题型三二次函数与几何图形综合题

专题三 解答题重难点题型突破辽宁专用题型三 二次函数与几何图形综合题【例1】

(2016·铁岭)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(－1，0)和点B(4，

0)，且与y轴相交于点C，点D是线段BC上的一个动点(不与点B，C重合)，设点D的横坐标为t，过点D作DE∥y轴交抛物线于点E，点F在DE的延长线上，且EF＝

DE.过点F作FG⊥直线BC，垂足为点G.求此抛物线的解析式和点C的坐标；设△DFG的周长为L，求L与t的函数关系式；直线m经过点C，且直线m∥x轴，点P是直线m上任意一点，过点P分别作

PQ⊥直线BC，PR⊥x轴，垂足分别为点Q，R，若以三点P，Q，R为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．【分析】(1)直接用待定系数法求二次函数的解析式，C

点在y

轴上，令x＝0

代入解析式，可求y

的值，即可得出点C

坐标；先用待定系数法求直线BC

的解析式，由D

点横坐标为t，表示出点D，E

的坐标，即DF＝2ED＝2(－3t2＋3t)＝－3t2＋6t，判定△FGD∽△BOC，根据4

2相似三角形周长比＝对应边长之比＝相似比，从而得出L

与t

的函数关系式；以三点P，Q，R

为顶点的等腰三角形分三种情况：①RQ＝RP；②QR＝QP；③PQ＝PR，分别求出点P

的坐标即可．

a－b＋3＝0解：(1)把A、B

两点坐标代入抛物线表达式得

16a＋4b＋3＝0，

解得

a＝－3

b＝944

44

9，∴抛物线的解析式为：y＝－3x2＋x＋3，令x＝0，则y＝3，∴C

坐标为(0，3)；(2)设直线BC

的解析式为：y＝kx＋b，代入B、C

两点坐标，得

b＝3

4k＋b＝0，解得

b＝3

k＝－433，∴直线BC

的解析式为：y＝－4x＋3，∵D

点横坐标为t，∴D(t,

－3t＋3)，∴E(t,

－3t24

49＋4t＋3)，∴ED＝(－3t2＋4

439t＋3)－

(－3t＋3)＝－

t2＋3t，∵EF＝DE，4

4∴DF＝2ED＝2(－3t2＋3t)＝－3t2＋6t，∵OC∥DF,4

2∴∠OCB＝∠FDG，又∠COB＝∠FGD＝90°，∴△FGD∽△BOC，∴△FGD

的周长∶△COB

的周长＝DF∶BC，53

18

72∴L∶(3＋4＋5)＝(－2t2＋6t)∶5，∴L＝－

5

t2＋

t；(3)P

点坐标为(8，3)，25(

8，3)，(－5，3)，(5，3)．【例

2】

(2015·辽阳)如图①，平面直角坐标系中，49直线y＝－3x＋3

与抛物线y＝ax2＋x＋c

相交于A，B

两点，4其中点A

在x

轴上，点B

在y

轴上．求抛物线的解析式；在抛物线上存在一点M，使△MAB是以AB为直角边的直角三角形，求点M

的坐标；如图②，点E

为线段AB

上一点，BE＝2，以BE为腰作等腰Rt△BDE，使它与△AOB

在直线AB

的同侧，∠BED＝90°，△BDE沿着BA

方向以每秒一个单位的速度运动，当点B

与A

重合时停止运动，设运动时间为t

秒，△BDE

与△AOB

重叠部分的面积为S，直接写出S

关于t的函数关系式，并写出自变量t

的取值范围．【分析】(1)根据直线解析式，求出A

与B

的坐标，代入抛物线解析式求出a

与c

的值，即可确定出抛物线解析式；由M在抛物线图象上，设出M

的坐标，分两种情况考虑：①当∠MBA＝90°时；②当∠BAM＝90°时，分别求出M

的坐标即可；根据t的范围，分三种情况考虑：当0＜t≤1时；当1＜t≤3

时；当3≤t≤53

3时，分别确定出S

与t

的函数解析式即可．4解：(1)抛物线解析式为

y＝－3x2

9x＋3；＋4(2)如图，设M

的坐标为(x，－3x2＋9x＋3)，①当∠MBA＝90°时，4

4作MN⊥y

轴于N，则有∠MNO＝90°，∴∠NMB＋∠MBN＝90°，∵∠MBN＋∠ABM＋∠ABO＝180°，∴∠MBN＋∠ABO＝90°，∴∠NMB＝∠ABO，又∵∠MNO＝∠BOA，∴△MNB∽△BOA，∴MN＝BN，即x＝BO

AO

323

9－4x

＋4x＋3－3411，解得x＝

9

或x＝0(舍去)，当

x＝11时，y＝125

11

1259 27

，即M(9

，27

)；②当∠BAM′＝90°时，作M′N′⊥x

轴于N′，易知△AM′N′∽△BAO，AN′＝M′N′，∴

BO

AO即4－x＝23

94x

－4x－33

425，解得x＝－9

或x＝4(舍去)，当x

25

244

25

244＝－

9

时，y＝－27

，即M′(－9

，－27

)，综上所述满足条件M

的坐标为(11，125

或(－259

，9 27

)

27

)－244

．(3)当0≤t≤3时1

19

3

111，S＝2；当3＜t≤3

时，S＝－

t2＋

t56 28

＋

56

；15

75当

3＜t≤5

时，S＝

3t2－

t＋

.14

7

14[对应训练]1．(2016·枣庄)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.若直线y＝mx＋n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点

P的坐标．

2a

－

b

＝－1

c＝3

a＝－1

c＝3解：(1)依题意得：

a＋b＋c＝0，解之得：

b＝－2，∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3，∵对称轴为x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，∴把B(－3，0)、C(0，3)分别代入直线y＝mx＋n，得

－3m＋n＝0

n＝3，解之得：

m＝1

n＝3，∴直线y＝mx＋n

的解析式为y＝x＋3；(2)设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小．把x＝－1代入直线y＝x＋3得，y＝2，∴M(－1，2)，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(－1，2)；(3)设P(－1，t)，又∵B(－3，0)，C(0，3)，∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10，①若点B

为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2即：18＋4＋t2＝t2－6t＋10

解之得：t＝－2；②若点C

为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2即：18＋t2－6t＋10＝4＋t2

解之得：t＝4，③若点P

为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2即：4＋t2＋t2－6t＋10＝18

解之得：t1＝3＋

17

t

＝3－

172

2，

2

；综上所述P

的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(－1，3＋

172)或(－1，3－

172)．12．(2016·葫芦岛)如图，抛物线y＝－2x2＋bx＋c

与x

轴交于点A，点B，与y

轴交于点C，点B

坐标为(6，0)，点C

坐标为(0，6)，点D

是抛物线的顶点，过点D

作x

轴的垂线，垂足为E，连接BD.求抛物线的解析式及点D

的坐标；点F

是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE

时，求点F

的坐标；若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P

在x

轴上，点Q

在平面内，以线段MN

为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q

的坐标．解：(1)把B(6，0)、C(0，6)代入y＝－21x2＋bx＋c

得

，解得

－18＋6b＋c＝0

b＝2

c＝6

c＝6，2∴抛物线的解析为y＝－1x2＋2x＋6，1将解析式化为顶点式为y＝－2(x－2)2＋8，∴顶点D

坐标为(2，8)；1(2)设F(x

，－21x2＋2x＋6)，如图①，过F

作FG⊥x

轴于G，①当点F

在x

轴上方时，∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠DEB＝90°，∴△BFG∽△DBE，FG

BG∴BE＝DE，∵BE＝6－2＝4，DE＝8，∴FG＝BE

4

1BG

DE＝8＝2，∴BG＝2FG，1即6－x＝2(－x2＋2x＋6)，2x2－5x－6＝0，解得x1＝－1，x2＝6(不合题意，舍去)；②当点F

在x

轴下方时，同理可得16－x＝2(2x2－2x－6)x2－3x－18＝0x1＝－3，x2＝6(不合题意舍去)，，2综上所述，满足题意的

F

点坐标为(－1

7)或(－3，

9)；－2(3)Q1(2，217＋2)、Q2(2，－217－2)．3．(2016·丹东)如图，抛物线y＝ax2＋bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.求抛物线的表达式；直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．解：(1)把点A(4，0)，B(1，3)代入y＝ax2＋bx，得

0＝16a＋4b

a＝－1

3＝a＋b

b＝4，解得

，∴抛物线表达式为y＝－x2＋4x；(2)由题意可知点C的坐标为(3，3)，又∵点B

的坐标为(1，3)，∴BC＝2，△ABC1∴S

＝1·BC·BH＝

×2×3＝3；2

2(3)如图，过P

点作PD⊥BH

交BH

于点D，设点P(m，－m2＋4m)，根据题意，得BH＝AH＝3，HD＝m2－4m，PD＝m－1，∴S△ABP＝S△ABH＋S

四边形HAPD－S△BPD，1

112

2∴6＝2×3×3＋2(3＋m－1)(m

－4m)－2(m－1)(3＋m

－4m)，∴3m2－15m＝0，m1＝0(舍去)，m2＝5，∴点P

坐标为(5，－5)；(4)△CMN的面积为5或29

5

或

17.2 2

或4．(2016·连云港)如图，在平面直角坐标系xOy

中，抛物线y＝ax2＋bx经过两点A(－1，1)，B(2，2)．过点B

作BC∥x

轴，交抛物线于点C，交y轴于点D.求此抛物线对应的函数表达式及点C

的坐标；若抛物线上存在点M，使得△BCM

的面积为7

求出点M

的坐标；2，连接OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得△AOC

与△OBN相似(边OA

与边OB

对应)的点N

的坐标．解：(1)把A(－1，1)，B(2，2)代入y＝ax2＋bx

得：

1＝a－b

2＝4a＋2b

，解得

a＝23

b＝－31，故抛物线的函数表达式为

y

2x2

1x，＝3

－3∵BC∥x

轴，设C(x0，2)，22

10

0∴

x

－

x

＝2，33

3

20

0解得：x

＝－或x

＝2，2∵点C

在第二象限，∴C(－3，2)；(2)如图①，设△BCM

边BC

上的高为h，7

1

7∵BC＝2，∴S△BCM＝2×2·h，又∵△BCM

面积为7，，2∴h＝2，点M

即为抛物线上到BC

的距离为2∴M

的纵坐标为0

或4，令y＝2x2－3

311x＝0，解得：x

＝0，x

＝2

21，1∴M1(0，0)，M2(2，0)，令

y＝2

－

x＝4，x2

1解得：x3＝3

31＋

974，x4＝1－

974，∴M3(1＋

97，4)，M4(1－

974

4，4)，综上所述：M

点的坐标为：(01， ，

2，

，0)

(

0)

(1＋

9744)，

，(1－

974，4)；2(3)∵A(－1，1)，B(2，2)，C(－3，2)，D(0，2)，2∴OB＝2 2，OA＝

2，OC＝5，4∴∠AOD＝∠BOD＝45°，tan∠COD＝3，BO

ON①如图②，当△AOC∽△BON时，AO＝OC，∠AOC＝∠BON，∴ON＝2OC＝5，过N作NE⊥x

轴于E，∵∠COD＝45°－∠AOC＝45°－∠BON＝∠NOE，4在Rt△NOE

中，tan∠NOE＝tan∠COD＝3，∴OE＝4，NE＝3，∴N(4，3)同理可得N′(3，4)；BO

BN②如图③，当△AOC∽△OBN

时，AO＝OC，∠AOC＝∠OBN，∴BN＝2OC＝5，过B

作BG⊥x

轴于G，过N

作x

轴的平行线交BG

的延长线于F，∴NF⊥BF，∵∠COD＝45°－∠AOC＝45°－∠OBN＝∠NBF，∴tan∠NBF＝tan∠COD＝3，∴BF＝4，NF＝3，4∴N(－1，－2)，同理N′(－2，－1)，综上所述：使得△AOC与△OBN相似(边OA与边OB对应)的点N的坐标是(4，3)，(3，4)，(－1，－2)，(－2，－1)．5.(2015·锦州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)和点B(4，0)，且与y轴交于点C，点D的坐标为(2，0)，点P(m，n)是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB.求该抛物线的解析式；当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．解：(1)把A(－1，0)，B(4，0)两点的坐标代入y＝ax2＋bx＋2

中，可得

a－b＋2＝0

16a＋4b＋2＝0

，解得

a＝－12

b＝32，21

3∴抛物线的解析式为：y＝－

x2＋2x＋2；(2)∵抛物线的解析式为y＝－221x2＋3x＋2，∴点C

的坐标是(0，2)，∵点A(－1，0)、点D(2，0)，∴AD＝2－(－1)＝3，∴S1△CAD＝2×△PDB3×2＝3，∴S

＝3，∵点B(4，0)、点D(2，0)，∴BD＝2，∴|n|＝3×2÷2＝3，∴n＝3

或－3，①当n＝3

时，－1m2＋32m＋2＝3，2解得m＝1

或m＝2，∴点P

的坐标是(1，3)或(2，3)．②当n＝－3

时，2－1

32m

＋2m＋2＝－3，解得m＝5

或m＝－2，∴点P

的坐标是(5，－3)或(－2，－3)．综上，可得点P

的坐标是(1，3)、(2，3)、(5，－3)或(－2，－3)；(3)如图，设BC

所在的直线的解析式是：y＝mx＋n，∵点C

的坐标是(0，2)，点B

的坐标是(4，0)，∴

n＝2

4m＋n＝0，解得

m1

n＝2＝－2，∴BC

所在的直线的解析式是：y＝－1x＋2，2∵点P

的坐标是(m，n)，∴点F

的坐标是(4－2n，n)，5∴EG2＝(4－2n)2＋n2＝5n2－16n＋16＝5(n－8)2＋165

，8

16∵n＞0，∴当n＝5时，线段EG2

的最小值是：5

，∴EG＝16

45

＝555，即线段EG

的最小值是4

5.6．(2016·绵阳)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，3)，且此抛物线的顶点坐标为M(－1，4)．求此抛物线的解析式；设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点，当△ACD与△ACB面积相等时，求点D的坐标；点P在线段AM上，当PC与y轴垂直时，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将△PCE沿直线CE翻折，使点P的对应点P′与P、E、C处在同一平面内，请求出点P′坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c

经过点C(0，3)，顶点为M(－1，4)，

c＝3ba－b＋c＝4

a＝－1

c＝3∴

－2a＝－1

，解得：

b＝－2，∴所求抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；(2)依照题意画出图形，如图①所示．令y＝－x2－2x＋3＝0，解得：x＝－3

或x＝1，故A(－3，0)，B(1，0)，∴OA＝OC，△AOC为等腰直角三角形．设AC

交对称轴x＝－1

于F(－1，yF)，由点A(－3，0)、C(0，3)可知直线AC

的解析式为y＝x＋3，∴yF＝－1＋3＝2，即F(－1，2)，设点D

坐标为(－1，yD)，1

1则S△ADC＝2DF·AO＝2×|yD－2|×3，1

1又∵S△ABC＝2AB·OC＝2×△ADC[1－(－3)]×3＝6，且

S

＝S△ABC，1∴2×|yD－2|×3＝6，解得：yD＝－2

或yD＝6，∴点D

的坐标为(－1，－2)或(－1，6)；(3)如图②，点P′为点P关于直线CE的对称点，过点P′作PH⊥y轴于H，设P′E

交y

轴于点N.

∠CNP′＝∠ENO在△EON

和△CP′N

中，

∠CP′N＝∠EON＝90°，

P′C＝PC＝OE∴△EON≌△CP′N(AAS)，设NC＝m，则NE＝m，∵A(－3，0)、M(－1，4)可知直线AM

的解析式为y＝2x＋6，2，2

23

3

3∴当

y＝3

时，x＝－ 即点

P(－

，3)，∴P′C＝PC＝

，P′N＝3－m，在Rt△P′NC

中，由勾股定理，2

215得：(3)2＋(3－m)

＝m

，解得：m＝

，2

8∵S

1CN·P′H＝1P′N·P′C，∴P′H

9，△P′NC＝2

2

＝10∴点P′不在该抛物线上．7．(2016·安顺)如图，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－5

三点．2)求抛物线的解析式；在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC

的值最小，求点P

的坐标；点M

为x

轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N

四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N

的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的解析式为：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

根据题意得

a－b＋c＝0

25a＋5b＋c＝0

c＝－52

1

a＝25

c＝－2，解得

b＝－2，∴抛物线的解析式为：y＝152x2－2x－2.(2)由题意知，点A

关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接BC，设直线BC

的解析式为y＝kx＋b1(k≠0)，由题意，得

交抛物线的对称轴于点P，如图，则P

点即为所求．

5k＋b1＝05

b1＝－2，解得

k＝12

b1＝－21

55，∴直线BC

的解析式为y＝2x－2，∵抛物线y＝1x2－2x5－2的对称轴是x＝2，2∴当x＝2

时，y＝1x5

1

52

－2＝2×2－2＝－223，∴点P

的坐标是(2，－3)；(3)存在．(ⅰ)当存在的点N

在x

轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM

是平行四边形，∴CN∥x

轴，2∴点C

与点N关于对称轴x＝2

对称，∵C

点的坐标为(0，－5)，2∴点N

的坐标为(4，－5)；(ⅱ)当存在的点N′在x

轴上方时，如图所示，作N′H⊥x

轴于点H，∵四边形ACM′N′是平行四边形，∴AC＝M′N′，∠M′N′H＝∠CAO，2∴Rt△CAO≌Rt△N′M′H，∴N′H＝OC，∵点C

的坐标为(0，－5)，∴N′H＝5，即N′点的纵坐标为5，∴1x2－2x－2＝25

5，2

2

2解得x1＝2＋14，x2＝2－14.∴点N′的坐标为(2－14，5)或(2＋14，5)．2

2综上所述，满足题目条件的点N

共有三个，分别为(4，－5)，(2＋14，5)，(2－14，5)．2

2

28．(2015·大连