数学-辽宁省沈阳市普通高中协作体2023-2024学年高三上学期开学考试模拟测试D卷答案

绝密★启用并使用完毕前测试时间：年月日时分——时分辽宁省沈阳市普通高中协作体2023-2024学年第一学期高三开学适应性测试D卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集，全集，全集，则图中阴影部分对应的集合为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】由图可知，图中阴影部分表示的集合为，∵，，∴，∴，故选B。2．设命题：，，则命题的否定为（）。A、，B、，C、，D、，【答案】C【解析】∵存在命题的否定为全称命题，∴命题的否定为“，”，故选C。3．若实数、满足，则的最小值为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵，∴，，∵（当且仅当时取等号），∴，解得，即的最小值为，故选C。4．有一个三人报数游戏：首先报数字，然后报两个数字、，接下来报三个数字、、，然后轮到报四个数字、、、，依次循环，直到报出，则报出的第个数字为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】由题可得第（）次报数的个数为，则第次报完数后总共报数的个数为，再代入正整数，使，的最小值为，得，而第次报时，人总共报数为次，当第次报完数人总的报数个数为，即报出的第个数字为，∴报出的第个数字为，故选B。5．已知是定义域在上的奇函数，且满足。若，则（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵是定义域为的奇函数，且，∴，∴，∴，∵，∴，∵、，∴，∴，故选C。6．已知等差数列，是数列的前项和，对任意的，均有成立，则不可能的值为（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】等差数列，对任意的，均有成立，即是等差数列的前项和中的最小值，必有，公差，当，此时，、是等差数列的前项和中的最小值，此时，即，则，当、，此时是等差数列的前项和中的最小值，此时，，即，则，则有，综合可得：，分析选项可得BCD符合题意，故选A。7．已知函数，则函数的零点个数为（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】作出的图像，如图所示：则的值域为，求的零点，即求，即，对应方程的根，设，则，则等价于，如图所示：有个交点，则有三个解，当时，有，解得或，当时，有，解得或（舍），∴的值分别为、、，则对应解如图所示：，对应5个交点，分别为点、、、、，综上所述：的零点个数为个，故选D。8．设函数（），若仅存在一个整数，使得，则实数的取值范围为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】令，，定义域均为，由仅存在一个整数，使得，可得仅存在一个整数，使得，，令，解得，当时，，∴在内单调递减，当时，，∴在内单调递增，∴在处取得极小值，也是最小值，∴，∴满足条件的整数为1，由可得为减函数，∴，即，解得，故选C。二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。9．若命题：“”是命题：“”的充分不必要条件，则实数可以是（）。A、B、C、D、【答案】ACD【解析】设命题：“”，则，解得，∴其解集为，设命题：“”，则，解得或，∴其解集为，∵命题是命题的充分不必要条件，∴，∴或，解得或，故选ACD。10．已知且，则（）。A、B、C、D、【答案】ACD【解析】∵，且，∴，A选项对，设、，，B选项错，∵，当且仅当时取等号，∴，此时，又∵，∴，，C选项对，若，，此时，若，，∴，D选项对，故选ACD。11．已知，函数，则下列说法正确的是（）。A、是奇函数B、的值域为C、存在，使得在定义域上单调递增D、当时，方程有两个实根【答案】AC【解析】当时，，当时，，∴是奇函数，A选项对，当时，单调递增，且，当时，单调递增，且，∴的值域为，若，则，此时的值域不包含，B选项错，当时，由上可知，在和上都是增函数，且，∴在定义域上单调递增，C选项对，若，由得，解得，即方程在上没有实根，由得，解得，即方程在上有一个实根，∴当时，方程只有一个实根，D选项错，故选AC。12．已知数列满足，且，，则下列说法正确的是（）。A、数列为递减数列B、C、D、【答案】ABD【解析】∵和可知，数列的各项均为正值，由可得，∴，则数列为递减数列，A选项对，由A选项的分析可知：数列为递减数列，又∵，∴，B选项对，由两边同时取倒数可得，则，∴，∵数列为递减数列，由可得，当时，，即，当时，，即，……，∴当时，，不等式累加可得：，∴，则，∴，C选项错，则，∴，D选项错，故选ABD。三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。13．若函数在上无极值点，则实数的取值范围为。【答案】【解析】，由题意得，解得。14．设函数，若不等式的解集的区间长度为（规定：当时，闭区间的长度为），则实数的值为。【答案】【解析】∵，∴，即，设其解集为（），即和是方程的两个根，∴，，若不等式的解集的区间长度为，则，，解得，经验证符合要求，∴。15．已知等比数列的公比，其前项和为，且、，则数列的前项和为。【答案】【解析】∵、，∴，∴，解得或（舍去），∴，∴。∵，∴。16．已知是上的偶函数，且满足：，又对恒成立，则实数的取值范围为。【答案】【解析】对两边求导得：，∴为奇函数，∵，∴，∴，∴，∵当时，恒成立，当时，设，则，在内单调递增，∴，∴当时，，为增函数，又为偶函数，∴，∴，即恒成立，解得。四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分分）已知数列满足：，。（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和。【解析】（1）当时，，，两式相减得，∴，3分当时，符合，∴当时，；4分（2）由（1）可得：，7分∴。10分18．（本小题满分分）记数列的前项和为，且，（）。（1）求数列的通项公式；（2）设为整数，且对任意，，求的最小值。【解析】（1）∵、（），∴，1分当时，，∴，3分验证，当时，不符合，∴数列的通项公式为；4分（2）设，则，5分当时，，6分∴，7分用上式-下式得：，10分∴，∴，又，∴符合题设条件的的最小值为。12分19．（本小题满分分）已知函数（），。（1）若与的图像有公共点，求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求整数的最小值。【解析】（1）令，即，则，设，与的图像有公共点，即的图像与直线有交点，1分的定义域为，，令，定义域为，2分，则恒成立，∴在内单调递减，又，当时，，∴，∴在内单调递增，当时，，∴，∴在内单调递减，∴在处取得极大值也是最大值，∴，4分又当时，，∴的值域为，∴；5分（2）不等式恒成立，即恒成立，当时，成立，解得，由题意求满足条件的整数最小值，下面验证是否满足题意，7分当时，恒成立，即恒成立，设，定义域为，，则在上单调递增，又、，可知存在唯一的正数，使得，即，9分则在上单调递减，在上单调递增，∴在处取得极小值也是最小值，∴，又，∴，∴，∴恒成立，11分即当时，不等式恒成立，∴整数的最小值为。12分20．（本小题满分分）已知数列满足，。（1）记，证明：数列为等比数列；（2）记，求数列的前项和。【解析】（1）证明：由题意可知、、、、…，1分∵，∴当时，，3分注意：其中和一定为偶数，和一定为偶数。又，∴数列为首项为，公比为的等比数列；4分（2）由（1）可知，∴当时，，5分∴当时，，7分验证，当时，，符合，∴当时，，8分∴，，，两式相减得：，11分∴。12分21．（本小题满分分）已知函数，，。（1）若，比较函数与的大小；（2）若，求证：；（3）若在上恒成立，求实数的取值范围。【解析】（1）当时，，，设，定义域为，，1分∴在单调递增，且，∴当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴；3分（2）∵，则，要证，即证，即证，设，且，则即证，即证（），5分由（1）知，当时，恒成立，∴当时，；6分（3）∵在上恒成立，构造函数，其中，且，，8分①当时，对任意的，恒成立，在内单调递减，则，不符合题意，9分②当时，令，解得、，当时，即时，对任意的，恒成立，在内单调递增，则，符合题意，10分当时，即时，当时，，∴在内单调递减，当时，，∴在内单调递增，∴，不符合题意，11分综上所述，实数的取值范围为。12分22．（本小题满分分）已知函数（），既存在极大值，又存在极小值。（1）求实数的取值范围；（2）当时，、分别为的极大值点和极小值点，若，求实数的取值范围。【解析】（1）的定义域为，，1分当时，恒成立，令，解得，当时，，∴在内单调递增，当时，，∴在内单调递减，∴在处取得极大值，但无极小值，不合题意，2分当时，令，解得或，当时，即时，恒成立，既无极大值，也无极小值，不合题意，当时，即时，当或时，，∴在和内单调递增，当时，，∴在内单调递减，∴在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意，当时，即时，当或时，，∴在和内单调递增，当时，，∴在内单调递减，∴在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意，3分综上所述，实数的取值范围为且；4分（2），定义域为，，令，解得解得或，∵，∴，6分当和时，，∴在和内单调递增，当时，，∴在内单调递