4或x≥3.答案：(1)(1,2)(2)6(3)(-∞,-4]∪[3,+∞)第7页2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)求解过程用程序框图表示为第8页【即时应用】思索：上述不等式中a＞0,若a＜0时解集情况又将怎样？提醒：若a＜0,则普通先将不等式进行转化，使x2系数为正后再求解,但一定要注意转化过程中不等号改变，Δ≤0时解集为,Δ＞0时解集为{x|x1＜x＜x2}.第9页一元二次不等式解法【方法点睛】1.解一元二次不等式普通步骤(1)变形，使一端为0且二次项系数大于0；(2)计算对应判别式；(3)当Δ≥0时，求出对应一元二次方程根；(4)依据对应二次函数图象，写出不等式解集.第10页2.解一元二次不等式另一个解法(1)将二次项系数转化为正数，再看能否因式分解.(2)若能，则可得对应方程两根，且大于号取两边，小于号取中间；若不能，当Δ≥0时，利用求根公式求解对应方程根.(3)最终写出解集.第11页【例1】解以下不等式：(1)x2+3x+4＜0(2)-3x2-2x+8≤0(3)12x2-ax＞a2(a∈R)【解题指南】(1)先判断“Δ”，而后获解.(2)先将x2系数转化为正数,而后因式分解求解.(3)将不等式转化后进行因式分解,比较两根大小分类求解.第12页【规范解答】(1)由Δ=9-16=-7＜0,故不等式解集为.(2)原不等式等价于3x2+2x-8≥0⇔(x+2)(3x-4)≥0⇔x≤-2或x≥,故不等式解集为(-∞,-2]∪[,+∞).(3)原不等式可化为12x2-ax-a2＞0⇔(4x+a)(3x-a)＞0,令(4x+a)(3x-a)=0得x1=-,x2=.第13页①a＞0时,-＜,此时不等式等价于x＜-或x＞.②a=0时,不等式等价于x2＞0⇔x≠0.③a＜0时,-＞,此时不等式等价于x＜或x＞-.总而言之,当a＞0时,不等式解集为(-∞,-)∪(,+∞);当a=0时,不等式解集为(-∞,0)∪(0,+∞);当a＜0时,不等式解集为(-∞,)∪(-,+∞).第14页【互动探究】若将本例(1)变为x2+3x+4＞0,则不等式解集又将怎样？【解析】由(1)解析可知Δ=-7＜0,故x2+3x+4＞0恒成立,故不等式解集为R.第15页【反思·感悟】1.对于本例(3)中分类讨论后,在写不等式解集时,也能够将a=0情况与a＞0或a＜0结合起来写.如可写为a≥0时不等式解集为(-∞,-)∪(,+∞),a＜0时不等式解集为(-∞,)∪(-,+∞).第16页2.含参数不等式解法：解含参数一元二次不等式,要把握好分类讨论层次，普通按下面次序进行讨论：(1)依据二次项系数符号进行分类，(2)依据根是否存在，即Δ符号进行分类，(3)在根存在时，依据根大小进行分类讨论.在讨论时对字母范围需要做到不重不漏.第17页【变式备选】解以下不等式：(1)10x-1≥25x2(2)(1-ax)2＜1【解析】(1)原不等式等价于25x2-10x+1≤0⇔(5x-1)2≤0,∴只有当5x-1=0，即x=时，不等式成立.故不等式解集为{x|x=}.(2)由(1-ax)2<1得a2x2-2ax+1<1,即ax(ax-2)<0.①当a=0时，不等式转化为0<0，故无解.②当a<0时，不等式转化为x(ax-2)>0,第18页即x(x-)<0.∵<0,∴不等式解集为{x|<x<0}.③当a>0时，原不等式可化为x(ax-2)<0,又>0,∴原不等式解集为{x|0<x<}.总而言之，当a=0时，原不等式解集为；当a<0时，原不等式解集为{x|<x<0};当a>0时，原不等式解集为{x|0<x<}.第19页4．一元二次不等式解法一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)解集受a符号，b2－4ac符号影响，且与对应二次函数、一元二次方程有亲密联络，可结合对应函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象，数形结合求得不等式解集．若一元二次不等式经过不等式同解变形后，化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)形式，其对应方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2(x1<x2)，(此时Δ＝b2－4ac>0)，则可依据“大于取两边，小于夹中间”求解集．第20页二、高次不等式与分式不等式解法1．高次不等式解法：先将最高次项系数化为正数，然后分解因式，将对应方程全部根画在数轴上，采取“穿针引线”法(或称数轴标根法)得出不等式解集．数轴标根法操作过程(1)把不等式变形为一边是一次因式积，另一边是0形式；(2)各因式中x系数全部变为1，约去偶次因式；(3)把各个根从小到大依次排好标出，从右上方向左下方“穿针引线”；(4)严格检验因式根(尤其是约去偶次因式根)是否在解集内．第21页第22页基础自测1．(年漳州模拟)不等式x2>x解集是()解析：由x2>x得x(x－1)>0，所以解集为答案：D第23页2．(年全国卷Ⅱ)不等式＜0解集为()解析：∵<0，它与不等式<0等价，∴－2<x<3，故选A.答案：A第24页3．(年长沙市模拟)不等式>1解集是__________．第25页4．(年苏州模拟)设集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，则A∩Ζ中有________个元素．6第26页变式探究1．解不等式：(lgx)2－lgx－2>0.答案：第27页已知不等式ax2＋bx＋c＞0解集为{x|α＜x＜β}，其中β＞α＞0，求不等式cx2＋bx＋a＜0解集．第28页点评：依据一元二次不等式解集形式能够确定a＜0及c＜0，这是解答本题关键．第29页已知a∈R，解关于x不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.解析：(1)当a＝0时，不等式解集为{x|x＞1}；(2)当a≠0时，将原不等式分解因式，得①当a＜0时，原不等式等价于，不等式解集为；②当0＜a＜1时，1＜，不等式解集为；③当a＞1时，＜1，不等式解集为；④当a＝1时，不等式解集为∅.第30页综上，当a＝0时，不等式解集为(1，＋∞)；当a＜0时，不等式解集为∪(1，＋∞)；当0＜a＜1时，不等式解集为；当a>1时，不等式解集为；当a＝1时，不等式解集为∅.点评：解含参数不等式，要对字母参数进行分类讨论，必须注意分类不重、不漏．第31页解不等式.思绪分析：(1)这是一个分式不等式，其左边是两个关于x多项式商，而右边是非零常数，故需移项通分，右边变为零，再利用商符号法则，等价转化成整式不等式组．(2)经移项通分后，右边变为零，将左边化为几个一次因式积(商)形式，可用数轴标根法求解．第32页点评：(1)利用数轴标根法解高次不等式或分式不等式时，假如出现重因式n，若n是奇数，则该因式可视为x－a来解，若n为偶数，则先将因式n去掉，最终讨论x＝a是否为原不等式解．(2)分式不等式标准形第33页变式探究4.不等式解集是___________.解析：用数轴标根法．答案:(-1,1]∪[2,3]第34页若不等式2x－1>m(x2－1)对满足≤2全部m都成立，求x取值范围．思绪分析：对于m∈[－2,2]，不等式2x－1>m(x2－1)恒成立，若将m视为主元，可利用函数观点来处理．解析：原不等式化为(x2－1)m－(2x－1)<0.令f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)(－2≤m≤2)，则依据题意有f(-2)=-2(x2－1)－(2x－1)<0,f(2)=2(x2－1)－(2x－1)<0

第35页点评：从表面上看，这是一个关于x一元二次不等式，实际上是一个关于m一元一次不等式，求参数x取值范围．即解得第36页一元二次不等式恒成立问题【方法点睛】恒成立问题情况分析(1)处理恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.普通地,知道谁范围,就选谁当主元,求谁范围,谁就是参数.(2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是对应二次函数图象在给定区间上全部在x轴上方,恒小于0就是对应二次函数图象在给定区间上全部在x轴下方.第37页(3)一元二次不等式恒成立条件①ax2+bx+c＞0(a≠0)在R上恒成立充要条件是：a＞0且b2-4ac＜0.②ax2+bx+c＜0(a≠0)在R上恒成立充要条件是：a＜0且b2-4ac＜0.【提醒】对含有参数不等式恒成立问题，求解过程中切勿忘记分类讨论，尤其是对二次项系数是否为0讨论.第38页【例2】已知不等式mx2-2x-m+1＜0，(1)若对任意实数x不等式恒成立,求m取值范围.(2)若对一切m∈[-2,2]不等式恒成立,求x取值范围.【解题指南】(1)因为二次项系数含有字母,所以首先讨论m情况,而后结合二次函数图象求解.(2)变换主元将其看成关于m一元一次不等式,利用其定义范围[-2,2]求参数x取值范围.第39页【规范解答】(1)不等式mx2-2x-m+1＜0恒成立,即函数f(x)=mx2-2x-m+1图象全部在x轴下方.当m=0时,不等式变为1-2x＜0，对任意实数x不恒成立,故m＝0不满足；当m≠0时,函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数,需满足图象开口向下且方程mx2-2x-m+1＝0无解,即则m无解.综上可知不存在这么m,使不等式恒成立.第40页(2)设g(m)=(x2-1)m+(1-2x),当x2-1=0时，即x=±1,检验得x=1时符合题意,当x2≠1时,则其为一个以m为自变量一次函数,其图象是直线,由题意知该直线当-2≤m≤2时在x轴下方,∴即解①,得x＜或x＞解②,得由①②,得且x≠1,综上得x取值范围为{x|}.第41页【反思·感悟】处理不等式恒成立问题,通常有两种思绪：一是转化成含有参数不等式,借助对应函数图象,找到满足题目要求条件,结构含参数不等式(组)，解不等式(组)，求得参数范围；二是分离参数，经过求函数最值，进而确定参数范围.第42页【变式训练】已知f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a取值范围.【解析】方法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象对称轴为直线x=a.①当a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,即2a+3≥a,解得-3≤a＜-1.第43页②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2,要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,即2-a2≥a,解得-1≤a≤1.总而言之,a取值范围为[-3,1].方法二：令g(x)=x2-2ax+2-a,由已知得x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立,即Δ=4a2-4(2-a)≤0,或解得-3≤a≤1,即实数a取值范围是[-3,1].第44页变式探究5．(年青岛月测)若对任意a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－3)x－3a>0恒成立，则x取值范围是()A．1<x<3B．－1<x<3C．x<1或x>3D．x<－1或x>3D第45页一元二次不等式实际应用【方法点睛】解不等式应用题普通步骤第46页阅读了解、认真审题，把握问题中关键量，找准不等关系将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立对应数学模型解不等式，得到数学结论，要注意数学模型中元素实际意义回归实际问题，将数学结论还原为实际问题结果读建解答第47页【例3】汽车在行驶中,因为惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故一个主要原因.在一个限速为40km/h弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行，发觉情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车刹车距离略超出12m,乙车刹车距离略超出10m,又知甲、乙两种车型刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有以下关系：s甲＝0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问：甲、乙两车有没有超速现象？第48页【解题指南】由题意只需利用刹车距离与车速关系，与实际刹车距离构建不等关系求解即可.【规范解答】由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2＞12,即x2+10x-1200＞0,解得x＞30,或x＜-40(不合实际意义,舍去).这表明甲车车速超出30km/h.但依据题意刹车距离略超出12m,由此预计甲车车速不会超出限速40km/h.对于乙车,有0.05x+0.005x2＞10,第49页即x2+10x-2000＞0,解得x＞40,或x＜-50(不合实际意义,舍去).这表明乙车车速超出40km/h,超出要求限速.【反思·感悟】不等式应用题多是处理现实生活、生产、科技中最优化问题,本题即是利用一元二次不等式处理现实生活中常见交通事故责任调查与取证问题,其关键是正确确定不等关系.第50页【变式训练】国家原计划以2400元/吨价格收购某种农产品m吨，按要求，农户向国家纳税为：每销售收入100元纳税8元(称税率为8个百分点，即8%).为了减轻农民负担，决定降低税率.依据市场规律，税率降低x(x>0)个百分点，收购量能增加2x个百分点.试确定x范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划78%.第51页【解析】设税率调低后税收总收入为y元，则y=2400m(1+2x%)×(8-x)%=-m(x2+42x-400).由题意知，0<x≤8,要使税收总收入不低于原计划78%，有y≥2400m×8%×78%,整理得x2+42x-88≤0,解得-44≤x≤2,又0<x≤8,∴0<x≤2,所以x取值范围是(0,2］.第52页【变式备选】某产品生产厂家依据以往生产销售经验得到下面相关销售统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2万元，而且每生产100台生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本)，销售收入R(x)满足假定该产品产销平衡，那么依据上述统计规律:(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？第53页【解析】依题意得G(x)=x+2,设利润函数为f(x),则f(x)=R(x)-G(x)，所以(1)要使工厂有盈利，则有f(x)>0,因为f(x)>0⇔或⇒或5<x<8.2⇒或5<x<8.2⇒1<x≤5或5<x<8.2⇒1<x<8.2.所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于100台小于820台范围内.第54页(2)0≤x≤5时，f(x)=-0.4(x-4)2+3.6故当x=4时，f(x)有最大值3.6.而当x>5时，f(x)<8.2-5=3.2所以当工厂生产400台产品时，盈利最大，又x=4时，=2.4(万元/百台)=240(元/台).故此时每台产品售价为240元.第55页【创新探究】一元二次不等式在二元二次方程中应用【典例】(·浙江高考)若实数x、y满足x2+y2+xy＝1,则x+y最大值是_______.【解题指南】本例可令x+y=t，利用直线与曲线必有交点,即联立消元后方程必有解可求,亦可利用基本不等式放缩后解不等式求解.【规范解答】方法一：令x+y=t,则y=t-x，代入x2+y2+xy=1，整理得：x2-tx+t2-1=0,第56页则方程必有实根，即Δ=t2-4(t2-1)≥0,即t2≤,解得故x+y最大值为方法二：由x2+y2+xy=1得1=(x+y)2-xy,∴(x+y)2=1+xy≤即(x+y)2≤,故∴x+y最大值为答案：第57页【阅卷人点拨】经过对试题深入分析，我们能够得到以下创新点拨与备考提议：创新点拨本题有以下两个创新点：(1)本题是结合不等式与解析几何及方程综合命制,把对一元二次不等式考查以新形式展现，含有知识交汇特点.(2)经过曲线有交点转化为方程有根，从而转化为不等式求解，或利用基本不等式抵达解法新奇.第58页备考建议(1)在处理这类不等式与方程与解析几何结合综合问题时，要明确已知什么，求什么,应用到哪一块知识，采取何种方法,从而进行有效转化求解.(2)对于创新型命题,要抓住其万变不离其宗特点,善于揭去其神秘面纱，与已学基础知识联络起来，如本例经过换元把问题转化为最基本一元二次不等式问题求解.第5