第二型线积分和面积分

第二型线积分和面积分2009年5月南京航空航天大学理学院数学系1第1页，课件共39页，创作于2023年2月若对全空间或其中某一区域

V中每一点

M,都有一

个数量

(或向量)与之对应,则称在

V上给定了一个

数量场

(或向量场).例如:温度和密度都是数量场,

M的位置可由坐标确定.因此给定了某个数量场就总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数.同理,每

重力和速度都是向量场.在引进了直角坐标系后,点

等于给定了一个数量函数

在以下讨论中

场的概念第2页，课件共39页，创作于2023年2月个向量场都与某个向量函数相对应.

这里

P,Q,R为所定义区域上的数量函数,并假定它们有一阶连续偏导数.

如,设一个质点在处受点O的距离成正比,F的大小与M到原F的方向力F的作用,与OM垂直且与

y

轴夹锐角,则第3页，课件共39页，创作于2023年2月磁力线等都是向量场线.注场的性质是它本身的属性,和坐标系的引进无关.

引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来

进行计算和研究它的性质.

则称曲线

L为向量场

的向量场线.例如电力线、

设

L为向量场中一条曲线.若

L上每点

M处的切线

方向都与向量函数

在该点的方向一致,即第4页，课件共39页，创作于2023年2月梯度场

我们已经介绍了梯度的概念,它

方向上的方向导数.

gradu是由数量场

u派生出来的一个向量场,

称为是由数量函数

所定义的向量函数

gradu的方向就是使方向导梯度场.

由前面知道,

数达到最大值的方向,就是在这个方第5页，课件共39页，创作于2023年2月因为数量场的等值面的法线方向为所以gradu恒与

u的等值面正交.当把它作为运算符号来看待时,梯度可写作

引进符号向量

第6页，课件共39页，创作于2023年2月解若以上的单位向量,则有例1设质量为

m的质点位于原点,质量为

1的质点

位于记第7页，课件共39页，创作于2023年2月它表示两质点间的引力,方向朝着原点,大小与质量

的乘积成正比,与两点间距离的平方成反比.

这说明了引力场是数量场的梯度场,因此常称为引力势(gravitationalpotential).第8页，课件共39页，创作于2023年2月对坐标的曲线积分1第二类曲线积分的概念2两类曲线积分的联系3第二类曲线积分的计算第9页，课件共39页，创作于2023年2月

向量函数其大小和方向都随点M变化

有向曲线指定了方向的曲线.～～～～～～～～～～～～通常指出起点，终点来表明.是向量预备知识第10页，课件共39页，创作于2023年2月第二型曲线积分的概念1.问题的提出

变力沿曲线所作的功求变力对质点所作的功W.设一质点在变力作用下,从点A点B,常力沿直线所作的功处理办法分割→近似代替→取极限→求和第11页，课件共39页，创作于2023年2月（1）分割（2）近似代替(3)

求和（4）取极限第12页，课件共39页，创作于2023年2月第13页，课件共39页，创作于2023年2月2.定义

存在称此极限为向量若在有向曲线上的第二类曲线积分函数(坐标形式)(向量形式),或对坐标的曲线积分(与分法和点的取法无关！)，第14页，课件共39页，创作于2023年2月第二类曲线积分（向量形式）第二类曲线积分（坐标形式）积分路径被积函数单独形式称为对坐标x

的曲线积分;称为对坐标y的曲线积分.第15页，课件共39页，创作于2023年2月由定义，变力沿曲线所作的功第16页，课件共39页，创作于2023年2月3.性质

注第二类曲线积分必须注意积分路径的方向!第17页，课件共39页，创作于2023年2月两类曲线积分的联系第18页，课件共39页，创作于2023年2月类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是其中简记为简记为第19页，课件共39页，创作于2023年2月定理1

一定存在,且第20页，课件共39页，创作于2023年2月例１将积分化为对弧长的积分,解其中C沿上半圆周第21页，课件共39页，创作于2023年2月例１将积分化为对弧长的积分,解法2其中C沿上半圆周第22页，课件共39页，创作于2023年2月解化为定积分ab将积分化为定积分．第23页，课件共39页，创作于2023年2月定理２设上连续，则起点终点第二类曲线积分的计算计算定积分转化求曲线积分当t由a→b时，对应的点M(x,y)从起点A运动到终点B描出曲线为端点的区间上连续，第24页，课件共39页，创作于2023年2月注第25页，课件共39页，创作于2023年2月A→B对应曲线上ab第26页，课件共39页，创作于2023年2月例2

计算其中(1)(2)(3)解

(1)(2)(3)被积函数相同，起点和终点相同，但是路径不同，积分结果相同。第27页，课件共39页，创作于2023年2月例3计算曲线积分解第28页，课件共39页，创作于2023年2月例4设曲线G:从ox轴正向看去为逆时针方向,求曲线积分解第29页，课件共39页，创作于2023年2月例5设一个质点在处受力

的作用,已知的方向指向坐标原点,其大小与作用点到

xoy

面的距离成反比.此质点由点沿直线移动到求F所作的功W.解第30页，课件共39页，创作于2023年2月思考题第31页，课件共39页，创作于2023年2月思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.第32页，课件共39页，创作于2023年2月练习题第33页，课件共39页，创作于2023年2月第34页，课件共39页，创作于2023年2月第35页，课件共39页，创作于2023年2月练习题答案第36页，课件共39页，创作于2023年2月第37页，课件共39页，创作于2023年2月回顾:常力沿直线所作的功若改变运动方向，即从点B到点A所作的功

有向曲线指定了方向的曲线.通常指出起点，终点来表明.～～～～～～～～～～～～～与从点A到点B所作的功大小相等，但符号相反.第38页，课件共39页，创作于2023年2月

向量函数在平面区域D

（或空间区域

）中,其大小和方向都